Sonnenjahr

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Sonnenjahr

Ein tropisches Jahr ist definiert als der Zeitraum, in dem die mittlere L√§nge der Sonne auf der Ekliptik um 360¬į zunimmt.

Zu Beginn des Jahres 2000 (Epoche J2000.0) betrug die Länge des tropischen Jahres

365,24219052 Tage = 365 Tage, 5 Stunden, 48 Minuten, 45,261 Sekunden.

Die Länge des tropischen Jahres ist leicht veränderlich. Sie nimmt gegenwärtig um etwa eine halbe Sekunde pro Jahrhundert ab.


Inhaltsverzeichnis

Einf√ľhrung

Es gibt zwei unterschiedliche Definitionen des tropischen Jahres:

  • Die √§ltere versteht unter dem tropischen Jahr den Zeitraum zwischen zwei Durchg√§ngen der Sonne durch den Fr√ľhlingspunkt. Diese Definition ist anschaulicher und unmittelbar der Beobachtung zug√§nglich. Es ist jedoch schwierig, ihr einen eindeutigen, allgemeing√ľltigen Zahlenwert beizulegen. Der Zeitraum zwischen zwei solchen Durchg√§ngen schwankt wegen der Gravitationseinfl√ľsse der Planeten und des Mondes von Jahr zu Jahr um einige Minuten, so dass zur Bestimmung eines Referenzwertes √ľber hinreichend viele Jahre gemittelt werden m√ľsste. Da die Jahresl√§nge aber auch einer langfristigen Drift unterliegt, h√§ngt das Ergebnis von der willk√ľrlichen Wahl des Mittelungszeitraums ab. Zur rechnerischen Ermittlung dieser Jahresl√§nge kann von den mittleren Bahnelementen der Erde ausgegangen werden, aus welchen die genannten St√∂rungen rechnerisch entfernt wurden. Am tropischen Jahr gem√§√ü dieser √§lteren Definition orientiert sich die Jahresl√§nge der Sonnenkalender.
  • Die neuere Definition bezieht sich auf die momentane Geschwindigkeit, mit der sich die mittlere ekliptikale L√§nge der Sonne in Bezug auf den mittleren Fr√ľhlingspunkt √§ndert. Diese Geschwindigkeit ist nicht unmittelbar beobachtbar, sondern ergibt sich als mathematische Gr√∂√üe in den Planetentheorien. Die Definition ist also sehr abstrakt, ihr Zahlenwert ist jedoch wohldefiniert und pr√§zise bestimmbar.

Je nach Definition ergeben sich leicht unterschiedliche Zahlenwerte. Die L√§nge des tropischen Jahres betr√§gt nach der alten Definition gegenw√§rtig ca. 365,2424 Tage (langsam zunehmend) und nach der neuen Definition gegenw√§rtig ca. 365,2422 Tage (langsam abnehmend). Auch in der Fachliteratur besteht h√§ufig Verwirrung bez√ľglich der beiden Definitionen; oft wird die alte Definition angegeben, f√ľr die Jahresl√§nge jedoch der Zahlenwert nach der neuen Definition genannt.

Alte Definition: R√ľckkehr zum Fr√ľhlingspunkt

Grundlagen

In einem Sonnenkalender ist ein Jahr traditionell der Zeitraum, nach welchem sich die Jahreszeiten wiederholen, nach welchem also die Sonne auf ihrer scheinbaren j√§hrlichen Bahn rund um den Fixsternhimmel wieder zum selben Punkt zur√ľckkehrt.

Nachdem Hipparch die Pr√§zession entdeckt hatte, war es notwendig geworden zu unterscheiden, ob ‚Äěderselbe Punkt‚Äú sich auf den Fixsternhintergrund oder auf die √Ąquinoktial- und Solstitialpunkte der Ekliptik (Tagundnachtgleichen bzw. Sonnenwenden) beziehen sollte. Der Zeitraum, den die Sonne zur R√ľckkehr zum selben (unendlich weit entfernt gedachten) Fixstern braucht, ist das siderische Jahr mit einer L√§nge von 365d¬†6h¬†9m¬†10s. Die √Ąquinoktial- und Solstitialpunkte hingegen wandern infolge der Pr√§zession entlang der Ekliptik, und zwar der scheinbaren j√§hrlichen Bewegung der Sonne entgegen gerichtet (retrograd). Da diese Referenzpunkte ihr entgegenwandern, braucht die Sonne etwa 20 Minuten weniger, um z.¬†B. wieder zum Fr√ľhlingspunkt zur√ľckzukehren, gegenw√§rtig also etwa 365d¬†5h¬†48m¬†45s. Diesen Zeitraum der Wiederkehr zum Fr√ľhlingspunkt bezeichnete man als das tropische Jahr (von griechisch trope ‚ÄěUmkehr‚Äú, ‚ÄěSonnwende‚Äú, weil urspr√ľnglich auf die Sonnwendpunkte statt auf den Fr√ľhlingspunkt bezogen).

Da die Jahreszeiten von der Stellung der Sonne bez√ľglich der √Ąquinoktial- und Solstitialpunkte abh√§ngen (so beginnt z.¬†B. der astronomische Fr√ľhling, wenn die Sonne den Fr√ľhlingspunkt durchschreitet), ist das tropische Jahr und nicht das siderische Jahr ma√ügebend f√ľr den j√§hrlichen Lebensrhythmus.

