Brechungsgesetz von Snellius

Brechungsgesetz von Snellius

Das snelliussche Brechungsgesetz (auch snelliussches Gesetz, Snell-Gesetz) besagt, dass eine Welle (z. B. ein Lichtstrahl) ihre Richtung ändert - man sagt gebrochen wird - wenn sie von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium mit einer anderen Phasengeschwindigkeit übergeht. Das Gesetz gilt für alle Wellenarten. Es besagt nur, in welche Richtung die Welle abgelenkt wird, nicht aber, wie viel von der Welle an dem Übergang zwischen den beiden Medien transmittiert bzw. reflektiert wird. Im Fall der Totalreflexion ist das reelle Brechungsgesetz ungültig. Es muss dann komplex gerechnet werden. Wie viel Licht transmittiert bzw. reflektiert wird, ergibt sich aus den fresnelschen Formeln.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

Das Brechungsgesetz scheint zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl erwähnt worden zu sein. 1601 wurde es von Thomas Harriot wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. 1618 wurde es von dem Holländer Willebrord van Roijen Snell und fast zur gleichen Zeit von René Descartes beschrieben.

Beschreibung

Snell-Brechungsgesetz für die Einfallswinkel, und Sonderfall bei „negativer“ Brechzahl (unten).
Hinweis: Die Einfalls- bzw. Brechungswinkel werden zum Lot auf die Oberfläche angegeben. Da hier aber nicht die Richtung des Lichtes, sondern die der Wellenfront eingezeichnet ist, die senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, sind die Winkel δ1 bzw. δ2 von der Wellenfront zur Oberfläche eingezeichnet.

Das nebenstehende Bild zeigt einen Lichtstrahl, der aus dem Medium1 (z. B. Luft) auf die Grenzfläche eines Mediums2 (z. B. Glas) einfällt. Er ist dabei um den Winkel δ1 gegen das Einfallslot geneigt. Ein Teil des Lichtstrahls wird an der Oberfläche reflektiert, der Rest tritt unter Richtungsänderung (Brechung) ein und läuft dort unter dem Winkel δ2 gegen das Lot weiter. Dieser Vorgang wird durch das Snell-Gesetz beschrieben.

Licht bewegt sich in einem isotropen Medium mit einer von der Brechzahl abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit.

n_1 = \frac{c_0}{c_1} bzw. n_2 = \frac{c_0}{c_2},

d. h., die Brechzahl n gibt das Verhältnis der Phasengeschwindigkeit c0 von Licht im Vakuum zur Phasengeschwindigkeit cn von Licht in Materie an. Dabei ist die Brechzahl eine von der Wellenlänge abhängige Materialkonstante, die bei der Brechung eine Aufspaltung der unterschiedlichen Wellenlängen des einfallenden Strahls bewirkt (vgl. Dispersion).

Werden zwei parallel einfallende Lichtstrahlen an einer idealen Grenzfläche zweier Medien betrachtet, ergibt sich geometrisch für den zweiten Strahl eine zusätzliche Wegstrecke λ1 = c1t im Medium 1 sowie für den ersten Lichtstrahl eine zusätzliche Wegstrecke λ2 = c2t im Medium 2 (hierbei ist c1,2 – Ausbreitungsgeschwindigkeiten im jeweiligen Medium; t die zusätzliche Laufzeit). Über Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich:

 \sin(\delta_1) = \frac{\lambda_1}{\overline {AB'}} bzw.  \sin(\delta_2) = \frac{\lambda_2}{\overline {AB'}}

wobei δ1 bzw. δ2 der Einfalls- bzw. Brechungswinkel und \overline {AB'} der Gangunterschied der beiden Lichtstrahlen ist.

Ersetzt man den Gangunterschied \overline {AB'} in Medium 1 durch den Zusammenhang in Medium 2, ergibt sich:

 \frac{\sin(\delta_1)}{\sin(\delta_2)} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}

Mit den Zusammenhängen für die Wegstrecke und der abhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit erhält man das snelliussches Brechungsgesetz:

 \frac{\sin(\delta_1)}{\sin(\delta_2)}= \frac{c_1 t}{c_2 t} = \frac{n_2}{n_1}
Winkelabhängigkeit bei der Brechung für die Medien Luft, Wasser und Glas

wobei n1 und n2 die einheitenlosen Brechzahlen der jeweiligen Medien sind.

Somit erhält man den in der Grafik links dargestellten Zusammenhang zwischen den Winkeln δ1 und δ2:

 \delta_2 = \arcsin\left(\frac{\sin(\delta_1)\cdot n_1}{n_2}\right)

Für absorbierende Medien, für die die Brechzahl als komplexe Zahl definiert ist, kann das Brechungsgesetz in der einfachen Form im allgemeinen nicht angewendet werden. Dies funktioniert nur, wenn der Imaginärteil viel kleiner als der Realteil ist.[1]

Herleitung aus dem Fermatschen Prinzip

Herleitung aus dem Fermatschen Prinzip

Das snelliussche Brechungsgesetz ist eine Folgerung des Fermatschen Prinzips. Der Beweis berechnet den optischen Weg (OW) zwischen zwei Punkten A (im Medium 1) und B (im Medium 2) in Abhängigkeit von der Lage von x1 und setzt dann die Ableitung null (Forderung des Fermatschen Prinzips).

OW(A \rightarrow B) = n_1 \cdot l_1 + n_2 \cdot l_2

Nach dem Satz des Pythagoras folgt:

n_1l_1 + n_2l_2 = n_1\sqrt{{h_1}^2 + {x_1}^2} + n_2\sqrt{{h_2}^2 + (d-{x_1})^2}

Setzt man dessen Ableitung nach x1 null, erhält man

\frac{\mathrm{d}OW}{\mathrm{d}{x_1}} = n_1 \frac{{x_1}}{\sqrt{{h_1}^2 + {x_1}^2}} - n_2\frac{d-{x_1}}{\sqrt{{h_2}^2 + (d-{x_1})^2}}
= n_1 \frac{{x_1}}{l_1} - n_2\frac{d-{x_1}}{l_2} = n_1\sin(\delta_1) -n_2\sin(\delta_2) = 0

und daher n1sin(δ1) = n2sin(δ2), was der oben genannten Formulierung entspricht.

Veranschaulichungen

Deutung mit dem Fermatschen Prinzip

Das Licht wählt den Weg, auf dem es am schnellsten von Punkt A zum Punkt B kommt. Ein Beispiel hierfür ist etwa der Rettungsschwimmer, der sich am Strand schneller fortbewegen kann als im Wasser. Welchen Weg muss er von A aus nehmen, um möglichst schnell bei dem in Not geratenen Schwimmer B anzukommen? Es ist nicht der direkte Weg von A nach B, da er dann sehr weit im langsameren Medium (Wasser) unterwegs ist. Es ist auch nicht der Weg, bei dem der Rettungsschwimmer senkrecht zum Strand in Richtung B schwimmt. Der schnellste Weg liegt „dazwischen“.

Drehung der Wellenfront

Rettungsschwimmer bewegen sich am Strand schneller fort als im Wasser. Das hat zur Folge, dass die „Front“ von vier Rettungsschwimmern ihre Richtung ändert, wenn sie vom Strand ins Wasser kommen. Dies entspricht der Brechung einer Welle am optisch dichteren Medium
Wellenfronten, die von einem Punkt ausgehen. Das Material unter der grauen Linien hat eine höhere Brechzahl, die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist dazu proportional niedriger.

Rettungsschwimmer bewegen sich am Strand schneller fort als im Wasser. Das hat zur Folge, dass die „Front“ von vier Rettungsschwimmern ihre Richtung ändert, wenn sie vom Strand ins Wasser kommen. Dies entspricht der Brechung einer Welle am optisch dichteren Medium.

