Auflösbar

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Auflösbar

In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen, surjektiv), kann aber auch ein Substantiv involvieren (z. B. vom Grad 3). Dieses Glossar soll insbesondere in Fällen, in denen ein und dasselbe Attribut auf Objekte ganz verschiedenen Typs (vgl. dazu: Hierarchie mathematischer Strukturen) angewandt wird, zur schnellen Orientierung dienen, Querverbindungen aufzeigen und vor möglichen Verwechslungen bewahren.

A

abelsch

abgeschlossen

abundant

Eine nat√ľrliche Zahl x hei√üt abundant, wenn ihre echte Teilersumme (die Summe aller Teiler ohne die Zahl selbst) gr√∂√üer ist als die Zahl x selbst. Vergleiche die Attribute defizient und vollkommen in diesem Glossar.

abzählbar

adaptiert

adjungiert

  • In der linearen Algebra hei√üt ein Endomorphismus g eines (euklidischen oder unit√§ren, also mit einem Skalarprodukt < , > ausgestatteten) k-Vektorraums W adjungiert zu einem Endomorphismus f eines (ebenfalls euklidischen oder unit√§ren) k-Vektorraums V, falls f√ľr alle v in V und alle w in W gilt:
<fv, w> = <v, gw>.
Im Fall endlichdimensionaler Vektorr√§ume entspricht dem adjungierten Endomorphismus die transponierte Matrix (im Fall einer Bilinearform) bzw. die konjugiert-transponierte Matrix (im Fall einer Sesquilinearform). Ist ein Endomorphismus gleich seinem adjungierten Endomorphismus, so hei√üt er selbstadjungiert oder symmetrisch (f√ľr Bilinearformen) bzw. hermitesch (f√ľr Sesquilinearformen).
Siehe auch: Adjungierte Matrix, Adjungierter Operator
  • In der Kategorientheorie hei√üen Paare (F: C¬†‚Üí¬†D, G: D¬†‚Üí¬†C) von Funktoren zwischen Kategorien C und D adjungiert, wenn f√ľr alle Objekte X von C und Y von D gilt:
MorD(FX, Y) = MorC(X, GY).
siehe auch: Adjunktion (Kategorientheorie)
G\times\mathfrak g\to\mathfrak g,\quad \mathrm{Ad}(g)(Y)=gYg^{-1}
gegeben ist, die adjungierte Darstellung.
  • In der Theorie der Liealgebren ist die adjungierte Darstellung die Darstellung der Liealgebra auf sich selbst, die durch die Lieklammer gegeben ist:
\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathfrak g,\quad\mathrm{ad}(X)(Y)=[X,Y].

affin

  • Eine Funktion der Form f(x) = ax + b hei√üt affin-linear, siehe auch affine Abbildung.
  • Ein affiner Raum ist ein ‚ÄěVektorraum ohne Ursprung‚Äú, d.¬†h. es gibt zu je zwei Punkten A,B einen Vektor \overrightarrow{AB}, so dass die Verschiebung um diesen Vektor A auf B abbildet. Die Menge dieser Verschiebungen bildet einen Vektorraum, aber im affinen Raum selbst gibt es keinen ausgezeichneten Punkt wie den Ursprung eines Vektorraums. Beispielsweise sind Geraden und Ebenen im Anschauungsraum affine R√§ume.
  • S. auch affine Ebene.
  • Ein Koordinatensystem ist affin, wenn die Koordinatenachsen durch Geraden gebildet werden, siehe Affine Koordinaten
  • Ein affines Schema ist ein Schema, das isomorph zum Spektrum eines Ringes ist. Ein Spezialfall ist:
  • Eine affine algebraische Variet√§t ist eine algebraische Variet√§t, die sich als abgeschlossene Menge in einen affinen Raum einbetten l√§sst.
  • Eine Inzidenzstruktur oder ein Blockplan hei√üen affin, wenn sie √ľber einen Parallelismus verf√ľgen, bei dem sich je zwei Bl√∂cke in einer konstanten Zahl von Punkten schneiden.

ähnlich

  • In der Geometrie sind zwei Figuren √§hnlich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung und isotrope Streckung (oder Dilatation) ineinander √ľberf√ľhrt werden k√∂nnen. √Ąhnlichkeit erweitert also Kongruenz (Geometrie) um die M√∂glichkeit der Streckung.
  • In der linearen Algebra hei√üen zwei quadratische Matrizen A und B √§hnlich, wenn sie dieselbe lineare Abbildung bei Verwendung unterschiedlicher Basen beschreiben. Sie lassen sich durch eine invertierbare Matrix S ineinander √ľberf√ľhren, A = S¬†B¬†S‚ąí1. √Ąhnlichkeit ist hier ein Spezialfall von √Ąquivalenz.
  • Ordnungstreue bjiektive Abbildungen hei√üen √§hnlich.

algebraisch

  • Eine algebraische Gleichung entsteht durch Nullsetzen einer ganzrationalen Funktion (oder ‚ÄěPolynomfunktion‚Äú) f. Ihre L√∂sungen sind die Nullstellen von f.
  • Eine Funktion hei√üt algebraisch, wenn alle Paare aus Punkt und Funktionswert L√∂sungen derselben algebraischen Gleichung sind. Andernfalls hei√üt die Funktion transzendent.
  • In der Funktionentheorie hei√üt eine hebbare Singularit√§t auch algebraisch.
  • Eine komplexe Zahl hei√üt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Die Menge (genauer: Der K√∂rper) der algebraischen Zahlen bildet den algebraischen Abschluss der Menge \mathbb Q (der rationalen Zahlen).
  • Ein Element einer K√∂rpererweiterung hei√üt algebraisch, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden K√∂rper ist, siehe algebraisches Element.

algebraisch abgeschlossen

  • Ein K√∂rper K hei√üt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom vom Grad ‚Č• 1 mit Koeffizienten aus K eine Nullstelle in K hat. Dann zerf√§llt in K jedes Polynom in lineare Faktoren (vom Grad 1). Der K√∂rper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, der der reellen Zahlen nicht. Siehe auch algebraischer Abschluss.

alternierend

Die Grundbedeutung von alternierend ist ‚Äěabwechselnd‚Äú. In vielen F√§llen sind damit abwechselnde Vorzeichen gemeint.

  • Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der die Reihenglieder abwechselnd positiv und negativ sind. Ein einfaches Beispiel einer alternierenden Reihe ist die aus der alternierenden harmonischen Folge gebildete (alternierende harmonische) Reihe.
  • In der Graphentheorie ist ein alternierender Pfad (bez√ľglich einer Paarung) ein Pfad, dessen Kanten abwechselnd zur Paarung und nicht zur Paarung geh√∂ren.

analytisch

  • In der Theorie analytischer Funktionen hei√üt eine Menge analytisch, wenn sie als Nullstellengebilde von analytischen Funktionen darstellbar ist.
  • In der Deskriptiven Mengenlehre hei√üt eine Teilmenge eines Polnischen Raums (z.¬†B. \R oder \R^n) analytisch, wenn sie das Bild einer Borel-Menge unter einer stetigen Abbildung ist.
  • In der Funktionentheorie hei√üt eine Funktion einer oder mehrerer komplexer Ver√§nderlicher analytisch, wenn sie lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Das ist (im Gegensatz zur reellen Analysis) √§quivalent dazu, dass die Funktion beliebig oft komplex differenzierbar ist, und das wiederum ist (erneut im Gegensatz zur reellen Analysis) √§quivalent dazu, dass die Funktion stetig und differenzierbar, also holomorph oder regul√§r ist. Tats√§chlich werden in der Funktionentheorie, das hei√üt in der komplexen Analysis, die Begriffe analytisch, holomorph und regul√§r √§quivalent gebraucht.
  • Auch in der reellen Analysis hei√üt eine Funktion analytisch wenn sie lokal durch eine Potenzreihe gegeben ist.
  • Die L√∂sung eines Problems wird als analytisch bezeichnet, wenn sie ‚Äď im Gegensatz zu numerischen L√∂sungen ‚Äď in Form von bekannten Funktionen, Konstanten etc. angeschrieben werden kann.

antisymmetrisch

  • Eine Relation R hei√üt antisymmetrisch, wenn aus xRy und yRx folgt, dass x und y gleich sind. Dies ist eine der definierenden Eigenschaften einer partiellen Ordnung.
  • Eine multilineare Abbildung hei√üt antisymmetrisch, wenn ihr Wert beim Vertauschen zweier ihrer Argumente das Vorzeichen wechselt.

äquidistant

bedeutet gleich weit entfernt.

äquivalent

  • Zwei Aussagen hei√üen √§quivalent, wenn sie unter gleichen Voraussetzungen denselben Wahrheitswert haben. Insbesondere hei√üen zwei Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten √§quivalent, wenn sie dieselbe L√∂sungsmenge haben.
  • Zwei Elemente einer Menge hei√üen √§quivalent, wenn sie in der gleichen √Ąquivalenzklasse bez√ľglich einer √Ąquivalenzrelation liegen.
  • In der linearen Algebra hei√üen zwei m√ón Matrizen A und B √§quivalent, wenn es invertierbare Matrizen S und T gibt, sodass A = S¬∑B¬∑T. √Ąquivalente Matrizen beschreiben bez√ľglich geeigneter Basen die gleiche lineare Abbildung; Matrizen sind genau dann √§quivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. Falls die √§quivalenten Matrizen A und B quadratisch sind (m=n) und T=S‚ąí1 gew√§hlt werden kann, sind A und B sogar √§hnlich.
  • Zwei Darstellungen hei√üen √§quivalent, wenn sie bis auf Basenwechsel aus den gleichen linearen Abbildungen bestehen.

assoziativ

Eine zweistellige Verkn√ľpfung * hei√üt assoziativ, wenn f√ľr alle Elemente a, b und c der Grundmenge stets die Gleichung a*(b*c) = (a*b)*c gilt. Die Assoziativit√§t der Verkn√ľpfung erlaubt, die Klammern wegzulassen und einfach a*b*c zu schreiben.