Bahnstörungen

Die antiken und mittelalterlichen Astronomen hatten keinen Grund zu bezweifeln, dass die L√§nge des so definierten tropischen Jahres stets konstant sei. Zur Messung gen√ľgte es also, z.¬†B. den Zeitabstand zwischen zwei beliebigen Fr√ľhlings√§quinoktien zu messen und durch die Anzahl der verflossenen Jahre zu dividieren. Die Newtonsche Gravitationstheorie zeigte jedoch, dass die Planeten ihre Bahnen gegenseitig geringf√ľgig beeinflussen. Aufgrund dieser Bahnst√∂rungen durchl√§uft die Erde ihre Bahn nicht immer in exakt dem gleichen Zeitraum. Die folgende Tabelle gibt einige Beispiele f√ľr den zeitlichen Abstand zweier Durchg√§nge der Sonne durch den Fr√ľhlingspunkt:

2000 ‚Üí 2001 365d 5h 55m 28s
2001 ‚Üí 2002 365d 5h 45m 26s
2002 ‚Üí 2003 365d 5h 43m 37s
2003 ‚Üí 2004 365d 5h 48m 52s
2004 ‚Üí 2005 365d 5h 44m 47s
2005 ‚Üí 2006 365d 5h 52m 10s
2006 ‚Üí 2007 365d 5h 41m 51s

Es w√§re also notwendig gewesen, diese St√∂rungen herauszurechnen oder einen Mittelwert √ľber hinreichend viele tropische Jahre zu bilden, um einen eindeutigen Zahlenwert f√ľr die L√§nge des tropischen Jahres zu erhalten.

Elliptische Erdbahn

Neben diesen Bahnst√∂rungen gibt es noch eine zweite Komplikation, die den Zeitraum zwischen zwei Fr√ľhlingsanf√§ngen beeinflusst. Die Erde durchl√§uft ihre elliptische Bahn mit variabler Geschwindigkeit. Im Perihel l√§uft sie am schnellsten, im Aphel am langsamsten. Da der Fr√ľhlingspunkt der Sonne entgegen wandert, hat die Sonne nicht die gesamte Bahnellipse durchlaufen, wenn sie wieder auf ihn trifft: Der Zeitraum zwischen zwei Fr√ľhlingspunkt-Passagen ist daher k√ľrzer als der Zeitraum zwischen zwei Perihel-Passagen, und zwar um die Zeitspanne, welche die Sonne f√ľr das nicht durchlaufene Bahnst√ľck gebraucht h√§tte. Nun ist das eingesparte Bahnst√ľck immer (fast) gleich gro√ü, aber es wird laut Zweitem Keplerschem Gesetz mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten durchlaufen, je nachdem, ob es sich zur Zeit in Perihel- oder Apheln√§he befindet. Entsprechend ist die eingesparte Zeitspanne k√ľrzer (und das so definierte tropische Jahr l√§nger) oder l√§nger (und das tropische Jahr k√ľrzer) als der Mittelwert. Es dauert etwa 21000 Jahre, bis der Fr√ľhlingspunkt vom Perihel √ľber das Aphel wieder zum Perihel zur√ľckgewandert ist, entsprechend unterliegt die Dauer des so definierten tropischen Jahres einer Schwankung von 21000 Jahren L√§nge. Um ein mittleres tropisches Jahr zu erhalten, m√ľsste man also √ľber 21000 Jahre mitteln. Dar√ľber hinaus ist die Amplitude dieser Schwingung leicht ver√§nderlich, da die Exzentrizit√§t der Erdbahn ein wenig schwankt.

Gegenw√§rtig betr√§gt der zeitliche Abstand zweier Passagen durch den Fr√ľhlingspunkt (nach Abzug der oben erw√§hnten Schwankungen infolge Bahnst√∂rungen) 365d 5h 49m 1s. Er nimmt um knapp 0,9 Sekunden pro Jahrhundert zu, da sich der Fr√ľhlingspunkt dem Perihel der scheinbaren Sonnenbahn n√§hert.

Die L√§nge des als R√ľckkehr zum pr√§zedierenden Startpunkt definierten tropischen Jahres h√§ngt also von der Lage des Startpunktes bez√ľglich des Perihels ab. Daraus folgt auch, dass insbesondere die Zeitabst√§nde zweier Passagen durch den Herbstpunkt, durch den Sommer-Sonnwendpunkt oder den Winter-Sonnwendpunkt jeweils verschieden sind, da diese unterschiedliche Positionen bez√ľglich des Perihels haben. Die Tabelle zeigt die gegenw√§rtigen Abst√§nde zweier Passagen durch die betreffenden Punkte (nach Abzug der Bahnst√∂rungen):

Fr√ľhlingsanfang ‚Üí Fr√ľhlingsanfang: 365d 5h 49m 01s
Sommeranfang ‚Üí Sommeranfang: 365d 5h 47m 57s
Herbstanfang ‚Üí Herbstanfang: 365d 5h 48m 30s
Winteranfang ‚Üí Winteranfang: 365d 5h 49m 33s

Die L√§nge des tropischen Jahres nach dieser Definition h√§ngt also von der willk√ľrlichen Wahl des Fr√ľhlingspunktes als Startpunkt ab.

Präzessionsschwankungen

Als dritte Komplikation schlie√ülich ist die Geschwindigkeit, mit der der Fr√ľhlingspunkt entlang der Ekliptik pr√§zediert, nicht streng konstant. Die Pr√§zession wird durch den Gravitationseinfluss von Mond, Sonne und Planeten verursacht. Die Bahnen der letzteren unterliegen aber gegenseitigen St√∂rungen und ver√§ndern sich geringf√ľgig (ein typisches Mehrk√∂rper-Problem), was wiederum dazu f√ľhrt, dass die Pr√§zessionsbewegung gegenw√§rtig leicht beschleunigt. Dieser Effekt wird im n√§chsten Abschnitt n√§her behandelt.


