Steuerstrecke

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Steuerstrecke
Blockschaltbild eines einfachen Standardregelkreises, bestehend aus der Regelstrecke G, dem Regler K und einer negativen R√ľckkopplung der Regelgr√∂√üe y (auch: Istwert) auf den Regler.

Als Regelstrecke bezeichnet man in der Regelungstechnik, den durch die Aufgabenstellung gegebenen Teil eines Regelkreises dessen Regelgröße mit einer Stellgröße geregelt werden soll. Sie enthält also nicht den Regler selbst, allerdings basieren zahlreiche, jedoch nicht alle Verfahren zur Bestimmung des Reglers, auf einem Modell der Regelstrecke. Regelstreckenmodelle sind außerdem vielfach notwendig um die Stabilität des Regelkreises im Grenzbereich zu beweisen.

Die Anforderungen an die Modellgenauigkeit hängen dabei vom zu lösenden Problem ab. Die Modellbildung kann sowohl auf Basis physikalischer Wirkprinzipien (white-box-Modellierung) als auch auf experimenteller Basis erfolgen (Systemidentifikation). Die Regelstrecke kann aus einem oder mehreren Übertragungsgliedern bestehen und eine oder mehrere Eingangs- und Ausgangsgrößen haben. Die Übertragungsglieder können wiederum aus Reihenschaltung, Parallelschaltung oder auch unterlagerten Regelkreisen bestehen.

Das Verhalten der Regelstrecke wird häufig anhand von gewöhnlichen Differentialgleichungen (seltener auch partielle Differentialgleichungen) beschrieben. Weitere Eigenschaften der Differentialgleichungen wie Linearität, Zeitivanrianz, Kontinuität, bestimmen die Systemklasse. Typische Systemklassen sind lineare zeitinvariante Systeme, zeitveränderliche Systeme und nichtlineare Systeme. Im linear-zeitinvarianten Fall kann eine Beschreibung im Frequenzbereich anhand zugehöriger Übertragungsfunktionen erfolgen.

Inhaltsverzeichnis

Charakterisierung der Regelstrecken

Die allgemeine Form einer Differentialgleichung f√ľr ein lineares zeitinvariantes √úbertragungsglied (lineares zeitinvariantes System) mit x_e\; als Eingangsgr√∂√üe und x_a\; als Ausgangsgr√∂√üe und konstanten Koeffizienten lautet:

a_n \cdot x_a^{(n)}(t)+ \cdots a_3\cdot x_a'''(t)+a_2\cdot x_a''(t)+a_1\cdot x_a'(t)+a_0\cdot x_a(t)=b_0\cdot x_e(t)+b_1\cdot x_e'(t)+b_2\cdot x_e''(t)+b_3\cdot x_e'''(t)\cdots +b_m\cdot x_e^{(m)}(t)

Der höchste Grad der Ableitung von x_a(t)\; gibt die Anzahl der Speicherelemente der Strecke wieder.

F√ľr die Darstellung als √úbertragungsfunktion wird die Differentialgleichung der Laplace-Transformation unterzogen. Die √úbertragungsfunktion ist definiert als das Verh√§ltnis von Ausgangssignal zu Eingangssignal eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz s. Sie entsteht unter der Voraussetzung, dass die Anfangsbedingungen f√ľr Xa zu Null gesetzt sind:

G(s) = \frac{X_a(s)}{Xe(s)}=\frac{b_0+b_1\cdot s+b_2\cdot s^2+b_3\cdot s^3\cdots +b_m\cdot s^m}{a_0+a_1\cdot s+a_2\cdot s^2+a_3\cdot s^3\cdots +a_n\cdot s^n}

Die Lage der Nullstellen und Polstellen einer Übertragungsfunktion in der s-Ebene s = \delta + j\cdot \omega ist eines der wichtigsten Kriterien zur Bestimmung der Stabilität eines Systems.

Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion. Er kennzeichnet das Verhalten eines Systems mit erzwungener Dauerschwingung und der imaginären Frequenz s = j\cdot \omega . Frequenzgang und Übertragungsfunktion unterscheiden sich nur durch die Entstehungsweise. Der entscheidende Vorteil der Umwandlung der Funktionen f(t) vom Zeitbereich zum Frequenzbereich f(s) ist die algebraische Behandlung der Übertragungssysteme.