Eine Menge A und eine zweistellige Verkn√ľpfung * auf A, deren Ergebnisse alle in A liegen, wird als Magma bezeichnet. Ist diese Verkn√ľpfung dar√ľber hinaus auch assoziativ spricht man von einer Halbgruppe.

asymmetrisch

  • Eine Relation R hei√üt asymmetrisch, wenn aus xRy stets nicht yRx folgt. Insbesondere gilt nicht xRx. Dies ist eine der Eigenschaften einer strikten partiellen Ordnung.

auflösbar

 G=G_0\triangleright G_1\triangleright\ldots\triangleright G_n=1
von Normalteilern gibt, deren Quotienten (auch ‚ÄěFaktorgruppen‚Äú) Gk/Gk+1 abelsch sind.
  • Eine Liealgebra hei√üt aufl√∂sbar, wenn es eine absteigende Folge
\mathfrak g=\mathfrak g_0\supseteq\mathfrak g_1\supseteq\ldots\supseteq\mathfrak g_n=0
von Idealen gibt (d. h. \mathfrak g_{k+1} soll ein Ideal in \mathfrak g_k sein), deren Quotienten abelsch sind.

ausgeartet

  • Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) hei√üt ausgeartet, wenn es einen Vektor x ‚Ȇ 0 gibt, der f√ľr jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erf√ľllt. F√ľr das Gegenteil gibt es die Begriffe regul√§r oder perfekt, meist sagt man aber schlicht ‚Äěnicht ausgeartet‚Äú.

B

befreundet

  • Ein Paar nat√ľrlicher Zahlen hei√üt befreundet, wenn die Summe der echten Teiler der einen Zahl die jeweils andere ergibt. Beispiel: 220 und 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, 1+2+4+71+142 = 220). Siehe befreundete Zahl.

beschränkt

  • Eine Teilmenge U eines metrischen Raums (X,d) hei√üt beschr√§nkt, wenn es eine positive reelle Zahl c gibt, sodass der Abstand zweier Elemente von U stets kleiner oder gleich c ist, wenn also die Abst√§nde in U beschr√§nkt sind.
  • Als Spezialfall davon hei√üt eine Menge U reeller Zahlen beschr√§nkt, wenn es zwei reelle Zahlen a und b gibt, sodass U eine Teilmenge des abgeschlossenen Intervalls [a,b] ist.
  • Eine Funktion hei√üt beschr√§nkt, wenn ihr Bildbereich eine beschr√§nkte Menge ist.
  • Ein linearer Operator zwischen normierten R√§umen hei√üt beschr√§nkter Operator, wenn er stetig ist.
  • Eine stark stetige Halbgruppe hei√üt beschr√§nkt, wenn die Menge der zugeh√∂rigen Operatoren eine norm-beschr√§nkte Menge ist.

bijektiv

  • Eine Funktion hei√üt bijektiv oder umkehrbar eindeutig (engl.: bijective oder one-to-one and onto), wenn sie injektiv und surjektiv ist, also verschiedenen Elementen der Definitionsmenge verschiedene Elemente der Wertemenge zuordnet, wobei jedes Element der Wertemenge erreicht wird. Bijektive Funktionen sind invertierbar. Ein bijektiver Homomorphismus hei√üt Isomorphismus.

bilinear

  • Eine Funktion f: V√óW ‚Üí X zu gegebenen Vektorr√§umen hei√üt bilinear, wenn sie bei festgehaltenem ersten Argument linear im zweiten Argument und bei festgehaltenem zweiten linear im ersten Argument ist. Wenn W=V ist und X der dem Vektorraum unterliegende K√∂rper, hei√üt f Bilinearform. √úber dem K√∂rper der komplexen Zahlen betrachtet man oft sesquilineare statt bilinearer Funktionen.

bivariat

  • Eine Funktion ist bivariat, wenn sie genau zwei unbestimmte Variablen enth√§lt (z.¬†B. 3x2y + y2x ‚ąí x2y3).
  • Die gemeinsame Verteilung zweier Zufallsvariablen ist bivariat (s. Hauptartikel: Bivariate Verteilung).

C

chaotisch

Als mathematischer Begriff (s. Chaostheorie) Ausdruck eines schlecht gestellten (engl. ‚Äěill posed‚Äú) inversen Problems. Mittels einfacher, meist sogar deterministischer Regeln kann ein komplexes Objekt erzeugt werden, jedoch ist der R√ľckschluss vom Objekt auf die erzeugenden Regeln nicht oder nur schlecht m√∂glich.

charakteristisch

  • In der Mengenlehre hat die charakteristische Funktion einer Teilmenge, auch Indikatorfunktion genannt, den Wert 1 auf der Teilmenge und 0 au√üerhalb.
  • Charakteristisches Polynom und charakteristische Gleichung einer Matrix oder eines Operators, siehe Eigenvektor.
  • In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe G eine Untergruppe H, die unter jedem Automorphismus von G fest bleibt. Das hei√üt, eine Untergruppe H von G hei√üt charakteristisch, wenn f√ľr jeden Automorphismus (d. h. bijektiven Gruppenhomomorphismus von G nach G) f gilt, dass f(H) gleich H ist.

D

definit

defizient

Eine nat√ľrliche Zahl hei√üt defizient, wenn ihre echte Teilersumme (die Summe aller Teiler ohne die Zahl selbst) kleiner ist als die Zahl selbst. Vergleiche auch die Attribute abundant und vollkommen in diesem Glossar.

diagonaldominant

Eine Matrix hei√üt diagonaldominant, falls das Zeilensummenkriterium erf√ľllt ist, d.¬†h. falls der Betrag jedes Diagonalelementes gr√∂√üer ist als die Summe der Betr√§ge der restlichen jeweiligen Zeilenelemente.

diagonalisierbar

dicht

  • Eine Teilmenge M liegt dicht in einem topologischen Raum R, wenn es keine abgeschlossene Teilmenge von R au√üer R selbst gibt, die M enth√§lt. Mit anderen Worten, M ist dicht (in R), wenn der Abschluss von M mit R √ľbereinstimmt. Beispiel: die Menge der rationalen Zahlen Q liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen R (und macht diese dadurch separabel).
  • Die Teilordnung S einer geordneten Menge M hei√üt dicht, wenn es zu jedem x und y aus M mit x < y ein z aus S gibt, sodass x < z < y ist. Beispiel: die √ľbliche Ordnung der rationalen oder der reellen Zahlen ist dicht. Siehe Ordnungstopologie.

differenzierbar

  • Die Funktion f hei√üt differenzierbar an der Stelle x0, falls der Limes des Differenzenquotienten an der Stelle x0 existiert.

Dimension

  • In der linearen Algebra ist die Dimension eines Vektorraums die Anzahl seiner Basisvektoren, also die minimale Ordnung eines Erzeugendensystems. Diese Dimension hei√üt, falls unendlich, auch Hamel-Dimension.
  • Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist die Anzahl der Koordinaten in einem lokalen Koordinatensystem. Dass eine Mannigfaltigkeit eine eindeutige Dimension hat, ist gesichert, wenn sie zusammenh√§ngt.
  • Die Hausdorff-Dimension kann nichtganzzahlig sein und wird zur Beschreibung von Fraktalen verwandt.

disjunkt

  • Zwei Mengen hei√üen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.

diskret

dual

  • Sei V ein Vektorraum √ľber einem K√∂rper K. Dann hei√üt der Vektorraum V*:=HomK(V,K), der die linearen Abbildungen von V nach K enth√§lt, dual zu V (Dualraum).
  • In einer Booleschen Algebra entsteht eine duale Aussage, wenn man alle Elementaraussagen negiert, 0 mit 1 und ‚ąß mit ‚ą® vertauscht, und die gesamte Aussage negiert.
  • Analog dazu geht ein komplement√§rer Verband (z.¬†B. eine Mengenalgebra) in sein duales Gegenst√ľck √ľber, wenn man die beiden inneren Verkn√ľpfungen miteinander vertauscht und jedes Element durch sein Komplement ersetzt.
  • Zu einer lokalkompakten abelschen Gruppe betrachtet man die Dualgruppe.
  • Eine duale C*-Algebra ist eine C*-Algebra kompakter Operatoren.

E

echt

  • Eine Teilmenge hei√üt echt, wenn sie nicht identisch ist mit der Grundmenge.
  • Ein Teiler bzw. Faktor einer nat√ľrlichen Zahl hei√üt echt, wenn er kleiner als die Zahl selbst ist. Die Menge der echten Teiler einer Zahl ist somit die Menge der Teiler ohne die Zahl selbst.
  • Projektionen und von-Neumann-Algebren k√∂nnen die Eigenschaft echt unendlich haben, wie in der Typklassifikation von von-Neumann-Algebren erl√§utert.

eigentlich

  • Eine Abbildung zwischen topologischen R√§umen hei√üt eigentlich, wenn unter ihr alle Urbilder kompakter Mengen wieder kompakt sind.

eindeutig

  • In √§lterer Literatur hei√üt eine injektive Abbildung eindeutig.
  • das Gegenteil von mehrdeutig.
  • Nach moderner Auffassung sind Abbildungen (‚ÄěFunktionen‚Äú) nach Definition eindeutig. Was fr√ľher ‚Äěmehrdeutige Funktion‚Äú genannt wurde, ist heutzutage eine Relation, aber keine Funktion.

eineindeutig

  • Von der Verwendung dieses veralteten Attributs ist abzuraten, da es uneinheitlich verwendet wurde: √ľberwiegend in der Bedeutung bijektiv, zuweilen aber auch in der Bedeutung injektiv.

einfach

  • Eine Gruppe hei√üt einfach, wenn sie mindestens zwei Elemente und keinen nichttrivialen Normalteiler besitzt. Die Menge {e}, die nur das Einselement enth√§lt, und die Gruppe selbst werden als triviale Normalteiler angesehen. Siehe auch Einfache Gruppe.
  • Ein Modul hei√üt einfach, wenn er keine echten Untermoduln hat.
  • Ein Ring hei√üt einfach, wenn er keine nichttrivialen zweiseitigen Ideale besitzt. Ist R nicht-kommutativ, so ist die Einfachheit von R als links-R-Modul restriktiver als die ringtheoretische Einfachheit.
  • Eine Inzidenzstruktur oder ein Blockplan hei√üen einfach, wenn man ihre Bl√∂cke als Punktmengen und ihre Inzidenzrelation als mengentheoretisches Enthaltensein auffassen kann.
  • Eine einfache Funktion ist eine messbare Funktion mit einer abz√§hlbaren Menge von Funktionswerten.

einfach zusammenhängend

  • Ein topologischer Raum hei√üt einfach zusammenh√§ngend, wenn in ihm jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, d.¬†h. wenn die Fundamentalgruppe trivial ist.
  • √Ąquivalent dazu: Eine offene Menge D hei√üt (homotop) einfach zusammenh√§ngend, falls jede geschlossene Kurve in D nullhomotop ist.