Moderne Definition: Durchlaufen von 360¬į

Wegen der beschriebenen Unzul√§nglichkeiten der fr√ľheren Definition des tropischen Jahres als (mittlerer) Zeitabstand zweier Passagen der Sonne durch den Fr√ľhlingspunkt beschloss die Internationale Astronomische Union 1955 die moderne Definition:

Das tropische Jahr ist der Zeitraum, in welchem die mittlere L√§nge der Sonne um 360¬į zunimmt.

Die L√§nge wird dabei auf das ‚Äěmittlere √Ąquinoktium des Datums‚Äú bezogen, welches sich infolge der Pr√§zession langsam bez√ľglich des Fixsternhintergrunds bewegt. Die Geschwindigkeit der L√§ngen√§nderung ist also in diesem langsam ‚Äď aber gleichm√§√üig ‚Äď rotierenden Bezugssystem zu bestimmen.

Mittlere Länge

Die ekliptikale L√§nge őĽ eines realen Himmelsk√∂rpers auf einer elliptischen und mit variabler Geschwindigkeit durchlaufenen Bahn l√§sst sich f√ľr einen beliebigen Zeitpunkt t berechnen, indem man zun√§chst die mit konstanter Geschwindigkeit őľ zunehmende L√§nge \lambda_0 + \mu \cdot t eines fiktiven Himmelsk√∂rpers (Mittleres Objekt) auf einer kreisf√∂rmigen Bahn gleicher Umlaufdauer bestimmt und dann durch Addieren einer relativ leicht zu berechnenden Korrektur, der so genannten Mittelpunktsgleichung, die L√§nge auf der elliptischen Bahn erh√§lt. Bei h√∂heren Genauigkeitsanspr√ľchen sind dazu noch die durch andere Himmelsk√∂rper verursachten Bahnst√∂rungen zu addieren. Die Mittelpunktsgleichung und die meisten St√∂rungen sind periodische Gr√∂√üen. Zus√§tzliche Terme in t2, t3 etc. ber√ľcksichtigen gegebenenfalls nichtperiodische (so genannte s√§kulare) Driften, welche ebenfalls durch St√∂rungen verursacht werden:

\lambda(t) \, = \, \lambda_0 \, + \, \mu \cdot t \, + \, \mathrm{Mittelpunktsgleichung}(t) \, + \, \mathrm{St\ddot orungen}(t) \, + \, a_1\cdot t^2 \, + \, a_2\cdot t^3 \, + \, ...

Als mittlere L√§nge őĽm bezeichnet man definitionsgem√§√ü den obigen Ausdruck ohne die (weggemittelt gedachten) periodischen Terme:

\lambda_m(t) \, = \, \lambda_0 \, + \, \mu \cdot t \, + \, a_1\cdot t^2 \, + \, a_2\cdot t^3 \, + \, ...

Mittlere Länge der Erde

Die mittlere L√§nge der Erde, bezogen auf das mittlere √Ąquinoktium des Datums, ist gegeben durch

\lambda_m(t) \,= \, 100{,}46645683^\circ +1296027711{,}03429^{''} \cdot \, t \, + \, 109{,}15809^{''} \cdot \, t^2 \,
 + \, 0{,}07207^{''} \cdot \, t^3 \, - \, 0{,}23530^{''} \cdot \, t^4 \, - \, 0{,}00180^{''} \cdot \, t^5 \, + \, 0{,}00020^{''} \cdot \, t^6

Dabei ist t die von der Epoche J2000.0 aus gerechnete Zeit in Julianischen Jahrtausenden zu je 365250 Ephemeridentagen, gemessen in Dynamischer Zeit. Ist JDE das in Dynamischer Zeit gezählte Julianische Datum des betrachteten Zeitpunkts, so gilt:

t \, = \, (JDE \, - \, 2451545{,}0) / 365250.

Man beachte, dass die Koeffizienten in der L√§ngenformel zum Teil in Grad und zum Teil in Bogensekunden gegeben sind. Die Formel ist anwendbar f√ľr die Jahre -4000 bis +8000. Sie gilt nach Addition von 180¬į auch f√ľr die scheinbare Bewegung der Sonne. Die nichtlinearen Terme werden haupts√§chlich von der schon erw√§hnten Beschleunigung der Pr√§zession erzeugt.

Das instantane tropische Jahr

Die Geschwindigkeit, mit der sich die mittlere Länge ändert, erhält man durch Ableiten nach der Zeit:

\frac{\mathrm{d}\lambda_m(t)}{\mathrm{d}t} \, = \, 1296027711{,}03429^\frac{\mathrm{''}}{\mathrm{Jul.Jtsd.}} + \, 2 \cdot 109{,}15809^\frac{\mathrm{''}}{\mathrm{Jul.Jtsd.}^2} \cdot \, t \, + \, 3 \cdot 0{,}07207^\frac{\mathrm{''}}{\mathrm{Jul.Jtsd.}^3} \cdot \, t^2 \, + ...

Am 1. Januar des Jahres 2000 um 12 Uhr Dynamischer Zeit, also f√ľr t = 0, √§nderte sich die mittlere L√§nge der Sonne mit einer Geschwindigkeit von

\frac{\mathrm{d}\lambda_m}{\mathrm{d}t}(t=0) = 1296027711{,}03429^\frac{\mathrm{''}}{\mathrm{Jul.Jtsd.}}

Um mit dieser Geschwindigkeit eine Strecke von 360¬į = 1296000" zur√ľckzulegen, brauchte sie (unter gleichzeitiger Umrechnung von Julianischen Jahrhunderten in Tage)

 \mathrm{D_{tr}} \,  \, = \, \frac{1296000^{\mathrm{''}}}{1296027711{,}03429^\frac{\mathrm{''}}{\mathrm{Jul.Jtsd.}}} \cdot 365250^\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{Jul.Jtsd.}}
\, = \, 365{,}24219040211^\mathrm{d} = 365^\mathrm{d} \, 5^\mathrm{h} \, 48^\mathrm{m} \, 45{,}250742^\mathrm{s}

(Ein neuerer Wert betr√§gt 365d 5h 48m 45,261s f√ľr den Beginn des Jahres 2000.)

Man beachte, dass dies der Zeitraum ist, den die Sonne unter Beibehaltung der Geschwindigkeit vom 1. Januar 2000 brauchte, um 360¬į zur√ľckzulegen. Es ist nicht der Zeitraum, nach dem sie tats√§chlich 360¬į zur√ľckgelegt hat (dieser w√ľrde lediglich 365d 5h 48m 45,248085s betragen), denn w√§hrend dieses Jahres hat sich ihre Geschwindigkeit ja wegen der s√§kularen Terme geringf√ľgig erh√∂ht. Die oben berechnete Jahresl√§nge ist lediglich eine andere Ausdrucksweise f√ľr die Geschwindigkeit, mit der sich die mittlere L√§nge der Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt √§ndert; es handelt sich um die so genannte instantane Jahresl√§nge. Das ist vergleichbar mit der Angabe, ein Fahrzeug bewege sich im Augenblick (instantan) mit einer Geschwindigkeit von 100 Kilometern pro Stunde. Man muss, um diese Angabe machen zu k√∂nnen, nicht warten, bis das Fahrzeug tats√§chlich 100 km zur√ľckgelegt hat. Gemeint ist vielmehr: es w√ľrde f√ľr 100 Kilometer eine Stunde brauchen, wenn es die gegenw√§rtige Geschwindigkeit unver√§ndert beibehielte. F√ľr eine reale Reisestrecke von 100 km kann es auch weniger als eine Stunde brauchen, wenn die Geschwindigkeit w√§hrend der Fahrt zunimmt. Dem entsprechend wurde eingangs die Jahresl√§nge f√ľr den ‚ÄěBeginn des Jahres 2000‚Äú angegeben, nicht als L√§nge des Jahres 2000 selbst.

Da beim √úbergang zur mittleren L√§nge der periodische Einfluss der Bahnelliptizit√§t ‚Äěweggemittelt‚Äú wurde und ohnehin nur die momentane Geschwindigkeit betrachtet wird, spielt es f√ľr die Definition keine Rolle mehr, an welcher Stelle der Bahn der Startpunkt liegt. Die moderne Definition ist also unabh√§ngig vom Fr√ľhlingspunkt.

Veränderlichkeit des tropischen Jahres

Im vorigen Abschnitt wurde die L√§nge des tropischen Jahres speziell f√ľr den Zeitpunkt des 1. Januar 2000 abgeleitet, indem die Geschwindigkeit, mit der sich die mittlere L√§nge √§ndert, f√ľr den Sonderfall t = 0 berechnet wurde. Behalten wir stattdessen den allgemeinen Ausdruck f√ľr \frac{\mathrm{d}\lambda_m}{\mathrm{d}t}(t) bei, so ist die instantane tropische Jahresl√§nge Dtr f√ľr beliebige Zeitpunkte t gegeben durch

D_{tr}(t) \,  = \, \frac{1296000^{''}}{\frac{\mathrm{d}\lambda_m}{\mathrm{d}t}(t)}
   = \, \frac{1296000^{''}}{1296027711{,}03429^\frac{\mathrm{''}}{\mathrm{Jul.Jtsd.}} + \, 2 \cdot 109{,}15809^\frac{\mathrm{''}}{\mathrm{Jul.Jtsd.}^2} \cdot \, t \, + ...} .

Ist eine Potenzreihe

S \, = \, a + bx + cx^2 + dx^3 + ...

gegeben, so lässt sich ihr Reziprokes 1 / S ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln, und es ist

\frac{1}{S} \, = \, \frac{1}{a} \, - \, \frac{b}{a^2}x \, + \, \left( \frac{b^2}{a^3}-\frac{c}{a^2} \right)x^2 \, + \, \left( \frac{2bc}{a^3}-\frac{d}{a^2}-\frac{b^3}{a^4} \right)x^3 \, + \, ....

F√ľr obigen Ausdruck folgt damit als Jahresl√§nge (unter gleichzeitiger Umrechnung von Julianischen Jahrtausenden in Tage):

\, D_{tr}(t) \, \, = \, 365{,}24219040211 \, - \, 6{,}1525135\cdot10^{-5} \cdot t \, -\, 6.093\cdot10^{-8} \cdot t^2 \, + \, ... \quad \mathrm{Tage}
\, = \, 365^\mathrm{d} \, 5^\mathrm{h} \, 48^\mathrm{m} \, 45{,}250742^\mathrm{s} \, - \, (5{,}3157717 \cdot t) \, \mathrm{s} \, - \, (0{,}005264 \cdot t^2) \, \mathrm{s} \, + \, ...

Die instantane L√§nge des tropischen Jahres betrug also am 1. Januar 2000 365d 5h 48m 45,250742s, am 1. Juli 2000 365d 5h 48m 45,248093s und am 31. Dezember 2000 365d 5h 48m 45,245415s. Der Zeitraum, den die Sonne brauchte, um ‚Äď am 1. Januar bei 0¬į startend ‚Äď insgesamt 360¬į zur√ľckzulegen, betrug 365d 5h 48m 45,248085s; das ist der Mittelwert der instantanen Jahresl√§ngen, die im Verlaufe dieses Zeitraums auftraten. Dies ist vergleichbar mit der Tatsache, dass die Fahrdauer, die ein Fahrzeug f√ľr eine bestimmte Strecke braucht, der Mittelwert √ľber seine im Verlaufe der Strecke gefahrenen Momentangeschwindigkeiten ist. (Genau genommen ist in beiden F√§llen die ben√∂tigte Gesamtzeit das reziproke des Mittelwerts √ľber die Reziprokwerte der Momentangeschwindigkeiten).

In all diesen Formeln ist unter Tag der idealisierte und stets gleich lange Ephemeridentag zu je 86400 SI-Sekunden zu verstehen. F√ľr die Frage, wieviele reale Erdumdrehungen bzw. wieviele mittlere Sonnentage auf ein tropisches Jahr entfallen, w√§ren zus√§tzlich die Schwankungen und die langfristige Verlangsamung der Erdrotation zu ber√ľcksichtigen (s.u.).

Die instantane L√§nge des tropischen Jahres am 0. Januar 1900 (= 31. Dezember 1899) 12h UT diente als Grundlage f√ľr die Definition der Ephemeridensekunde, des Vorl√§ufers der heutigen SI-Sekunde.

Die L√§nge des tropischen Jahres √§ndert sich, weil die Pr√§zessionsbewegung des als Bezugsrichtung dienenden Fr√ľhlingspunktes gegenw√§rtig geringf√ľgig beschleunigt. Die L√§nge des auf den Fixsternhintergrund bezogenen siderischen Jahres unterliegt hingegen lediglich kurzfristigen periodischen Schwankungen, aber keiner langfristigen Ver√§nderung.

Vergleich der Definitionen

Vergleich der verschiedenen Definitionen f√ľr das tropische Jahr

Die nebenstehende Illustration zeigt zum Vergleich die L√§ngen der tropischen Jahre unterschiedlicher Definition √ľber eine Zeitspanne von 16 Jahrtausenden hinweg.

Die farbigen Kurven stellen jeweils den Zeitraum dar, den die Sonne braucht, um nach einem vollen Umlauf zum selben Referenzpunkt auf der Ekliptik zur√ľckzukehren, und zwar f√ľr die Referenzpunkte Fr√ľhlings√§quinoktium, Sommersonnwende, Herbst√§quinoktium und Wintersonnwende. Wie deutlich zu erkennen ist, h√§ngt dieser Zeitraum von der Wahl des Referenzpunktes ab, durchl√§uft aber jeweils vergleichbare Schwingungen mit einer Amplitude von knapp einer Minute und einer Periodenl√§nge von etwa 21000 Jahren (nach welcher die pr√§zedierenden Referenzpunkte wieder dieselbe Stellung bez√ľglich des Perihels einnehmen).

Die graue Kurve zeigt die L√§nge des tropischen Jahres nach der 360¬į-Definition. Sie ist unabh√§ngig von Referenzpunkten und weist nur eine geringe Schwankung mit recht langer Periode auf, welche mit Ungleichf√∂rmigkeiten der Pr√§zession zusammenh√§ngt.

Historische Entwicklung der Messung

Die Erkenntnis, dass sich die Sonnenst√§nde und damit die Jahreszeiten im Rhythmus von etwa 365 Tagen wiederholen, stammt aus pr√§historischen Zeiten. Leider sind aus den √§lteren Kulturen allenfalls sehr vage Angaben √ľber ihre Kenntnis der Jahresl√§nge √ľberliefert.

In der babylonischen Astronomie gab es keinen allgemein verbindlichen Zahlenwert f√ľr die in Tagen ausgedr√ľckte L√§nge des Jahres. Die in verschiedenen astronomischen Berechnungssystemen verwendeten Parameter entsprechen Jahresl√§ngen zwischen 365d¬†4h und 365d¬†6,6h.

Der griechische Astronom Meton f√ľhrte im Jahr 432 v.¬†Chr. in Athen einen auf dem Metonischen Zyklus beruhenden Kalender ein, der einer Jahresl√§nge von 365¬†1/4 +¬†1/76 Tagen entsprach. Hundert Jahre sp√§ter modifizierte Kallippos diesen Zyklus, indem er jeweils einen Tag in vier Metonischen Zyklen fortlie√ü und so den Kallippischen Zyklus erhielt, der einer Jahresl√§nge von 365¬†1/4 Tagen entsprach.

Die fr√ľheste √ľberlieferte Beschreibung einer Bestimmung der Jahresl√§nge stammt von Ptolem√§us, der im Almagest die von Hipparch im 2.¬†Jh. v.¬†Chr. benutzten Methoden und Beobachtungen auff√ľhrte. Auf Hipparchs Entdeckung der Pr√§zession geht auch die Unterscheidung zwischen siderischem und tropischem Jahr zur√ľck. Unter letzterem verstand Hipparch den Zeitraum zwischen zwei entsprechenden √Ąquinoktien oder Solstitien. Hipparch bestimmte die Zeitpunkte einiger √Ąquinoktien und Solstitien und verglich sie mit Beobachtungen, die Meton und Euctemon (5.¬†Jh. v.¬†Chr.) und Aristarch (3.¬†Jh. v.¬†Chr.) angestellt hatten. Er erhielt 365¬†1/4 -¬†1/300 Tage f√ľr das tropische Jahr, das entspricht etwa 365d¬†5h¬†55m, w√§hrend der tats√§chliche Wert damals 365d 5h 49m 9s betrug.