Allerdings wird bemängelt, dass der Vergleich mit den Rettungsschwimmern hinkt, da sich zwar ihre „Front“ dreht, ihre Ausbreitungsrichtung aber nicht. Würde der Vergleich mit den Schwimmern auch für die Welle gelten, so würde die Welle eine Schräglage zur Ausbreitungsrichtung einnehmen

Einzelnachweise

  1. Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur Theoretischen Physik II. 4. Auflage. Spektrum Verlag, 2004. ISBN 3827415306. – Kapitel 36

Weblinks

Literatur

  • Eugene Hecht: Optik. 4. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, ISBN 3486273590. 

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Snellĭus — (Snell), Willebrord, van Roijen, Mathematiker, geb. 1591 in Leiden, gest. daselbst 30. Okt. 1626, studierte in Leiden, bereiste dann Deutschland, wo er mit Kepler und Tycho Brahe in Verbindung trat, und ward 1613 als Nachfolger seines Vaters… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Snellius —   [ snɛliːys], eigentlich Willebrord Snel van Rojen [ van roːjə], niederländischer Mathematiker und Physiker, * Leiden 1580, ✝ ebenda 30. 10. 1626; führte zur Bestimmung der Erdfigur eine Gradmessung durch, bei der er als Erster die Länge des… …   Universal-Lexikon

  • Snellius'sches Brechungsgesetz — Das snelliussche Brechungsgesetz (auch snelliussches Gesetz, Snell Gesetz) besagt, dass eine Welle (z. B. ein Lichtstrahl) ihre Richtung ändert man sagt gebrochen wird wenn sie von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium… …   Deutsch Wikipedia

  • Brechungsgesetz — Das snelliussche Brechungsgesetz (auch snelliussches Gesetz, Snell Gesetz) besagt, dass eine Welle (z. B. ein Lichtstrahl) ihre Richtung ändert man sagt gebrochen wird wenn sie von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium… …   Deutsch Wikipedia

  • Rudolph Snellius — Rudolph Snellius, die latinisierte Form seines niederländischen Namens: Rudolph Snel van Royen, (* 5. Oktober 1546 in Oudewater; † 2. März 1613 in Leiden) war ein niederländischer Gelehrter und Mathematiker. Rudolph Snellius Leben Snellius… …   Deutsch Wikipedia

  • Snell'sches Brechungsgesetz — Das snelliussche Brechungsgesetz (auch snelliussches Gesetz, Snell Gesetz) besagt, dass eine Welle (z. B. ein Lichtstrahl) ihre Richtung ändert man sagt gebrochen wird wenn sie von einem transparenten Medium in ein anderes transparentes Medium… …   Deutsch Wikipedia

  • Fermatsches Prinzip — Das Fermatsche Prinzip (nach Pierre de Fermat) besagt, dass Licht in einem Medium zwischen zwei Punkten Wege nimmt, auf denen seine Laufzeit bei kleinen Variationen des Weges stationär ist, insbesondere (optisch) kürzeste und längste. Aus dem… …   Deutsch Wikipedia

  • Dekameterwelle — Als Kurzwellen (Abk. KW, engl. SW für short wave oder HF für high frequency), manchmal auch Dekameterwellen, bezeichnet man Radiowellen, die in einem höheren Frequenzbereich als die Lang und Mittelwellen liegen. Aufgrund ihrer kürzeren… …   Deutsch Wikipedia

  • Dekameterwellen — Als Kurzwellen (Abk. KW, engl. SW für short wave oder HF für high frequency), manchmal auch Dekameterwellen, bezeichnet man Radiowellen, die in einem höheren Frequenzbereich als die Lang und Mittelwellen liegen. Aufgrund ihrer kürzeren… …   Deutsch Wikipedia

  • Kurzwellen — Als Kurzwellen (Abk. KW, engl. SW für short wave oder HF für high frequency), manchmal auch Dekameterwellen, bezeichnet man Radiowellen, die in einem höheren Frequenzbereich als die Lang und Mittelwellen liegen. Aufgrund ihrer kürzeren… …   Deutsch Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.