Schallgeschwindigkeit


Schallgeschwindigkeit
Schallgrößen

Die Schallgeschwindigkeit cS (für lat. celeritas = Eile, Schnelligkeit) ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium ausbreiten und unterscheidet sich damit von der Schallschnelle v. Die SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Die Schallgeschwindigkeit in Luft wird in der Regel mit c_\mathrm{Luft} = 343\;\mathrm{m}/\mathrm{s} für 20 °C angegeben. Das entspricht etwa 1235 km/h.

Für den Zusammenhang mit der Frequenz f einer Schallwelle gilt die Formel

c_S = \lambda \; f,

wobei \lambda \, (lambda) die Wellenlänge der Schallwelle ist. Die Schallgeschwindigkeit kann somit errechnet werden, wenn die Werte für \lambda \, und f gemessen wurden. Ein Ändern der Frequenz eines Tons verursacht keine Änderung der Schallgeschwindigkeit, sondern eine Veränderung der Wellenlänge. Die Schallgeschwindigkeit wird bei gleichbleibenden physikalischen Eigenschaften des Mediums als konstant angesehen.

Inhaltsverzeichnis

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl in longitudinaler (hierbei ist die Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung) als auch in transversaler Richtung (hierbei ist die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte \rho \,, der Poissonzahl \mu \, und dem Elastizitätsmodul E des Festkörpers ab. Es gilt dabei


c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\,longitudinal}} = \sqrt{\frac{E \, (1- \mu)}{\rho \, (1 - \mu - 2 \mu^2)}}

und


c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\,transversal}} = \sqrt{\frac{E}{2 \, \rho \,  (1 + \mu)}}

sowie


c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\,Oberfl\ddot ache}} \approx 0{,}9194 \cdot c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\,transversal}}

Im Spezialfall eines langen Stabes, wobei der Durchmesser des Stabes deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle sein muss, kann die Querkontraktion vernachlässigt werden und man erhält


c_{\mathrm{Festk\ddot orper (langer Stab),\,longitudinal}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}
.

Für Transversalwellen muss der Elastizitätsmodul durch den Schubmodul G ersetzt werden:


c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\,transversal}} = \sqrt{\frac{G}{\rho}}
.

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten

Im Gegensatz zu Festkörpern können sich in Flüssigkeiten nur Longitudinalwellen ausbreiten, da der Schubmodul für Flüssigkeiten gleich Null ist. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte \rho \, und des Kompressionsmoduls K der Flüssigkeit und berechnet sich aus


c_{\mathrm{Fl\ddot ussigkeit}} = \sqrt{\frac{K}{\rho}}
.

Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen

Die Schallgeschwindigkeit in idealen (mehratomigen) Gasen ist abhängig vom Adiabatenexponenten \kappa \, („kappa“), der Dichte \rho \, („rho“), sowie dem Druck p des Gases oder alternativ nach der thermischen Zustandsgleichung von der molaren Masse M und der absoluten Temperatur T (in Kelvin) oder dem quadratischen Mittel \sqrt{\overline{v_x^2}} der (Translations-) Teilchengeschwindigkeit und berechnet sich aus


c_{\text{Gas}} = \sqrt{\kappa\, \frac{p}{\rho}} = \sqrt{\kappa \, \frac{RT}{M}} = \sqrt{\frac{\kappa}{3}}\, \sqrt{\overline{v_x^2}}
.

Der Isentropenexponent \kappa \, = c_\mathrm{p}/c_\mathrm{V} hängt auch für die meisten realen Gase über weite Temperaturbereiche nicht vom Druck p \, ab, die molare Masse ist eine materialspezifische und die universelle Gaskonstante R = 8,3145 J/(mol·K) eine physikalische Konstante. Deshalb hängt die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen nur von der Wurzel der (absoluten) Temperatur ab.