In der linearen Regelungstechnik k√∂nnen alle √úbertragungsglieder aus folgenden drei Grundformen zusammengesetzt werden. Sie haben eine v√∂llig unterschiedliche Bedeutung, ob sie im Z√§hler oder im Nenner einer √úbertragungsfunktion stehen. Sie unterscheiden sich noch, ob es sich um regul√§re oder um die nur selten nat√ľrlich vorkommenden nichtregul√§ren Systeme handelt:

Typ Übertragungsfunktion Bedeutung im Zähler Bedeutung im Nenner
G1(s)=T\cdot s Differenzierer, D-Glied Integrator, I-Glied
G2(s)=T\cdot s+1 PD-Glied Verzögerung, PT1-Glied
G3(s)=T^2 \cdot s^2+2\cdot D\cdot T\cdot s+1 PD-Glied 2. Ordnung Schwingungsglied PT2-Glied
Nichtreguläres System
G2^*(s)=T\cdot s-1
PD-Glied mit positiver Nullstelle Instabile Verzögerung PT1-Glied
mit einer positiven Polstelle
Nichtreguläres System
G3^*(s)=T^2 \cdot s^2+2\cdot D\cdot T\cdot s-1
PD-Glied 2. Ordnung
mit einer negativen und positiven Nullstelle
Instabiles Schwingungsglied PT2-Glied
mit einer negativen und positiven Polstelle
Dabei bedeuten:
T = Zeitkonstante, s = komplexe Frequenz, D= Dämpfungsgrad,

Schaltung von Regelkreisgliedern

Übertragungsglieder können verschaltet werden als:

  • Reihenschaltung: G(s)=G1(s) \cdot G2(s)\,
Es gilt das Prinzip der ungestörten Superposition. Die Systeme in Produktdarstellung können in der Reihenfolge z. B. innerhalb eines offenen Regelkreises beliebig verschoben werden.
Das Superpositionsprinzip f√ľr den offenen Regelkreis gilt nicht, wenn
  • innerhalb der Regelstrecke Begrenzungen wirksam werden (nichtlineares Verhalten)
  • innerhalb des Reglers - was sehr h√§ufig vorkommt - Begrenzungen wirken (nichtlineares Verhalten)
  • der Angriffspunkt einer St√∂rgr√∂√üe z.¬†B. am Eingang der Regelstrecke liegt. (Begr√ľndung: Die Z√§hler der St√∂r-√úbertragungsfunktionen bei der Verschiebung einer Komponente des Reglers vor oder hinter den Angriffspunkt der St√∂rgr√∂√üe sind nicht identisch)
  • Parallelschaltung: G(s)= G1(s) \pm G2(s),
  • Gegen- und Mittkopplung: G(s) = \frac{G1(s)}{1 \pm G1(s)\cdot G2(s)}

Die faktorielle Darstellung der Grundglieder in der Reihenschaltung ist sehr vorteilhaft, weil s√§mtliche Daten f√ľr die Kriterien der Stabilit√§t wie Pole, Nullstellen, Verst√§rkung und Zeitkonstanten sich aus den √úbertragungsfunktionen der Regelkreisglieder ableiten lassen. Gleiche differenzierende und verz√∂gernde Grundformen der √úbertragungsfunktionen mit gleichen Zeitkonstanten kompensieren sich zu G(s) = 1.

Regelstreckenarten

Man unterscheidet lineare Regelstrecken und nichtlineare Regelstrecken. Bei linearen Regelstrecken unterscheidet man Regelstrecken mit Ausgleich, ohne Ausgleich und instabile Regelstrecken.

  • Bei Regelstreckengliedern mit Ausgleich erreicht die Ausgangsgr√∂√üe Xa(t) nach gen√ľgend langer Zeit die Eingangsgr√∂√üe Xe(t). Beide Gr√∂√üen unterscheiden sich f√ľr t gegen ‚ąě nur durch den Proportionalit√§tsfaktor K. Xa(t) = Xe(t) * K
  • Unter linearen Regelstreckengliedern ohne Ausgleich versteht man Regelstrecken mit I-Verhalten (I-Glied). Dabei strebt die Ausgangsgr√∂√üe Xa nach gen√ľgend langer Zeit einen unendlich gro√üen Wert an.
  • Instabile Regelstrecken erkennt man an der Art der Polstellen. Sie liegen in der rechten s-Halbebene und haben einen positiven Realteil. