Polygonale Zahl

Eine Polygonalzahl ist ein Zahl, zu der es ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) gibt, das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lässt. Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl, da sich ein Quadrat aus 16 Steinen legen lässt. Zu den Polygonalzahl zählen unter anderem die Dreiecks- und Quadratzahlen.

Die Polygonalzahl zählen zu den figurierten Zahlen. Eine andere Art, Zahlen auf Polygone zurückzuführen, stellen die zentrierten Polygonalzahlen dar.

Die Polygonalzahl lassen sich durch eine einfache Rechenvorschrift erzeugen. Man wählt dazu eine natürliche Zahl d als Differenz. Die erste Zahl ist jeweils die 1 und alle nachfolgenden Polygonalzahl entstehen indem man jeweils die Differenz zur vorhergehenden hinzuaddiert. Die folgenden Beispiele zeigen dies.

Dreieckszahlen
Die Differenz 1 führt zu den Summen 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots, aus denen man die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, \ldots erhält.
Quadratzahlen
Die Differenz 2 führt zu den Summen 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots, aus denen man die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, \ldots erhält.
Fünfeckszahlen
Die Differenz 3 führt zu den Summen 1 + 4 + 7 + 10 + \ldots, aus denen man die Fünfeckszahlen 1, 5, 12, 22, \ldots erhält.
Sechseckszahlen
Die Differenz 4 führt zu den Summen 1 + 5 + 9 + 13 + \ldots, aus denen man die Sechseckszahlen 1, 6, 15, 28, \ldots erhält.

Die einzelnen Summanden sind jeweils die Folgenglieder einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1 und der jeweiligen Differenz (vgl. Differenzenfolge). Dieser Aufbau der Polygonalzahl spiegelt sich auch in den entsprechenden Polygonen wider:

Gelegentlich wird per Definition auch die 0 als 0-te Dreieckszahl, Quadratzahl, … eingeführt. Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen beispielsweise 0, 1, 3, 6, 10, \ldots.

Inhaltsverzeichnis

Berechnung

Die jeweils n-te k-Eckszahl lässt sich mit der Formel

{(k-2)n^2-(k-4)n}\over 2

berechnen.

Liegt eine beliebige k-Eckszahl x vor, dann berechnet sich das zugehörige n nach der Formel

n = \frac{\sqrt{8(k-2)x+(k-4)^2}+k-4}{2(k-2)}.

Summe der Kehrwerte

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Die Summe der Kehrwerte jeweils aller k-Eckszahlen ist konvergent. Es gilt:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(k-2)n^2-(k-4)n} = 
\frac{2\ln{(2)} + \psi{(\frac{1}{k-2})} + \psi{(\frac{k}{2k-2})} + 2\gamma}{k-2}

(vgl. ln, γ, ψ)

Anwendungen

Nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz lässt sich jede Zahl als Summe von höchstens k k-Eckszahlen darstellen.

Literatur

Weblinks


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