elliptisch

endlich

  • Eine Menge hei√üt endlich, wenn ihre M√§chtigkeit (die Anzahl ihrer Elemente) eine nat√ľrliche Zahl ist. Oder √§quivalent: wenn keine Bijektion zwischen der Menge und einer ihrer echten Teilmengen existiert.
  • Ein Ma√ü hei√üt endlich, wenn das Ma√ü der Grundmenge ő© des Ma√üraums eine endliche Zahl ist. Ein Ma√ü hei√üt ŌÉ-endlich, wenn ő© die abz√§hlbare Vereinigung messbarer Mengen endlichen Ma√ües ist.
  • In der Gruppentheorie ist die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Gruppen fundamental.
  • Projektionen und von-Neumann-Algebren k√∂nnen endlich sein, wie in der Typklassifikation von von-Neumann-Algebren erl√§utert.
  • In der Physik verwendet man das Wort endlich auch, um ‚Äěvon Null verschieden‚Äú zu sagen.

entartet

  • Ein einfacher Grenzfall eines eigentlich andersartigen mathematischen Objektes hei√üt entartet. So ist etwa ein Punkt ein entarteter Kreis (mit Radius 0).
  • Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) hei√üt entartet oder ausgeartet, wenn es einen Vektor x ‚Ȇ 0 gibt, der f√ľr jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erf√ľllt. Das Gegenteil wird manchmal mit dem Wort regul√§r bezeichnet, meist spricht man aber einfach von ‚Äěnicht entartet‚Äú bzw. ‚Äěnicht ausgeartet‚Äú.
  • Ein Eigenwert hei√üt l-fach entartet, wenn der zugeh√∂rige Eigenraum Dimension l > 1 hat.

erwartungstreu

  • Eine Sch√§tzfunktion g(őł) hei√üt erwartungstreu, wenn ihr Erwartungswert unter einer parametrischen Verteilung Pőł f√ľr alle őł mit dem zu sch√§tzenden Funktional ő≥(őł) √ľbereinstimmt.

euklidisch

exakt

F

faktoriell

fast abgeschlossen

  • Eine Menge M hei√üt bez√ľglich der Relation R fast R-abgeschlossen, wenn {\!}^\forallx{\!}^\inM({\!}^\exist y(xRy) \Rightarrow {\!}^\exist z{\!}^\inM (xRz)).

fast alle

  • Man sagt, dass eine Eigenschaft E f√ľr fast alle Elemente einer Menge oder Folge gilt, wenn sie f√ľr alle bis auf endlich viele gilt. Zum Beispiel gilt f√ľr eine konvergente Folge, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes fast alle Folgenglieder enthalten sind.

fast √ľberall

  • Man sagt, dass eine Eigenschaft E fast √ľberall in einer Menge X gilt, wenn auf X ein Ma√ü definiert ist und die Menge der Punkte, f√ľr die die Eigenschaft E nicht gilt, eine Nullmenge ist. Wenn die Menge X Teilmenge eines Euklidischen Raums ist, die Punkte von X also reelle Koordinaten haben, legt man in der Regel das Lebesgue-Ma√ü zugrunde. Siehe Nullmenge f√ľr weitere Erkl√§rungen und Beispiele.

fast sicher

  • Man sagt, dass ein Ereignis auf einem Wahrscheinlichkeitsraum fast sicher (f.¬†s. oder engl. a.¬†e. f√ľr ‚Äěalmost everywhere‚Äú) eintritt, wenn dessen Wahrscheinlichkeit 1 betr√§gt. D.¬†h. das Ereignis tritt fast √ľberall auf dem Wahrscheinlichkeitsraum, als Ma√üraum betrachtet, ein. Die Definition ist √§quivalent zu der Definition von fast √ľberall aus der Ma√ütheorie.

fein, feiner, feinst

Diese Attribute dienen in der Topologie dem Vergleich verschiedener topologischer Strukturen auf derselben Menge. Siehe Topologischer Raum.

fett

Als fette Menge wird eine Teilmenge eines topologischen Raums X bezeichnet, die nicht mager ist, s. Satz von Baire.

fraktal

In der Mathematik Bezeichnung f√ľr Mengen mit gebrochener Hausdorff-Dimension, selbst√§hnliche Mengen (s. auch IFS-Fraktal) oder selbst√§hnliche Funktionen; siehe auch Fraktale Dimension.

frei

G

ganz

  • Eine in ganz \mathbb{C} holomorphe Funktion hei√üt ganze Funktion.
  • In der Algebra hei√üt ein Element einer Ringerweiterung B / A ganz, wenn es Nullstelle eines normierten Polynomes mit Koeffizienten aus A ist.
  • Als Spezialfall hiervon hei√üt ein Element einer K√∂rpererweiterung K von \mathbb{Q} (algebraisch) ganz oder ganzalgebraisch, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus \mathbb{Z} ist.
  • Eine Ringerweiterung hei√üt ganz, wenn alle Elemente ganz sind.

gerade

geordnet

glatt

  • Bei Funktionen, Kurven, Mannigfaltigkeiten und anderen differenzierbaren Objekten: Oft salopp gebraucht in der Bedeutung ‚Äěgen√ľgend oft differenzierbar‚Äú. Manchmal formal definiert als ‚Äěbeliebig oft differenzierbar‚Äú. Im Falle von Kurven im \mathbb{R}^n steht glatt oft auch lediglich f√ľr stetig differenzierbar ‚Äď siehe auch glatte Kurve und glatte Funktion.

gleichmäßig beschränkt

Sei (Y,\|.\|) ein normierter Raum. Eine Klasse von Funktionen F von X\rightarrow Y heißt gleichmäßig beschränkt, wenn es eine Konstante C\in (0,+\infty) gibt mit \sup_{f\in F}\|f\|\leq C.

gleichmäßig konvergent

  • Sei D\subseteq\mathbb{R}. Eine Funktionenfolge (f_n)\subset\left\{f:D\rightarrow\mathbb{R}\right\} hei√üt gleichm√§√üig konvergent, wenn gilt:\forall\varepsilon&amp;gt;0~\exists n_0\in\mathbb{N}~\forall n,m\in\mathbb{N}~\textrm{mit}~n,m\geq n_0,~\forall x\in D:|f_n(x)-f_m(x)|&amp;lt;\varepsilon

gleichmäßig stetig

  • Seien (X,d1) und (Y,d2) metrische R√§ume. Eine Funktion f von X\to Y hei√üt gleichm√§√üig stetig genau dann, wenn zu jedem \varepsilon&amp;gt;0 ein őī > 0 existiert mit d_1(a,b)\le\delta\Rightarrow d_2(f(a),f(b))\le\varepsilon\quad(a,b\in X).

gleichgradig stetig

  • Seien (X,d1) und (Y,d2) metrische R√§ume. Eine Menge F von Funktionen X\to Y hei√üt gleichgradig stetig im Punkt x0 wenn zu jedem \varepsilon&amp;gt;0 ein őī > 0 existiert mit \forall x\in X \quad d_1(x,x_0)\le\delta\Rightarrow \sup_{f\in F}d_2(f(x),f(x_0))\le\varepsilon. Die Menge F hei√üt gleichgradig stetig, wenn sie in jedem Punkt gleichgradig stetig ist.
  • Die Menge F hei√üt gleichgradig gleichm√§√üig stetig, wenn őī unabh√§ngig von x0 gew√§hlt werden kann, also falls gilt:

\forall \varepsilon&amp;gt;0 \quad\exists \delta&amp;gt;0\quad \forall x,y \in X \quad d_1(x,y)\le\delta\Rightarrow \sup_{f\in F}d_2(f(x),f(y))\le\varepsilon.

  • Spezialfall: Sei D\subseteq\mathbb{R}. Eine Menge von Funktionen F\subseteq\left\{f:D\rightarrow\mathbb{R}\right\} hei√üt gleichgradig stetig genau dann, wenn \forall \varepsilon&amp;gt;0~\exists \delta&amp;gt;0~\forall f\in F~\forall x,y\in D:\left|x-y\right|&amp;lt;\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(y)\right|&amp;lt;\varepsilon

global

  • Nicht auf eine Umgebung bezogen, also nicht lokal, sondern auf eine gesamte Grundmenge.

Grad

  • In der Geometrie ist das Grad Ma√üeinheit f√ľr die Gr√∂√üe eines ebenen Winkels.
  • In der Algebra ist der Grad eines Summanden in einem Polynom der Exponent, mit dem die Variable in diesem Term potenziert ist; der Grad des Polynoms ist der gr√∂√üte Grad eines in dem Polynom enthaltenen Summanden.
  • In der Darstellungstheorie ist der Grad der Darstellung die Dimension des Vektorraums, in dem die Darstellung stattfindet.
  • In der Graphentheorie ist der Grad einer Ecke die Anzahl der in dieser Ecke zusammentreffenden Kanten.
  • F√ľr den Grad einer Karte zwischen Mannigfaltigkeiten, siehe [1].

grob, gröber, gröbst

Diese Attribute dienen in der Topologie dem Vergleich verschiedener topologischer Strukturen auf derselben Menge. Siehe Topologischer Raum.

größtes Element

  • Ein Element x einer halbgeordneten Menge hei√üt gr√∂√ütes Element, wenn alle anderen Elemente kleiner sind, d.¬†h. f√ľr jedes Element y die Relation x ‚Č• y gilt. Das gr√∂√üte Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch maximal und kleinstes Element.

H

harmonisch

Hausdorffraum

hebbar

Funktion g : D \rightarrow \mathbb{C} existiert mit g = f in D\backslash\left\{ a\right\} .

hermitesch

  • Das Adjektiv hermitesch (oder auch Hermitesch) leitet sich von Charles Hermite her, es gibt auch die (falsche) Schreibweise ‚Äěhermitisch‚Äú.
  • Die hermitesch adjungierte bzw. hermitesch konjungierte Matrix zu einer Matrix A ist die komplex Konjugierte der Transponierten (oder umgekehrt) von A, {\overline{A}}^{T}={\overline{A^{T}}}. Alle komplexen Matrizen und Vektoren lassen sich hermitesch konjugieren; die hermitesch Konjugierte einer reellen Matrix ist einfach die Transponierte. G√§ngige Schreibweisen f√ľr die hermitesch Konjungierte von A sind A^H=A^{\dagger}=\mathrm{adj}(A). Die Notation A * steht je nach Autor f√ľr die hermitesch adjungierte bzw. hermitesch konjungierte oder aber f√ľr die nur komplex konjugierte Matrix. Sie ist daher zu vermeiden.
  • Zwei Matrizen A, B hei√üen adjungiert oder hermitesch adjungiert oder hermitesch konjugiert zueinander, wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen, das hei√üt B = AH.
  • Eine Matrix hei√üt hermitesch oder selbstadjungiert genau dann, wenn sie zu sich selbst hermitesch adjungiert bzw. adjungiert ist, das hei√üt A = AH. Aus hermitesch folgt quadratisch, normal und daraus diagonalisierbar.

hinreichend

hölder-stetig

  • F√ľr metrische R√§ume (E,dE),(F,dF) hei√üt eine Funktion f:\Omega\subset E\rightarrow F h√∂lder-stetig mit Exponent \alpha\in\mathbb{R}_{&amp;gt;0} und Konstante C\in\mathbb{R}_{&amp;gt;0}, falls f√ľr alle x,y\in\Omega gilt d_F(f(x),f(y))\leq C(d_E(x,y))^\alpha

holomorph

  • In der Funktionentheorie hei√üt eine Funktion einer komplexen Variablen holomorph oder regul√§r in einem Bereich, wenn sie in diesem Bereich eindeutig ist und eine stetige Ableitung hat; diese Definition impliziert Stetigkeit der Funktion selbst.

homogen

  • Homogen ist ein Raum, der ‚Äě√ľberall gleich aussieht‚Äú:
  • Homogenit√§t bezeichnet eine Art von Kompatibilit√§t mit Skalarmultiplikation:
    • Ein lineares Gleichungssystem hei√üt homogen, wenn seine m Gleichungen in den n Unbekannten die Form aj1x1 + ‚Ķ + ajnxn = 0 haben (f√ľr alle j aus 1, 2, ‚Ķ,m); Wenn auf der rechten Seite in mindestens einer Gleichung eine andere Zahl als die 0 steht, hei√üt das Gleichungssystem inhomogen.
      Siehe: Homogene Gleichung
    • Eine Abbildung hei√üt homogen vom Grad p, falls f√ľr Skalare a die Gleichung f(ax) = apf(x) gilt; manchmal wird ‚Äěhomogen‚Äú auch im Sinne von ‚Äěhomogen vom Grad 1‚Äú benutzt.
      Siehe: Homogene Abbildung, Homogenes Polynom
    • In Verallgemeinerung des Begriffs ‚Äěhomogenes Polynom‚Äú hei√üen Elemente in einem graduierten Objekt (Ring, Algebra, Modul) homogen, wenn sie in einem der graduierten Bestandteile liegen. Ein graduierter Morphismus hei√üt homogen vom Grad p, wenn er den Grad um p erh√∂ht.
      Siehe: Graduierung (Algebra)
  • Eine Relation hei√üt homogen, wenn Vor- und Nachmenge √ľbereinstimmen.
  • In der Zahlentheorie hei√üen Zahlen homogen, wenn sie aus den gleichen Primfaktoren aufgebaut sind, wie beispielsweise 60=2^2\times3\times5 und 90=2\times3^2\times5.
  • In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten verwendet.

homöomorph

homotop

Zwei Teilmengen (oder zwei Kurven) eines topologischen Raums sind homotop, wenn sie sich stetig ineinander deformieren lassen.

hyperbolisch

  • In der Geometrie eine Kurve zweiten Grades (auch ‚Äězweiter Ordnung‚Äú).
  • Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen hei√üt hyperbolisch.
  • Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien hei√üt hyperbolisch. Darin ist die Winkelsumme im Dreieck immer kleiner als 180 Grad.
  • Ein zweidimensionaler Bilinearraum (V, b) hei√üt hyperbolische Ebene, wenn er zwei Vektoren x und y mit der Eigenschaft b(x,x) = 0, b(y, y) = 0, b(x, y) = 1 enth√§lt.
  • Ein Bilinearraum, der als orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen dargestellt werden kann, hei√üt hyperbolischer Raum.

I

ideal

idempotent

  • Eine Matrix A hei√üt idempotent, wenn AA = A gilt; allgemeiner:
  • Ein Element e eines Monoiden hei√üt idempotent, wenn ee = e gilt.

indefinit

  • Die Matrix A hei√üt indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt.

inhomogen

injektiv

integrabel

invers

invertierbar

involutorisch

  • Eine quadratische Matrix hei√üt involutorisch, wenn ihr Quadrat die Einheitsmatrix ist.
  • Eine Abbildung hei√üt involutorisch, wenn das zweifache Anwenden die Identit√§t ist. Anschaulich: Zwei Mal machen macht gar nichts. Beispiele sind die komplexe Konjugation, die hermitesche Konjugation, das Transponieren, das Invertieren und viele mehr.

irrational

irreduzibel

  • In einem Integrit√§tsring R hei√üt eine von Null verschiedene Nichteinheit p \in R irreduzibel, wenn f√ľr alle x, y \in R aus p = xy folgt: x ist eine Einheit oder y ist eine Einheit. Siehe auch irreduzibles Polynom.
  • Eine lineare Darstellung hei√üt irreduzibel, wenn sie nicht reduzibel ist, wenn also der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, keine nichttrivialen Unterr√§ume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Die Klassifikation nach irreduziblen Darstellungen ist die Hauptaufgabe der Darstellungstheorie.
  • Eine Markow-Kette hei√üt irreduzibel, wenn jeder Zustand mit jedem verbunden ist.
  • Irreduzibler topologischer Raum

irreflexiv

  • Eine zweistellige Relation R hei√üt irreflexiv auf einer Menge, wenn kein Element dieser Menge in Relation zu sich selbst steht: ¬¨ ‚ąÉ x: xRx. ‚ÄěIrreflexiv‚Äú ist somit nicht das Gegenteil von ‚Äěreflexiv‚Äú: eine Relation kann ohne weiteres weder reflexiv noch irreflexiv sein. Die Relation auf der leeren Menge ist sowohl reflexiv als auch irreflexiv. Eine irreflexive Ordnungsrelation hei√üt strikt.

isometrisch isomorph

isomorph

  • Zwei Mengen hei√üen isomorph, wenn sie durch einen Isomorphismus, also eine bijektive strukturerhaltende Abbildung aufeinander abgebildet werden k√∂nnen.

isotrop

  • Ein Element x eines Bilinearraumes (V, b) hei√üt isotrop, wenn die Gleichung b(x, x) = 0 gilt.

J

K

kanonisch

  • Die kanonische Basis des Vektorraums R3 ist {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Achtung: nicht jeder Vektorraum hat eine kanonische Basis.
  • Die kanonische Abbildung ŌÜ eines Vektorraums V auf einen Faktorraum V/U ist durch ŌÜ(v)=v+U gegeben.
  • Beispiel kanonische Verkn√ľpfung: Hat man eine einfache algebraische Struktur, wie etwa eine Menge M und eine Verkn√ľpfung \circ darauf, so kann man allgemein formulieren, wie sich eine Verkn√ľpfung auf einer Quotientenmenge von M nach einer beliebigen √Ąquivalenzrelation R definieren l√§sst. N√§mlich als Verkn√ľpfung \circ_R zwischen den √Ąquivalenzklassen, wobei sich das Ergebnis der Verkn√ľpfung als die √Ąquivalenzklasse des Ergebnisses der Anwendung der urspr√ľnglichen Verkn√ľpfung auf je einen beliebigen Repr√§sentanten der zu verkn√ľpfenden Klassen ergibt; f√ľr Elemente a, b \in M also [a] \circ_R [b] \stackrel{\text{def}}= [a \circ b]. Dies ist jedoch weder immer die einzige M√∂glichkeit eine Verkn√ľpfung auf der Quotientenmenge zu definieren, noch ist sie immer wohldefiniert, f√ľhrt also zu einem Ergebnis. Hier ist sie zum Beispiel nur wohldefiniert, wenn urspr√ľngliche Verkn√ľpfung und betrachtete √Ąquivalenzrelation miteinander vertr√§glich sind. Ist sie wohldefiniert, kann man die Verkn√ľpfung als kanonische Verkn√ľpfung bezeichnen.
  • Eine kanonische Transformation, in der klassischen Mechanik eine Koordinatentransformation im Phasenraum, die die Hamiltonschen Gleichungen invariant l√§sst.
  • schwer zu fassender Begriff, der ungef√§hr soviel wie eindeutig analog bedeutet: Wird eine Eigenschaft (oder Methode) eines mathematischen Objektes aus den Eigenschaften und/oder Methoden eines anderen abgeleitet, indem eine Vorgehensweise angewendet wird, die analog zu einer Vorgehensweise ist, durch die bereits eine andere Eigenschaft (oder Methode) desselben mathematischen Objektes abgeleitet wurde, und ergibt sich die abgeleitete Eigenschaft (oder Methode) hierbei eindeutig, so kann die Eigenschaft (oder Methode) als kanonisch bezeichnet werden. Sie wird sozusagen analog zu der anderen Eigenschaft (oder Methode) f√ľr dasselbe Objekt abgeleitet und ergibt sich dabei eindeutig.
  • Verwandte Begriffe: nat√ľrlich, standardisiert, normiert, √ľblich, gew√∂hnlich.

Klasse Cp

  • eine Funktion ist von der Klasse Cp bzw. eine Cp-Funktion, wenn sie p mal stetig differenzierbar ist.

klein

  • Eine Kategorie hei√üt klein, wenn die Klasse ihrer Objekte eine Menge ist.

kleinstes Element

  • Ein Element x einer halbgeordneten Menge hei√üt kleinstes Element, wenn alle anderen Elemente gr√∂√üer sind, d.¬†h. f√ľr jedes Element y die Relation x ‚ȧ y gilt. Das kleinste Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch minimal und gr√∂√ütes.

kollinear

  • Drei oder mehr Punkte, die auf einer Geraden liegen, hei√üen kollinear.
  • Zwei Vektoren hei√üen kollinear, wenn sie linear abh√§ngig sind.
  • Eine Abbildung zwischen Vektorr√§umen, die alle Geraden wieder auf Geraden abbildet, hei√üt kollinear oder projektiv oder Kollineation. Siehe Kollineare Abbildung.

Kolmogoroffsch

kommutativ

  • Eine zweistellige Verkn√ľpfung ¬∑ hei√üt kommutativ, wenn x¬∑y = y¬∑x (das Kommutativgesetz) f√ľr alle x und y gilt.
  • Eine Gruppe hei√üt kommutativ (auch: abelsch), wenn ihre Verkn√ľpfung kommutativ ist.
  • Ein Ring hei√üt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
  • Ein Diagramm hei√üt kommutativ, wenn verschiedene Pfade zwischen je zwei Punkten des Diagramms zu gleichen Funktionen f√ľhren.

kompakt

komplanar

komplementär

  • Zwei spitze Winkel hei√üen komplement√§r oder Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90¬į) erg√§nzen
  • siehe auch: Minor

konform

kongruent

  • Zwei geometrische Figuren hei√üen kongruent oder deckungsgleich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung aufeinander abgebildet werden k√∂nnen. Siehe Kongruenz (Geometrie). Wird zus√§tzlich zentrische Streckung zugelassen, hei√üen die Figuren √§hnlich.
  • In Algebra und Zahlentheorie hei√üen zwei Zahlen kongruent modulo m, wenn sie denselben Rest bez√ľglich eines Divisors m haben. Beispiel: 3 ‚Č° 24 mod 7. Siehe Kongruenz (Zahlentheorie).

konjugiert

  • Zwei Komplexe Zahlen a und b hei√üen konjugiert komplex zueinander, wenn ihre Realteile √ľbereinstimmen und ihre Imagin√§rteile gleichen Betrag und unterschiedliches Vorzeichen haben. Beispiel: die komplex Konjugierte von 2+i ist 2‚ąíi.
  • Matrizen hei√üen komplex konjugiert zueinander, wenn alle ihre Koeffizienten komplex konjugiert zueinander sind.
  • In der Funktionalanalysis hei√üen lineare Operatoren komplex konjugiert zueinander, wenn ‚Ķ
  • In der abstrakten Algebra hei√üen zwei √ľber K algebraische Elemente einer K√∂rpererweiterung L/K zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom √ľber K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L hei√üen Konjugierte von a (in L). Jeder K-Automorphismus von L (der K punktweise festh√§lt) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.
  • In einer Gruppe (G, *) hei√üen die Elemente a und b zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement c gibt, sodass b = c ‚ąí 1ac ist. Die Abbildung a \mapsto c^{-1}ac hei√üt Konjugation mit c.
  • Zwei Untergruppen U und V hei√üen zueinander konjugiert, wenn es ein Element c gibt, sodass cU = Vc.
  • Zwei Zahlen p, q &amp;gt; 0\; hei√üen konjugiert, wenn \frac 1p + \frac 1q = 1 gilt.
  • Zwei stetige Abbildungen f:X\rightarrow X sowie g:Y\rightarrow Y bez√ľglich zweier metrischer R√§ume X und Y hei√üen topologisch konjugiert, wenn es einen Hom√∂omorphismus h: X\rightarrow Y gibt sodass: h\circ f=g\circ h.

konsistent

  • In der mathematischen Statistik hei√üt eine Sch√§tzung konsistent, wenn sie in Wahrscheinlichkeit (d.¬†h. f√ľr eine ins Unendliche wachsende Stichprobe) gegen die gesch√§tzte Gr√∂√üe konvergiert.

konvex

  • Eine Menge eines reellen Vektorraums hei√üt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten auch die Verbindungsstrecke enth√§lt.
  • Eine auf einer konvexen Menge K definierte reellwertige Funktion f hei√üt (von unten) konvex, wenn f(t x+(1-t)y) \le t f(x)+(1-t)f(y) f√ľr alle x,y\in K und alle t\in [0,1] (das hei√üt, der Funktionsgraph verl√§uft stets unterhalb jeder Sekante).

kopunktal

  • Drei oder mehr Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt gehen (mit demselben Punkt inzidieren).

L

lindelöf

linear

  • Eine Funktion der Form f(x) = a + bx hei√üt affin-linear, siehe auch affine Abbildung und lineare Funktion. In der Elementarmathematik und vielen Anwendungen sagt man stattdessen nur linear. Das ist mit der folgenden, in weiten Teilen der Mathematik √ľblichen Definition von linear nur im Sonderfall a=0 kompatibel:
  • In der Algebra und darauf zur√ľckgreifenden Gebieten der Mathematik hei√üt ein funktionaler Zusammenhang f(x) linear, wenn er folgende zwei Bedingungen erf√ľllt: (1) Additivit√§t: f(x¬†+¬†y) = f(x)¬†+¬†f(y); (2) Homogenit√§t: f(őĪx) = őĪf(x) f√ľr alle őĪ aus einem zugrunde liegenden K√∂rper.
  • In der Logik hei√üen Terme linear, wenn sie jede Variable h√∂chstens einmal enthalten.
  • Die Funktionalanalysis handelt von linearen Operatoren.
  • Eine lineare Ordnungsrelation hei√üt auch total, siehe dort.
  • In der Codierungstheorie hei√üt ein Code linear, wenn er die Struktur eines Vektorraumes tr√§gt.

linksgekr√ľmmt

Eine zwei Mal differenzierbare Funktion f: \R\to\R hei√üt in einem Intervall I\! linksgekr√ľmmt, wenn die zweite Ableitung positiv ist, also \forall x\in I:\,f''(x)&amp;gt;0. Der Name r√ľhrt daher, dass ein Fahrzeug stets nach links lenken muss, wenn es sich in Richtung steigender x\!-Werte entlang des Graphen der Funktion bewegt. Linksgekr√ľmmte Funktionen sind streng konvex.

linksverträglich

Lipschitz-stetig

Eine reelle Funktion hei√üt Lipschitz-stetig, wenn die Anstiege (oder ‚ÄěSteigungen‚Äú) aller Sekanten nach oben und unten beschr√§nkt sind. Der Begriff kann auf Funktionen in metrischen R√§umen ausgedehnt werden.

lokal

  • auf eine Umgebung bezogen
  • Ein Ring hei√üt lokal, wenn er genau ein maximales Linksideal (oder Rechtsideal) besitzt.

lokal endlich

  • Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums ist lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen ber√ľhrt.
  • Eine Halbordnung \leqslant auf einer Mengen M ist lokal endlich, wenn jedes Intervall [x,y]=\{z\in M:x\leqslant z\leqslant y\} eine endliche Menge ist.

lokal Lipschitz-stetig

Eine reelle Funktion heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn die Anstiege aller Sekanten nach oben und unten, innerhalb eines Intervalls, beschränkt sind.

lokal metrisierbar

lokal zusammenhängend

M

mager

marginal

  • In der Stochastik hei√üt eine Wahrscheinlichkeit marginal, die aus einer bedingten Wahrscheinlichkeit durch ‚ÄěMarginalisierung‚Äú hervorgegangen ist. ‚ÄěMarginalisieren‚Äú hei√üt, √ľber alle m√∂glichen Werte einer Bedingung zu summieren oder integrieren. Beispiel: Ausgehend von der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B,C) ist P(A|B) bez√ľglich C marginal.

maximal

  • Ein Element einer halbgeordneten Menge hei√üt maximal, wenn es in der Ordnung kein gr√∂√üeres Element gibt. Dieses Element muss nicht das gr√∂√üte Element sein: Wenn es mehrere maximale Elemente gibt, gibt es kein gr√∂√ütes.
  • Ideal (Mathematik), Untermodul
  • Ein Orthonormalsystem S eines Hilbertraums H hei√üt maximal, wenn es in H au√üer dem Nullvektor keinen Vektor gibt, der zu allen Vektoren aus S orthogonal ist. Das hei√üt, es gilt f√ľr alle x aus H  \left( \langle x, u \rangle = 0 \  \forall u \in S \right) \Rightarrow x=0.

meromorph

  • Ist (eine Funktion einer komplexen Variablen) f holomorph im Gebiet G bis auf eventuelle Ausnahme von Polen, so hei√üt f meromorph in G.

messbar

  • Messbarer Raum w√§re die w√∂rtliche √úbersetzung des englischen measurable space, der auf Deutsch eingef√ľhrterweise Messraum hei√üt; siehe Ma√ütheorie. Die einzelnen Mengen der ŌÉ-Algebra eines Ma√üraums (d.¬†h. eines Messraums, auf dem ein Ma√ü definiert ist) hei√üen jedenfalls messbar; siehe auch dazu den Artikel Ma√ütheorie.
  • Messbar ist nicht das gleiche wie metrisierbar, da ein Ma√ü keine Metrik ist.

metrisierbar

minimal

  • Ein Element einer halbgeordneten Menge hei√üt minimal, wenn es in der Ordnung kein kleineres Element gibt. Dieses Element muss nicht das kleinste Element sein: Wenn es mehrere minimale Elemente gibt, gibt es kein kleinstes.

monoton

  • Folgen. Eine Folge von Elementen einer geordneten Menge hei√üt monoton wachsend bzw. monoton abnehmend, wenn jedes Folgenglied kleiner bzw. gr√∂√üer ist als das n√§chste. Eine Folge hei√üt monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton abnehmend ist.
  • Logik
  • Eine Schauderbasis hei√üt monoton, wenn die Basiskonstante 1 ist.

multilinear

  • Eine Abbildung die Argumente aus mehreren Vektorr√§umen in einen Vektorraum abbildet, hei√üt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, wobei alle Vektorr√§ume √ľber demselben Skalark√∂rper definiert sein m√ľssen. Eine multilineare Abbildung in den Skalark√∂rper ist eine Multilinearform.

multiplikativ

  • Man nennt eine Gruppe oder Halbgruppe multiplikativ (im Gegensazu zu additiv), wenn das verwendete Symbol f√ľr die Gruppenverkn√ľpfung ein Punkt ist bzw. weggelassen wird. Der Begriff bezieht sich ausschlie√ülich auf die Schreibweise. Das neutrale Element wird dann h√§ufig als Einselement und mit 1 oder e bezeichnet, das Inverse von a mit a ‚ąí 1 und die n-fache Verkn√ľpfung eines Elements mit sich selbst wird als Potenz an geschrieben.
  • Eine Abbildung zwischen zwei Strukturen mit einer multiplikativen Verkn√ľpfung hei√üt multiplikativ, wenn sie bez√ľglich dieser Verkn√ľpfung ein Homomorphismus ist. So werden z.¬†B. bei der Gelfand-Transformation multiplikative, lineare Funktionale auf einer Banachalgebra betrachtet. Vergleiche auch Multiplikativit√§t der Norm oder Multiplikativit√§t der Determinante.
  • In der Zahlentheorie nennt man eine auf den nat√ľrlichen Zahlen definierte Abbildung f multiplikativ, wenn f(nm) = f(n)f(m) f√ľr je zwei teilerfremde Zahlen n und m gilt, siehe Zahlentheoretische Funktionen.

multivariat

  • Eine Funktion ist multivariat, wenn sie mehrere unbestimmte Variablen enth√§lt (z.¬†B. 3x2y + y2z ‚ąí x2z3). Siehe auch: univariat.
  • Die gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallsvariablen ist multivariat (s. Hauptartikel: multivariate Verteilung). Ebenso ist die gemeinsame Analyse mehrerer statistischer Merkmale multivariat (s. Hauptartikel: multivariate Verfahren).

N

nat√ľrlich

  • Eine Abbildung zwischen zwei Konstruktionen F(A) und G(A) zu einem Objekt hei√üt nat√ľrlich, wenn sie kompatibel mit dem Austausch von A durch andere Objekte ist. Beispiel: die Determinante als Abbildung der n¬†√ó¬†n-Matrizen in den Grundk√∂rper ist kompatibel mit dem √úbergang zu einem Erweiterungsk√∂rper. Siehe Kategorientheorie
  • Siehe nat√ľrliche Zahl
  • Siehe nat√ľrlicher Logarithmus

negativ

  • Eine reelle Zahl hei√üt negativ, wenn sie kleiner als Null ist. Eine Zahl, die kleiner oder gleich Null ist, bezeichnet man am k√ľrzesten als nicht-positiv. Siehe positive und negative Zahlen.

negativ definit

nilpotent

nirgends dicht oder nirgendwo dicht

  • Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist nirgends dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist. Beispiel: die Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z} ist nirgends dicht in der Menge der reellen Zahlen \mathbb{R}.

normal

normiert

  • Ein Vektor hei√üt normiert oder Einheitsvektor, wenn er die Norm 1 hat.
  • (auch: normalisiert): Ein normierter Wertebereich einer Variablen ist auf einen bestimmten Bereich skaliert ‚Äď √ľblicherweise zwischen 0 und 1 (bzw. 100 Prozent).
  • Ein Polynom nennt man normiert, wenn der Leitkoeffizient (der Koeffizient der h√∂chsten Potenz der Variable) 1 ist.
  • Ein Normierter Raum ist ein Vektorraum, der mit einer Norm ausgestattet ist.
  • Eine Gleichung hei√üt normiert, wenn sie auf grundlegende Funktionen zur√ľckgef√ľhrt oder in eine bestimmte standardisierte Darstellung gebracht ist.

normalisiert

  • (auch: normiert): Ein normierter Wertebereich einer Variablen ist auf einen bestimmten Bereich skaliert ‚Äď √ľblicherweise zwischen 0 und 1 (bzw. 100 Prozent).

notwendig

  • Eine Aussage A ist eine notwendige Bedingung einer anderen Aussage B, wenn zwischen den beiden Aussagen die logische Beziehung ‚Äěaus B folgt A‚Äú (kurz: B ‚áí A) besteht. √Ąquivalent dazu ist die Implikation ‚Äěnicht A ‚áí nicht B‚Äú. Der Gegenbegriff ist hinreichend. Siehe hierzu auch Notwendige und hinreichende Bedingung.

nullhomolog

  • Eine im Gebiet G\subseteq\mathbb C geschlossene Kurve \alpha:[a,b]\to G, hei√üt nullhomolog in G, wenn ihr Inneres \operatorname{Int}\,\alpha vollst√§ndig in G liegt, wobei \operatorname{Int}\,\alpha:=\{z\in\mathbb C\setminus\alpha([a,b]): n(\alpha,z)\ne 0\} mit der Windungszahl n.

nullhomotop

  • Eine geschlossene Kurve \alpha, \alpha:[a,b]\to D, hei√üt nullhomotop, wenn sie homotop zur konstanten Kurve \beta:[a,b]\to D mit ő≤(t) = őĪ(a) = őĪ(b) f√ľr alle t ist, also zu einer ‚ÄěKurve‚Äú, die in einen Punkt ausgeartet ist. Jede in einem Gebiet G nullhomotope Kurve ist auch in G nullhomolog. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

numerisch

O

orientiert

Der Begriff der Orientierung l√§sst sich f√ľr endlichdimensionale Vektorr√§ume √ľber geordneten K√∂rpern definieren und verallgemeinert das Konzept

  • der Durchlaufrichtung im Eindimensionalen,
  • der Begriffe links und rechts sowie des Drehsinns in der Ebene,
  • der Begriffe Linkssystem und Rechtssystem im dreidimensionalen Raum (vgl. Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der linken bzw. rechten Hand).

Im n-dimensionalen Raum ist die Orientierung eine Eigenschaft der Basen. Zwei Basen (aus n linear unabh√§ngigen Vektoren in gegebener Reihenfolge) hei√üen √§quivalent, wenn sie durch eine lineare Abbildung positiver Determinante auseinander hervorgehen. Es gibt genau zwei √Ąquivalenzklassen, die Orientierungen, n√§mlich die positive und die negative Orientierung. Dabei ist die kanonische Basis positiv orientiert.

offen

  • Auf der reellen Zahlengerade hei√üt ein Intervall I: = ]a,b[ = (a,b) offen, wenn es durch I=\{x\in\R|a&amp;lt;x&amp;lt;b\} gegeben ist.
  • Welche Teilmengen eines topologischen Raums offen hei√üen, ist Teil der Struktur eines topologischen Raumes. Aus einer Menge wird ein topologischer Raum dadurch, dass man angibt, welche Teilmengen offen hei√üen sollen.
  • Eine Menge, die Umgebung aller ihrer Punkte ist, hei√üt offen.
  • Eine Abbildung zwischen zwei topologischen R√§umen hei√üt offen, wenn sie offene Mengen auf offene Mengen abbildet.

Ordnung

  • Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente (die M√§chtigkeit der der Gruppe zugrunde liegenden Menge).
  • In der Gruppentheorie ist die Ordnung n eines Gruppenelements g die kleinste positive ganze Zahl, f√ľr die gn=e gilt (mit dem neutralen Element e).
  • Die Ordnung einer Nullstelle oder einer Polstelle ist deren Vielfachheit.
  • Die Ordnung einer Differentialgleichung ist der h√∂chste vorkommende Ableitungsgrad.
  • Die Ordnung eines Terms, mit einem Landau-Symbol O(x) bezeichnet, beschreibt die Geschwindigkeit, mit der dieser Term in einem Grenz√ľbergang divergiert.
  • Ordnung kann au√üerdem Anordnung bedeuten, also die durch eine Ordnungsrelation induzierte Struktur bezeichnen.
  • In der algebraischen Zahlentheorie hei√üt ein Unterring O des Ganzzahlringes eines Zahlk√∂rpers K eine Ordnung, wenn O eine Ganzheitsbasis der L√§nge [K:\mathbb Q] besitzt.

ordnungstreu

  • Eine Abbildung F: A‚ÜíB der geordneten Klasse (A, <A) auf der geordneten Klasse (B, <B) hei√üt ordnungstreu, wenn {\!}^\forall a,b{\!}^\inA: a <A b {\!}^{\Rightarrow} F(a) <B F(b).

ordnungsvollständig

Eine Menge mit einer Ordnungsrelation heißt ordnungsvollständig, wenn jede nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum hat. Siehe Ordnungstopologie.

orthogonal

  • In der Geometrie sind zwei Geraden oder Ebenen orthogonal zueinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden.
  • Ein Koordinatensystem hei√üt orthogonal, wenn seine Achsen paarweise orthogonal zueinander sind.
  • Eine Projektion hei√üt orthogonal, wenn die Projektionsstrahlen senkrecht auf die Projektionsfll√§che treffen.
  • In der linearen Algebra und analytischen Geometrie sind zwei Vektoren orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
  • Da in der Funktionalanalysis Funktionen als Vektoren aufgefasst werden, folgt unmittelbar, dass zwei Funktionen f und g orthogonal zueinander hei√üen, wenn ihr inneres Produkt null ist; das innere Produkt in Funktionenr√§umen ist in der Regel definiert als Integral von f*(x)g(x), gegebenenfalls multipliziert mit einer Gewichtsfunktion w(x).
  • Eine quadratische Matrix A hei√üt orthogonal, wenn ihre Inverse A‚ąí1 mit ihrer Transponierten AT √ľbereinstimmt, wenn also A¬†AT =¬†AT¬†A¬†=¬†1. Siehe: orthogonale Matrix. Orthogonale Matrizen besitzen in aller Regel reelle Koeffizienten. Matrizen mit komplexen Koeffizienten, die analoge Symmetrieeigenschaften besitzen, hei√üen unit√§r; die Transposition wird dabei durch die hermitesche Konjugation ersetzt.
  • Die Menge aller orthogonalen Matrizen vom Rang n √ľber dem K√∂rper K hei√üt orthogonale Gruppe O(n,K).

orthonormal

  • ‚ÄěOrthonormal‚Äú ist ein Kunstwort aus ‚Äěorthogonal‚Äú (s.¬†o.) und ‚Äěnormiert‚Äú, d.¬†h. zwei Vektoren sind genau dann orthonormal zueinander (bzw. bilden dann ein so genanntes Orthonormalensystem), wenn sie orthogonal stehen und die Vektoren Einheitsvektoren sind (Vektoren der L√§nge 1).