Hipparch hatte noch Zweifel geäußert, ob das tropische Jahr wirklich eine konstante Länge habe. Ptolemäus (2. Jh. n. Chr.) bestimmte die Jahreslänge erneut mit derselben Methode, erhielt exakt dasselbe Ergebnis und sah keinen Grund, an der Konstanz der Jahreslänge zu zweifeln.

Im Jahre 882 beobachtete al-Battani die Herbst-Tagundnachtgleiche und erhielt aus dem Vergleich mit einer von Ptolem√§us √ľberlieferten Beobachtung eine Jahresl√§nge von 365d¬†14'¬†26" (in sexagesimaler Notation), das entspricht etwa 365d¬†5h¬†46m¬†24s. (F√ľr andere Beispiele der zahlreichen Jahresl√§ngenbestimmungen w√§hrend der Arabischen Periode der Astronomie siehe Al Sufi, Ulug Beg.)

Gegen Ende des Mittelalters waren Ungenauigkeiten in den Planetentafeln des Almagest und ihrer arabischen Nachfolger zu erheblichen Fehlern angewachsen, so dass eine Überarbeitung der Tafeln notwendig wurde. Das Ergebnis waren die 1252 veröffentlichten Alfonsinischen Tafeln. Diese Tafeln benutzten eine Jahreslänge von 365d 5h 49m 16s.

Im Jahr 1551 erschienen die von Erasmus Reinhold erarbeiteten Prutenischen Tafeln, die auf der heliozentrischen Planetentheorie von Nikolaus Kopernikus beruhten. Dazu verbesserte Reinhold die urspr√ľnglich von Kopernikus angegebenen Zahlenwerte und benutzte eine Jahresl√§nge von 365d¬†5h¬†55m¬†58s.

Schließlich veröffentlichte Johannes Kepler im Jahr 1627 seine Rudolphinischen Tafeln. Er hatte eigene Beobachtungen mit denen des Astronomen Bernhard Walther verglichen und eine Jahreslänge von 365d 5h 48m 45s erhalten.

W√§hrend der n√§chsten Jahrhunderte befasste sich beinahe jeder Astronom auch mit der Bestimmung der Jahresl√§nge. So fand beispielsweise J.J.L. de¬†Lalande 365d¬†5h¬†48m¬†45,5s. Mit Lalande begann man auch, den himmelsmechanischen Komplikationen bei der Bestimmung der Jahresl√§nge Aufmerksamkeit zu schenken, n√§mlich der Bewegung des Perihels, der s√§kularen Beschleunigung der Pr√§zession und den haupts√§chlich durch den Mond sowie Venus und Jupiter verursachten Bahnst√∂rungen. Es war mittlerweile klar geworden, dass die Zeitpunkte einzelner √Ąquinoktien oder Solstitien wegen dieser Einfl√ľsse Schwankungen von mehreren Minuten unterliegen und die blo√üe Messung ihrer Zeitabst√§nde daher je nach verwendeten Beobachtungspaaren zu unterschiedlichen Ergebnissen f√ľhren musste.

Erst als die analytische Himmelsmechanik im 18.¬†Jh. weit genug entwickelt war, um die Feinheiten der mittleren Bewegung der Sonne und ihre zeitliche Ver√§nderlichkeit aus der Gravitationstheorie abzuleiten, konnte das tropische Jahr auf eine von periodischen St√∂rungen unabh√§ngige Weise definiert werden. Lediglich die durch die Beschleunigung der Pr√§zession verursachte s√§kulare Verk√ľrzung des tropischen Jahres wurde als eine Eigenschaft desselben definiert und nicht herausgerechnet; das tropische Jahr wurde also als langfristig ver√§nderlich betrachtet.

So gab J.H. von Mädler im Jahre 1840 die (damals) gegenwärtige Länge des tropischen Jahres als 365d 5h 48m 47,5711s mit einer Abnahme von 0,595 s pro Jahrhundert an.

U.J.J. LeVerrier beschrieb die momentane Länge des tropischen Jahres und seine Veränderlichkeit durch

365^\mathrm{d} \, 5^\mathrm{h} \, 48^\mathrm{m} \, 45{,}775^\mathrm{s} - (0{,}539 \cdot T)\, \mathrm{s},

und S. Newcomb erhielt aus seiner Sonnentheorie

365^\mathrm{d} \, 5^\mathrm{h} \, 48^\mathrm{m} \, 46{,}0^\mathrm{s} - (0{,}530\cdot T)\, \mathrm{s}.

In den beiden letzten Ausdr√ľcken ist T die vom Zeitpunkt 1900¬†Januar 0,5Ephemeridenzeit an gemessene Zeit in Julianischen Jahrhunderten zu je 36525¬†Tagen.

Gemäß der Planetentheorie VSOP 87 beträgt die Länge des tropischen Jahres

365^\mathrm{d} \, 5^\mathrm{h} \, 48^\mathrm{m} 45{,}1834^\mathrm{s} - (5{,}3155\cdot t)\, \mathrm{s} - (0{,}00526\cdot t^2)\, \mathrm{s} + (0{,}022917\cdot t^3)\, \mathrm{s}  .