Für Luft erhält man mit M = 0,02896 kg/mol und κ = 1,402


c_{\text{Luft}} \approx \sqrt{1{,}402\, \frac{ 8{,}3145\,\mathrm{\frac{J}{mol\,K}} T } { 0{,}02896\,\mathrm{kg/mol} } }
= 20{,}063\, \mathrm{\frac{m}{s}}\, \sqrt{\frac{T}{\mathrm{K}}} \,

Geht man zur Temperatur \vartheta = T - 273{,}15\,\mathrm{K} in °C über, so ergibt sich weiter


c_{\mathrm{Luft}} \approx 331{,}5 \, \mathrm{\frac{m}{s}} \sqrt{ 1 + \frac{\vartheta/{}^\circ\mathrm{C}}{273{,}15} } \,

Mit dieser Gleichung beträgt die Schallgeschwindigkeit bei 25 °C etwa 346 m/s. Allgemeiner bekannt ist der Wert c = 343 m/s für 20 °C (Raumtemperatur).

Statt der Wurzelabhängigkeit wird häufig folgende lineare Näherungsformel verwendet:


c_{\mathrm{Luft}} \approx ( 331{,}5 + 0{,}6\,\vartheta/{}^\circ\mathrm{C} ) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \,

Diese Näherung gilt im Temperaturbereich von −20 °C bis +40 °C mit einer Genauigkeit von besser als 0,2 %.

Die Luftfeuchtigkeit beeinflusst im Gegensatz zur Temperatur die Schallgeschwindigkeit nur geringfügig. Der Schall wandert innerhalb der Troposphäre langsamer mit steigender Höhe, was aber fast ausschließlich eine Folge der sich ändernden Temperatur und nur in geringem Maße auch der Luftfeuchte ist.[1]

Vergleiche hierzu die Normalbedingungen und die Standardbedingungen. Normalerweise wird die Schallgeschwindigkeit unter Standardatmosphäre gemessen. Bei einer Detonation wird das Gas beispielsweise stark erhitzt, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Detonation ist deshalb wesentlich höher als die Schallgeschwindigkeit bei Standardbedingungen.

Bei einem idealen Gas ist die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur abhängig und nicht vom Gasdruck. Dies gilt auch für Luft, die in guter Näherung als ideales Gas betrachtet werden kann.

Der Faktor κ kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung, die Prozesse beschreibt, bei denen keine Wärme ausgetauscht wird, die Temperatur aber nicht zwingend konstant bleibt. Das ist bei Schallwellen der Fall, da das Medium schneller verdichtet und entspannt wird, als Wärme zu- oder abfließen könnte.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Für alle Materialien angegeben ist die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Schallgeschwindigkeit longitudinal). Wo Werte bekannt sind, findet man zusätzlich die Schallgeschwindigkeit nach Wellenumwandlung (Schallgeschwindigkeit transversal); die dazu gehörende Welle entsteht in einem festen Folgemedium bei Schrägeinschallung und breitet sich senkrecht zur eigentlichen Druckwelle aus. Transversalwellen können sich nur in Festkörpern ausbreiten. Bei Flüssigkeiten existieren sie nur als Oberflächenwelle.

Medium Schallgeschwindigkeit
longitudinal in m/s bei 20 °C
Schallgeschwindigkeit
transversal in m/s
Luft (bei 20 °C) 343*
Helium 981
Wasserstoff 1280
Sauerstoff 316
Kohlendioxid (bei 20 °C) 266
Schwefelhexafluorid (bei 0 °C) 129[2]
Wasser 1484
Wasser (bei 0 °C) 1407
Meerwasser ≈ 1500
Eis (bei −4 °C) 3250
Öl (SAE 20/30) [3] 1340
Benzol 1326
Ethylalkohol 1168
Natriumchlorid-Lösung (2,5 mol) [4] 1540
Glas 5300
Gummi 150
Plexiglas 2670
PVC-P (weich) 80
PVC-U (hart) 2250 1060
Beton (C20/25) 3655 2240
Beton (C30/37) 3845 2355
Buchenholz 3300
Marmor 6150
Aluminium 5100[5] 6320[6] 3130 bzw. 3105[7]
Beryllium 12900 8880
Blei/5 % Antimon 2160 700
Blei 1200 360
Gold 2000 1280
Kupfer 4700[8] 2260
Magnesium/Zk60 4400 810
Nickel 4900
Zink 3800
Quecksilber 1450
Stahl 5920 3255
Titan 6100 3050
Messing 3500
Wolfram 5180 2870
Eisen 5170
Silber 2640
Bor 16200
Diamant 18000
Quark-Gluon-Plasma[9] (bei 1012 °C) 173085256,32732 = c/\sqrt{3}**

Anmerkungen:

* entspricht 1234,8 km/h

Diamant besitzt mit etwa 18.000 m/s die höchste Schallgeschwindigkeit aller natürlichen Medien.

Der beim Holz-Musikinstrumentenbau wichtige Parameter „Schallgeschwindigkeit“ beträgt längs zur Faser bei Erle 4.400 m/s, Ahorn 4.500 m/s, Esche etwa 4.700 m/s, Padouk 4.800 m/s, Linde 5.100 m/s, Fichte 5.500 m/s.

Temperaturabhängigkeit in Luft

Schallkennimpedanz, Luftdichte und Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Lufttemperatur
Temperatur
T in °C
Schallgeschwindigkeit
cS in m/s
Luftdichte
ρ in kg/m³
Kennimpedanz
ZF in Ns/m³
+35 352,17 1,1455 403,4
+30 349,29 1,1644 406,7
+25 346,39 1,1839 410,0
+20 343,46 1,2041 413,6
+15 340,51 1,2250 417,1
+10 337,54 1,2466 420,8
+5 334,53 1,2690 424,5
±0 331,50 1,2920 428,3
−5 328,44 1,3163 432,3
−10 325,35 1,3413 436,4
−15 322,23 1,3673 440,6
−20 319,09 1,3943 444,9
−25 315,91 1,4224 449,4

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium, dieses erfährt eine Versteifung (also eine Schallgeschwindigkeitserhöhung) mit der Frequenz.

In einem nicht dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und Luft sind über weite Frequenzbereiche nicht dispersive Medien.

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzeinschlags und damit eines Gewitters lässt sich durch Zählen der Sekunden zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Donnern abschätzen. Der Schall legt in Luft einen Kilometer in etwa 3 Sekunden zurück, die Anzahl der Sekunden durch drei geteilt ergibt daher die Entfernung des Gewitters in Kilometern.

Siehe auch

Wiktionary Wiktionary: Schallgeschwindigkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Literatur

  1. Dennis A. Bohn, Environmental Effects on the Speed of Sound, Journal of the Audio Engineering Society, 36(4), April 1988. PDF-Version
  2. http://www.solvay-fluor.com/docroot/fluor/static_files/attachments/39101sf6_d.pdf
  3. http://www.vfmz.vfmz.com/industrie-service/oup/fluid_lexikon/k/entry_kompressionsmodul_e__oe_l__k____3253.html
  4. http://sundoc.bibliothek.uni-halle.de/diss-online/07/07H152/t4.pdf
  5. Das große Tafelwerk, Cornelsen Verlag, Berlin, 2003
  6. praktische Erfahrungen im täglichen Umgang mit Ultraschall zur Werkstoffprüfung
  7. praktische Erfahrungen im täglichen Umgang mit Ultraschall zur Werkstoffprüfung
  8. praktische Erfahrungen im täglichen Umgang mit Ultraschall zur Werkstoffprüfung
  9. Jean Lettesier and Johann Rafelski, Hadrons and Quark-Gluon-Plasma, Cambridge University Press, 2002.
  • Götsch, Ernst - Luftfahrzeugtechnik, Motorbuchverlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8

Weblinks


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