P

paarweise verschieden

  • je zwei Elemente einer Aufz√§hlung sind verschieden, z.¬†B. 1, 2, 3
  • 1, 1, 2 sind verschiedene Elemente, aber nicht paarweise verschieden

parabolisch

parakompakt

  • Ein topologischer Raum ist parakompakt, falls jede offene √úberdeckung eine offene, lokal endliche Verfeinerung besitzt. Parakompakte Hausdorff-R√§ume sind normal.

perfekt

  • In der Zahlentheorie hei√üen nat√ľrliche Zahlen perfekt (auch ‚Äěvollkommen‚Äú), wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler sind. Beispiel: 6=1+2+3. Ob es ungerade perfekte Zahlen gibt, ist bis heute unbekannt. Siehe vollkommene Zahl.
  • In der Topologie hei√üt eine Menge perfekt, wenn sie abgeschlossen ist und jeder ihrer Punkte ein H√§ufungspunkt der Menge ist (s. Hauptartikel: H√§ufungspunkt).

polnisch

positiv

  • Eine reelle Zahl hei√üt nach vorherrschendem Sprachgebrauch positiv, wenn sie gr√∂√üer als Null ist. Zahlen, die gr√∂√üer oder gleich Null sind, werden am k√ľrzesten als nicht-negativ bezeichnet. Siehe positive und negative Zahlen.

positiv definit

  • Eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Bilinearform s:V√óV‚ÜíK hei√üt positiv definit, wenn s(v,v) > 0 f√ľr alle v aus V\{0}.
  • Eine Matrix A\in\mathbb{K}^{n \times n} hei√üt positiv definit, falls  z^T Az&amp;gt;0,~\forall z\in \mathbb{K}^n\backslash\left\{0\right\}. Ist z^T Az\ge0, so bezeichnet man A als positiv semidefinit. In der Anwendung gilt meistens \mathbb{K}=\mathbb{R} oder \mathbb{K}=\mathbb{C}.
  • Siehe auch negativ definit.

präkompakt

prim

  • Eine nat√ľrliche Zahl hei√üt prim oder eine Primzahl, wenn sie au√üer den beiden trivialen Teilern (die Zahl selbst und die 1) keine weiteren Teiler besitzt. Die Zahlen 0 und 1 werden ausgeschlossen und sind keine Primzahlen.
  • Allgemein hei√üt ein Element eines Integrit√§tsrings prim, wenn es ungleich 0 und keine Einheit ist, und als Teiler eines Produkts auch immer einen der Faktoren teilt.

primitiv

projektiv

punktweise

  • Sind A und B (nichtleere) Mengen, und ist F eine Familie von Abbildungen A\to B, so gilt eine Eigenschaft punktweise auf F, wenn f√ľr jeden Punkt x\in A die Menge \{f(x):f\in F\}\subset B diese Eigenschaft besitzt. Beispiel: punktweise Konvergenz.
  • Ist F eine Familie von Funktionen von einer Menge M in eine algebraische Struktur S, so kann man aus den Verkn√ľpfungen von S durch punktweise Definition entsprechende Verkn√ľpfungen auf F definieren. Ist z.B. (S,+,\cdot) ein K√∂rper, so kann man mit den Gleichung (f + g)(x): = f(x) + g(x) f√ľr f,g\in F und x\in M, punktweise eine Addition von Funktionen definieren. Ist F bzgl. dieser zweistelligen Verkn√ľpfung abgeschlossen, so wird (F, + ) hierdurch zu einer abelschen Gruppe. Ebenso definiert man punktweise (őĽf)(x): = őĽf(x), f√ľr f\in F,\lambda\in S und x\in M, womit dann F ‚Äď wieder Abgeschlossenheit vorausgesetzt ‚Äď zu einem Vektorraum √ľber S. Definiert man zus√§tzlich, wieder punktweise, durch (fg)(x): = f(x)g(x) eine Multiplikation, und bleibt F auch unter dieser neuen Verkn√ľpfung abgeschlossen, so wird F zu einer S-Algebra.

pythagoreisch

  • Ein Pythagoreisches Tripel sind drei nat√ľrliche Zahlen x,y,z, welche die aus dem Satz des Pythagoras bekannte Gleichung x2 + y2 = z2 erf√ľllen. Beispiele: 3,4,5; 5,12,13. Siehe Pythagoreisches Tripel. Man findet pythagoreische Tripel durch den Ansatz x = a2 ‚ąí b2, y = 2ab, z = a2 + b2.

Q

quasi-

Das Pr√§fix Quasi- oder quasi- wird verwendet, um eine Eigenschaft zu charakterisieren, die ‚Äď in einem streng definierten Sinne ‚Äď ‚Äěfast‚Äú einer anderen entspricht oder einer anderen sehr ‚Äě√§hnlich‚Äú ist.

Beispiele: Quasigruppe, Quasiordnung, quasikonforme Abbildung, quasikonkave Funktion, quasitonnelierter Raum, quasi-kompakt, Quasivollständigkeit.

R

Rang

  • In der linearen Algebra ist der Rang einer linearen Abbildung die Dimension des Bildraums. Der Rang einer Matrix ist der Rang der durch die Matrix vermittelten linearen Abbildung.
  • Der Rang eines Tensors, auch Stufe genannt, ist die Anzahl der Vektorr√§ume, aus deren direktem Produkt der Tensor gebildet ist.
  • In Anlehnung an den Rang eines Tensors ist in der Informatik, jedenfalls in der Fachsprache von Fortran, der Rang eines Feldes (Arrays) die Anzahl seiner Indizes.
  • Der Rang einer abelschen Gruppe gibt die ‚ÄěGr√∂√üe‚Äú der Gruppe im Verh√§ltnis zum Vektorraum √ľber den rationalen Zahlen an.

rational

  • Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich als Quotient aus zwei ganzen Zahlen darstellen l√§sst.
  • Die rationalen Funktionen √ľber einem K√∂rper K sind die Elemente des Quotientenk√∂rpers des Polynomringes √ľber K.
  • Ein rationaler Baum ist ein m√∂glicherweise unendlicher gerichteter Baum, der aber nur endlich viele verschiedene Unterb√§ume enth√§lt.
  • n Zahlen a1,...,an hei√üen rational abh√§ngig, wenn es ganze Zahlen c1,...,cn gibt, die nicht alle gleich Null sind, sodass c1a1 + ... + cnan = 0.

rechtsgekr√ľmmt

Eine zwei Mal differenzierbare Funktion f: \R\to\R hei√üt in einem Intervall I\! rechtsgekr√ľmmt, wenn die zweite Ableitung negativ ist, also \forall x\in I:\,f''(x)&amp;lt;0. Der Name r√ľhrt daher, dass ein Fahrzeug stets nach rechts lenken muss, wenn es sich in Richtung steigender x\!-Werte entlang des Graphen der Funktion bewegt. Rechtsgekr√ľmmte Funktionen sind streng konkav.

rechtsverträglich

reduzibel

  • Eine lineare Darstellung hei√üt reduzibel, wenn der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, nichttriviale Unterr√§ume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Eine reduzible Darstellung kann in eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ausreduziert werden.
  • Ringtheorie: reduzibles Element

reell

  • Der K√∂rper der reellen Zahlen entsteht durch Erweiterung aus dem der rationalen Zahlen durch Vervollst√§ndigung, etwa mit Hilfe der √Ąquivalenzklassen von Cauchy-Folgen oder aber der Dedekindschen Schnitte.
  • Nat√ľrliche, ganze, rationale und reelle Zahlen sind alle reell.
  • Komplexe Zahlen sind reell, wenn ihr Imagin√§rteil Null ist.
  • Eine Matrix ist reell, wenn ihre s√§mtlichen Koeffizienten reell sind.
  • Ein K√∂rper hei√üt formal reell, wenn sein Element ‚ąí1 nicht als Summe von Quadraten darstellbar ist.

reflexiv

  • Eine zweistellige Relation R hei√üt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht: ‚ąÄ x: xRx. Wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht, hei√üt die Relation irreflexiv.
  • Ein Banachraum hei√üt reflexiv, wenn die kanonische Einbettung in den Bidualraum surjektiv ist.

regelmäßig

regulär

relativ kompakt

  • Eine Menge F\subseteq\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}) hei√üt relativ kompakt (oder pr√§kompakt), wenn jede Folge aus F eine in \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}) konvergente Teilfolge besitzt. Dies ist √§quivalent zu: jede Folge aus F besitzt eine in F gleichm√§√üig konvergente Teilfolge.
  • eine Teilmenge eines topologischen Raums hei√üt relativ kompakt, wenn ihr Abschluss kompakt ist.

S

schlicht

  • Eine Abbildung f:G \rightarrow \mathbb{C} hei√üt schlicht (auf G) falls f injektiv und f holomorph ist.

selbstadjungiert

Ein selbstadjungierter Operator heißt auch hermitesch oder symmetrisch.

Ist f nicht auf ganz H definiert, sondern nur auf einem Teilraum D(f) von H, so sind die Begriffe symmetrisch und selbstadjungiert im Allgemeinen verschieden. Jeder selbstadjungierte Operator f ist symmetrisch, aber nicht jeder symmetrische Operator ist selbstadjungiert.

seltsam

semidefinit

semilinear

  • Eine Abbildung f: V‚ÜíW zwischen zwei Vektorr√§umen √ľber dem K√∂rper C der komplexen Zahlen hei√üt semilinear (oder auch antilinear), wenn f(v + w) = f(v) + f(w) und f(\lambda v)=\overline{\lambda}f(v) mit v, w aus V und őĽ aus C. Der Strich √ľber dem Koeffizienten őĽ bezeichnet komplexe Konjugation.
  • Ist allgemeiner R ein Ring und \sigma\colon R\to R ein Endomorphismus, so hei√üt eine additive Abbildung f\colon V\to W ŌÉ-semilinear, wenn f(\lambda v)=\sigma(\lambda)\cdot f(v) f√ľr alle \lambda\in R und v\in V gilt.

separabel

  • Ein topologischer Raum ist separabel, falls er eine abz√§hlbare dichte Teilmenge hat. Beispiel: Die Menge \mathbb{R} ist separabel, weil \mathbb{Q} dicht in \mathbb{R} liegt.
  • Ein Polynom √ľber einem K√∂rper ist separabel, wenn (es gibt zwei Definitionen):
    • es in seinem Zerf√§llungsk√∂rper nur einfache Nullstellen hat, bzw.
    • jeder seiner irreduziblen Teiler in seinem Zerf√§llungsk√∂rper nur einfache Nullstellen hat.
Siehe Körpererweiterung.

sesquilinear

  • Eine Abbildung \langle,\rangle: V \times W \rightarrow \mathbb{C} (mit zwei Vektorr√§umen V, W und dem K√∂rper \mathbb{C} der komplexen Zahlen) hei√üt sesquilinear (anderthalbfach linear), wenn sie linear im einen und semilinear im anderen Argument ist, wenn also \langle cx,dy \rangle=c\overline{d}\langle x,y \rangle oder, in der entgegengesetzten, ebenfalls gebr√§uchlichen Konvention, \langle cx,dy \rangle=\overline{c}d \langle x,y \rangle. Das innere Produkt in einem unit√§ren Raum ist eine hermitesche Form, also eine Sesquilinearform \langle,\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{C}, die unter Vertauschung der beiden Argumente in ihr komplex Konjugiertes √ľbergeht.