Hier wird t in Julianischen Jahrtausenden zu je 365250¬†Tagen seit der Epoche J2000.0 gemessen. Ein Tag ist in den letzten drei Formeln jeweils ein Ephemeridentag, dessen L√§nge einem mittleren Sonnentag etwa um das Jahr 1820 entspricht. Die langsame Zunahme der Tagesl√§nge w√§re zus√§tzlich zu ber√ľcksichtigen (siehe n√§chsten Abschnitt).

Tropisches Jahr und Kalenderjahr

Kalender dienen der Zeitrechnung, jedoch mit sehr unterschiedlichen Zielsetzungen (z.B. zur Festlegung religi√∂ser Feste, f√ľr landwirtschaftliche Planungen usw.) und mit sehr verschiedenen Verfahren (auf reiner Beobachtung beruhend, auf nichtastronomischen mathematischen Zyklen beruhend, auf astronomisch abgeleiteten mathematischen Zyklen beruhend usw). Zahlreiche Kalender versuchen die Abfolge der Jahreszeiten nachzuvollziehen, indem sie mit Hilfe einer arithmetisch formulierten Schaltregel die L√§nge des tropischen Jahres durch eine geeignete Abfolge von verschieden langen, aber jeweils ganze Tage enthaltenden Kalenderjahren ann√§hern. Beim Vergleich solcher Schaltregeln mit dem astronomischen tropischen Jahr sind die oben erw√§hnten unterschiedlichen Definitionen zu beachten.

Tropische und Gregorianische Jahreslängen, gemessen in Ephemeridentagen.

Im Gregorianischen Kalender hat das Kalenderjahr im Mittel eine L√§nge von 365 + 1/4 ‚ąí 1/100 + 1/400 = 365,2425 Tagen. Um den Fehler der Gregorianischen Schaltregel zu bestimmen, wird diese Zahl oft mit der aus Tabellenwerken entnommenen L√§nge des tropischen Jahres von 365,24219... Tagen verglichen. Die Differenz betr√§gt 0,00031 Tage pro Jahr oder einen Tag nach etwa 3200 Jahren. Nach dieser Zeitspanne, so die √ľbliche Argumentation, werde der Gregorianische Kalender um einen Tag vom tropischen Jahreslauf abweichen. Dabei sind jedoch die Ver√§nderlichkeit der tropischen Jahresl√§nge und die Frage nach der zu verwendenden Definition des tropischen Jahres nicht ber√ľcksichtigt.

Die angef√ľhrte Argumentation st√ľtzt sich auf den heute g√§ngigen Zahlenwert, welcher der 360¬į-Definition des tropischen Jahres entspricht. Wie oben erl√§utert, nimmt die L√§nge dieses tropischen Jahres jedoch um etwa 0,5 Sekunden pro Jahrhundert ab (graue Kurve im nebenstehenden Bild). Das tropische Jahr, das ohnehin bereits k√ľrzer ist als das Gregorianische Kalenderjahr, wird im Verlaufe der folgenden Jahrhunderte noch k√ľrzer, so dass der Fehler rascher als erwartet anw√§chst.

Papst Gregor XIII hatte allerdings nach eigenen Worten die neue Schaltregel eingef√ľhrt, ‚Äědamit in Zukunft das Fr√ľhlings√§quinoktium nicht wieder vom 21. M√§rz abweiche‚Äú (ne in posterum a xii. Cal. April. aequinoctium recedat). Demnach soll das Kalenderjahr dem Zeitraum zwischen zwei Durchg√§ngen der Sonne durch den Fr√ľhlingspunkt und damit der fr√ľheren Definition des tropischen Jahres entsprechen. Dieser Zeitraum betr√§gt gegenw√§rtig 365,242375 Tage (vgl. Tabelle weiter oben) und nimmt zu (gr√ľne Kurve im nebenstehenden Bild). Der Fehler von gegenw√§rtig nur 0,000125 Tagen pro Jahr wird also k√ľnftig weiter abnehmen, und √ľber mehrere Jahrtausende hinweg wird das Gregorianische Kalenderjahr eine exzellente Ann√§herung an das tropische Jahr in der traditionellen Definition sein.

Tropische und Gregorianische Jahreslängen, gemessen in mittleren Sonnentagen.

Nicht ber√ľcksichtigt wurde bisher die geringf√ľgige, aber kontinuierliche Verlangsamung der Erdrotation. Der Kalender z√§hlt die realen Tag-Nacht-Wechsel, also die im Laufe der Jahrhunderte l√§nger werdenden mittleren Sonnentage. Den oben angegebenen Formeln f√ľr die L√§nge der tropischen Jahre liegen jedoch konstante Ephemeridentage zu je 86400 SI-Sekunden zugrunde. Werden die tropischen Jahre stattdessen ebenfalls in mittleren Sonnentagen gemessen, so ergibt sich zus√§tzlich zu den bisher beschriebenen Ver√§nderlichkeiten der Jahresl√§nge eine kontinuierliche scheinbare Verk√ľrzung der Jahre (weil sich die nun verwendete Zeiteinheit st√§ndig dehnt). Das zweite Bild zeigt die Auswirkung auf die Jahresl√§ngen, wobei gem√§√ü aktuellen Untersuchungen angenommen wurde, dass die Tagesl√§nge langfristig um 1,7 ¬Ī 0,05 Millisekunden pro Jahrhundert zunimmt. Der Unterschied zwischen Kalenderjahr und 360¬į-Jahr nimmt nun noch schneller zu. Der Unterschied zwischen Kalenderjahr und Fr√ľhlingspunktsjahr nimmt nach wie vor in n√§chster Zeit weiter ab, wird jedoch bereits um das Jahr 3000 mit ca. 0,00012 Tagen pro Jahr ein Minimum erreichen, um dann wieder zuzunehmen.

F√ľr die Schaltregeln anderer Kalender siehe den Artikel Schaltjahr.

Siehe auch

Quellen

Definitionen

  • Definitionen: (Meeus 2002), S. 359
  • Tabelle, Abstand zweier Fr√ľhlingsanf√§nge: berechnet aus den √Ąquinoktien in (Meeus 1995)
  • Tabelle, Dauer der √Ąquinoktial- und Solstitialjahre: (Meeus 2002), S. 362
  • Neudefinition geschah durch IAU 1955: (Seidelmann 1992), S. 80
  • Formel f√ľr mittlere L√§nge der Erde: (Meeus 2002), S. 360; Originalquelle: (Simon 1994)
  • Neuerer Wert 365d 5h 48m 45,261s: (Bretagnon, Rocher 2001)
  • Potenzreihenentwicklung des Reziproken einer Potenzreihe: (Bronstein 1993)
  • Grafik, Vergleich verschiedener Definitionen: nach Bahnelementen aus (Meeus 2002), Kap. 63; Originalquelle (Simon 1994). Die 360¬į-Kurve ist das Reziproke der instantanen Geschwindigkeit der mittleren L√§nge der Sonne, ausgedr√ľckt in Ephemeridentagen pro 360¬į. Die anderen Kurven sind die Zeitintervalle, ausgedr√ľckt in Ephemeridentagen, welche die ekliptikale L√§nge der Sonne (berechnet aus den genannten mittleren Bahnelementen) f√ľr einen vollen Umlauf braucht, jeweils f√ľr Start- und Zielpunkt Fr√ľhlings√§quinoktium, Sommersonnwende, Herbst√§quinoktium und Wintersonnwende.

Historische Entwicklung der Messung

  • Geschichte: haupts√§chlich (Meeus 1992)
  • Babylonische Jahresl√§ngen: (Neugebauer 1975), S. 528
  • Meton, Kallippos, Hipparch, Ptolem√§us: (Ptolem√§us 0150), S. 12, 131ff
  • al-Battani: (al-Battani 900), S. 42
  • M√§dler: (M√§dler 1852), S. 147

Tropisches Jahr und Gregorianischer Kalender

  • Tropisches Jahr und Gregorianischer Kalender: (Meeus 2002), Kap. 63
  • Zitat Gregor XIII: (GregorXIII 1581)
  • Zunahme der Tagesl√§nge 1,7 ¬Ī 0,05 Millisekunden pro Jahrhundert: (Stephenson 1997), S. 514

Verwendete Quellen
  • (al-Battani 900): al-Battani, M.: Zij. Ar-Raqqah, ca. 900; lat. √úbersetzung: C.A. Nallino: Al-Battani sive Albatenii Opus Astronomicum. Mailand 1899-1907; Nachdruck Olms, Hildesheim 1977
  • (Bretagnon, Rocher 2001): Bretagnon, P., Rocher, P.: Du Temps universel au Temps coordonn√©e barycentrique. D√©couverte, No. 285, 39-47 (2001)
  • (Bronstein 1993): Bronstein, I.N., Semendjajew, K.A., Musiol, G., M√ľhlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt/M. 1993, ISBN 3-8171-2001-X
  • (GregorXIII 1581): Gregor XIII: Bulle Inter Gravissimas, Tusculum 1581 (Online-Quelle, aufgerufen 10. Juli 2006)
  • (M√§dler 1852): M√§dler, J.H.: Popul√§re Astronomie. Carl Heymann, Berlin 1852
  • (Meeus 1992): Meeus, J., Savoie, D.: The history of the tropical year, siehe Literatur
  • (Meeus 1995): Meeus, J.: Astronomical Tables of the Sun, Moon and Planets. Willmann-Bell, Richmond 1995, ISBN 0-943396-45-X
  • (Meeus 2002): Meeus, J.: More Mathematical Astronomy Morsels. Willmann-Bell, Richmond 2002, ISBN 0-943396-74-3
  • (Neugebauer 1975): Neugebauer, O.: A History of Ancient Mathematical Astronomy. Springer, Berlin 1975, ISBN 3-540-06995-X
  • (Ptolem√§us 0150): Ptolem√§us, C.: Almagest. Alexandria, ca. 150; engl. √úbersetzung: G.J. Toomer (√úbers.): Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, Princeton 1998, ISBN 0-691-00260-6
  • (Seidelmann 1992): Seidelmann P.K. (Hrsg.): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Mill Valley 1992, ISBN 0-935702-68-7
  • (Simon 1994): Simon, J.L. et al.: Numerical expressions for precession formulae and mean elements for the Moon and the planets, Astronomy and Astrophysics, vol. 282, 663-683 (1994) (PDF 2,7 MB)
  • (Stephenson 1997): Stephenson, F.R.: Historical Eclipses and Earth's Rotation, Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-46194-4

Literatur

  • Borkowski, K.M.: The Tropical Year and Solar Calendar, J. Roy. Astron. Soc. Can., Vol. 85, No. 3, 1991 (PDF 788 KB)
  • Meeus, J., Savoie, D.: The history of the tropical year, J. Br. Astron. Assoc. 102, 1, 1992 (PDF 548 KB)

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