Satz von Arzelà-Ascoli


Satz von Arzelà-Ascoli

Der Satz von Arzelà-Ascoli, benannt nach Cesare Arzelà (1847–1912) in Erweiterung eines Satzes von Giulio Ascoli (1843–1896), ist ein wichtiger Satz in der Funktionalanalysis.

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Sei X ein kompakter topologischer Raum, Y ein metrischer Vektorraum und F\subseteq C(X,Y) eine Familie (Teilmenge) stetiger Funktionen f \colon X\to Y. Dann gilt: Die Funktionenfamilie F ist genau dann relativ kompakt bezüglich der Supremumsnorm in C(X,Y), wenn F gleichgradig stetig ist und für jedes x\in X die Menge \{f(x):f\in F\} der Funktionswerte in x relativ kompakt in Y ist.

Beweisskizze

Der Beweis benutzt das cantorsche Diagonalverfahren, in welchem auf rekursive Art partiell konvergente Teilfolgen konstruiert werden, um dann quer durch alle Teilfolgen eine überall konvergente Teilfolge zu erhalten.

Sei \{f_n\}_{n\in\N}\subset F eine beliebige Funktionenfolge in der Funktionenfamilie F. Zu zeigen ist, dass diese eine in C(X,Y) konvergente Teilfolge enthält.

Dazu wählt man sich eine aufsteigende Folge von endlichen Teilmengen A_N\subset A_{N+1}\subset X, welche gegen eine Teilmenge \textstyle A_\infty:=\bigcup_{N=1}^\infty A_N „konvergiert“, welche in der kompakten Punktmenge X dicht ist.

Die Funktionenfolge, eingeschränkt auf eine solche Punktmenge, \{f_n{}_{|A_k}\}_{n\in\N}, enthält nach Voraussetzung eine auf Ak konvergente Teilfolge, denn ein endliches kartesisches Produkt relativ kompakter Mengen ist wieder relativ kompakt.

Sei (f_{0,k}=f_k)_{k\in\N} die nullte, triviale Teilfolge. Dann kann rekursiv, beginnend mit N=1,2,\ldots, in der Funktionenfolge \{f_{N-1,k}\}_{k\in\N} eine Teilfolge \{f_{N,k}\}_{k\in\N} ausgewählt werden, die auf der vergrößerten Punktmenge AN konvergiert. Schlussendlich konvergiert nach dem Cantorschen Diagonal„trick“, die Diagonalfolge \{f_{N,N}\}_{N\in\N} auf der dichten Teilmenge A_\infty\subset X gegen eine Funktion f:A_\infty\to Y.

Aus der gleichgradigen Stetigkeit folgt, dass die so erhaltene Grenzfunktion auf ganz X stetig fortgesetzt werden kann zu \bar f:X\to Y und es folgt ebenfalls, dass die Diagonalfolge auch in der Supremumsnorm gegen die so konstruierte Funktion konvergiert: \lim_{N\to\infty} f_{N,N}=\bar f in C(X,Y), das heißt

\lim_{N\to\infty}\left(\sup_{x\in X} \|f_{N,N}(x)-\bar f(x)\|_Y\right)=0.

Beispiel

Den Satz von Arzelà-Ascoli kann man dazu verwenden, nachzuweisen, dass ein Operator kompakt ist. Sei L2([0,1]) der Raum quadratintegrierbaren Funktionen, dann ist T \colon L^2([0,1]) \to C([0,1]) definiert durch

F (x)(t) := \int_0^1(t^2 + s^2)(x(s))^2 \mathrm{d} s

ein nichtlinearer kompakter Operator. Für alle t \in [0,1] und alle x \in L^2([0,1]) ist F(x)(t) von der Form c1t2 + c2 und somit stetig. Des Weiteren gilt |c_1|,|c_2|<\left\|x\right\|_{L^2(0,1)}. Also gilt für U \subset L^2([0,1]) beschränkt: F(U) \subset C([0,1]) und F(U) ist beschränkt und gleichgradig stetig. Daher kann man den Satz von Arzelà-Ascoli anwenden und erhält, dass die Menge F(U)) relativ kompakt ist in C([0,1]) bezüglich der sup-Norm. Deshalb bildet also F beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen ab und ist somit ein kompakter Operator.

Literatur

  • Cesare Arzelà: Un' osservazione intorno alle serie di funzioni. Rend. dell' Accad. R. delle Sci. dell'Istituto di Bologna, S. 142–159 (1882–1883).
  • Cesare Arzelà: Sulle funzioni di linee. Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. Vol. 5 No 5, S. 55–74 (1895).
  • Giulio Ascoli: Le curve limiti di una varietà data di curve. Atti della R. Accad. dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.Vol 18 No 3, S. 521–586 (1883–1884).
  • Walter Rudin: Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill 1976, ISBN 978-0-07-054235-8, S. 154ff.
  • Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung, ISBN 3-411-05121-3.
  • Harry Poppe: Compactness in General Function Spaces. Berlin 1974.

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