singulär

  • Eine quadratische Matrix hei√üt singul√§r, wenn sie nicht invertierbar ist.
  • In der Analysis hei√üt ein Punkt singul√§r (oder kritisch), wenn das Differential an dieser Stelle nicht surjektiv ist. Ein Wert hei√üt singul√§r, falls sein Urbild einen singul√§ren Punkt enth√§lt.

speziell

stark wohlgeordnet

stationär

stetig

strikt

surjektiv

  • Eine Funktion hei√üt surjektiv, wenn jedes Element der Wertemenge Funktionswert mindestens eines Elements der Definitionsmenge ist. Wenn man in dieser Definition mindestens durch genau ersetzt, erh√§lt man die Definition von bijektiv. Eine surjektive Funktion hei√üt gelegentlich Surjektion, in bestimmtem Kontext auch Projektion. Ein surjektiver Homomorphismus von M nach N hei√üt auch Homomorphismus ‚Äěvon M auf N‚Äú.

supplementär

  • Zwei Winkel hei√üen supplement√§r oder Erg√§nzungswinkel, wenn sie sich zu einem Winkel von 180¬į erg√§nzen

symmetrisch

  • Eine Relation R hei√üt symmetrisch, wenn aus a¬†R¬†b stets b¬†R¬†a folgt.
  • Eine Matrix hei√üt symmetrisch, wenn sie bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst √ľbergeht, wenn also f√ľr ihre Koeffizienten gilt aij=aji. Eine symmetrische Matrix stimmt mit ihrer Transponierten √ľberein. Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen gelten im Fall komplexer Koeffizienten nicht f√ľr symmetrische, sondern f√ľr hermitesche Matrizen.
  • Die symmetrische Gruppe Symn oder Sn besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen, Gruppenoperation ist die Verkettung der Permutationen.
  • Eine Funktion f:X^n\to Y hei√üt symmetrisch, wenn f√ľr alle Permutationen \sigma\in S_n und alle x=(x_1,...,x_n)\in X^n gilt f(x) = f(xŌÉ(1),...,xŌÉ(n)).

T

teilbar

  • Ein Element a eines Integrit√§tsrings R hei√üt teilbar durch ein Element b, wenn es ein Element c gibt, sodass die Gleichung a = b ¬∑ c gilt. b und c hei√üen dann Teiler von a.

teilgeordnet

total

  • Eine Relation R hei√üt total oder linear, wenn je zwei Elemente in der Relation zueinander stehen, wenn also f√ľr jedes Paar von Elementen a, b gilt: a R b oder b R a. Ein Spezialfall davon ist der folgende Punkt:
  • Eine strenge Halbordnung ‚Äě<‚Äú hei√üt total oder linear, wenn f√ľr jedes Paar verschiedener Elemente a, b gilt: a< b oder b < a.

total beschränkt

√Ąquivalente Bezeichnung: pr√§kompakt
Salopp: Eine Menge hei√üt pr√§kompakt, wenn sie sich mit endlich vielen epsilon-Kugeln √ľberdecken l√§sst.
Exakt: Eine Menge M hei√üt pr√§kompakt, wenn es zu jedem positiven reellen őĶ eine nat√ľrliche Zahl n gibt, sodass es Punkte m1, ‚Ķ mn gibt, sodass die Vereinigung aller Kugeln mit Radius őĶ um die Punkte mi gerade M enth√§lt.

transitiv

  • Eine Relation R hei√üt transitiv, wenn aus xRy und yRz folgt, dass xRz.
  • In der Gruppentheorie ist eine Operation transitiv, wenn sie nur eine Bahn hat, also jedes Element durch ein geeignetes Gruppenelement auf jedes andere Element abgebildet wird. Die Operation hei√üt zweifach transitiv, wenn die Gruppe transitiv auf der Menge aller Paare operiert, sie hei√üt scharf transitiv, wenn jedes Element durch genau ein Gruppenelement auf ein gegebenes anderes Element abgebildet wird. Entsprechend gibt es die Begriffe dreifach transitiv, zweifach scharf transitiv etc.
  • Eine Menge X ist transitiv, wenn jedes Element eines Elementes von X auch ein Element von X ist.
  • In der Stochastik ist eine Markow-Kette transitiv (auch irreduzibel genannt), wenn man von jedem Zustand zu jedem anderen mit einer positiven Wahrscheinlichkeit gelangen kann; siehe irreduzible Markow-Kette

transponiert

transzendent

  • Eine Funktion hei√üt transzendent, wenn sie nicht durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen dargestellt werden kann, also nicht algebraisch ist.
  • Eine komplexe Zahl hei√üt transzendent, wenn sie nicht algebraisch, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, siehe transzendente Zahl.
  • Ein Element einer K√∂rpererweiterung hei√üt transzendent, wenn es nicht algebraisch ist, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden K√∂rper, siehe algebraisches Element.

treu

  • Eine Darstellung hei√üt treu, wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist, wenn also verschiedene Gruppenelemente stets durch verschiedene Transformationen dargestellt werden.
  • Ein Funktor hei√üt treu, wenn die Einschr√§nkungen auf den Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten injektiv sind.

trigonalisierbar

  • Eine Matrix A hei√üt trigonalisierbar, wenn sie √§hnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist, also wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, sodass S ‚ąí 1AS eine obere Dreiecksmatrix ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerf√§llt, was insbesondere √ľber algebraisch abgeschlossenen K√∂rpern, wie den komplexen Zahlen, passiert.

trivial

  • Eine mathematische Aussage hei√üt trivial, wenn sie sich ohne jeden Zwischenschritt aus einer Definition oder einem Satz ergibt. Missbr√§uchlich wird dieses Attribut auch auf Aussagen angewandt, die auf einem gegebenen Niveau mit vergleichsweise elementaren Mitteln hergeleitet werden k√∂nnen (trivial ist, was der Prof nicht noch einmal erkl√§ren m√∂chte).
  • Mathematische Objekte hei√üen trivial, wenn sie besonders einfach sind. Beispiel: Die trivialen Teiler einer nat√ľrlichen Zahl n sind 1 und n, man kann sie angeben, ohne genaueres √ľber n (beispielsweise die Primfaktorzerlegung) zu kennen.
  • Funktionen und Funktionale hei√üen trivial, wenn sie auf die Null abbilden; analog sind triviale R√§ume je nach Kontext entweder leer oder enthalten nur die Null.

U

umkehrbar eindeutig

uniform

unimodular

  • Eine quadratische Matrix √ľber dem Integrit√§tsbereich R hei√üt unimodular, wenn ihre Determinante eine Einheit in R ist (s. Hauptartikel: Regul√§re Matrix).
  • Unter unimodulare Gruppe versteht man:
  • Eine unimodulare Transformation ist eine lineare Transformation mit ganzen rationalen Koeffizienten und Determinante ¬Ī1.
  • Eine unimodular beschr√§nkte Funktion ist eine auf dem beschr√§nkten Gebiet G definierte holomorphe Funktion f(z): {\ }^{\forall} z{\ }^{\in}G ( | f(z) | {\ }^{\leq}1).
  • Eine komplexe Zahl z hei√üt unimodular, wenn | z | = 1.

unitär

V

verträglich

verträglich heißt: sowohl linksverträglich als auch rechtsverträglich.

  • Sei A eine beliebige Menge, R \subseteq A \times A eine √Ąquivalenzrelation und \circ eine zweistellige innere Verkn√ľpfung auf A. R hei√üt mit \circ linksvertr√§glich (bzw. rechtsvertr√§glich), falls f√ľr alle (x, y) \in R und alle a \in A auch (a \circ x, a \circ y) (bzw. (x \circ a, y \circ a)) in R liegen. R hei√üt mit \circ vertr√§glich, falls R mit \circ sowohl links- als auch rechtsvertr√§glich ist.
  • In analoger Weise kann Vertr√§glichkeit auch f√ľr n-stellige Relationen und f√ľr Abbildungen definiert werden. Ein Distributivgesetz bringt die Vertr√§glichkeit einer Multiplikation mit einer Addition zum Ausdruck.

voll

  • Ein Funktor hei√üt voll, wenn die Einschr√§nkungen auf die Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten surjektiv sind.

vollkommen

  • Eine nat√ľrliche Zahl hei√üt vollkommen (auch perfekt oder ideal), wenn sie die Summe ihrer echten Teiler (das hei√üt aller Teiler au√üer sich selbst) ist. Beispiele: 6=1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Siehe vollkommene Zahl. Vergleiche auch die Attribute abundant und defizient in diesem Glossar.

vollständig

vorgängerklein

  • Eine Relation R hei√üt vorg√§ngerklein (oder mengenartig, auf engl.: left-narrow bzw. set-like), wenn f√ľr jedes y die Klasse {x | xRy} eine Menge ist.

W

wohlgeordnet

  • Eine linear geordnete Menge (Klasse) (K, < ) hei√üt wohlgeordnet, wenn jede Teilmenge (Teilklasse) von K bez√ľglich der Relation < ein kleinstes Element besitzt (s. Hauptartikel: Wohlordnung).

X

Y

Z

zentral

zusammengehörig

Zwei Klassen ohne Maximum, die Unterklassen einer geordenten Klasse sind, hei√üen zusammengeh√∂rig, wenn f√ľr jedes Element einer dieser Klassen ein gr√∂√üeres Element aus der anderen Klasse existiert und umgekehrt.

zusammenhängend

zyklisch

  • Eine zyklische Gruppe ist eine von einem Element erzeugte Gruppe.
  • Eine zyklische K√∂rpererweiterung ist eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe zyklisch ist.
  • Eine Hilbertraum-Darstellung hei√üt zyklisch, wenn es einen Vektor des Darstellungsraums gibt, so dass der davon erzeugte invariante Unterraum dicht liegt (topologische Variante) bzw. mit dem Darstellungsraum √ľbereinstimmt (algebraische Variante).

zyklotomisch

Das Wort zyklotomisch wurde aus dem englischen cyclotomic oder franz√∂sischen cyclotomique √ľbernommen und hat sich in einigen Zusammensetzungen als Synonym zum traditionellen deutschen Wortteil ‚ÄěKreisteilung-‚Äú etabliert.

Einzelnachweise


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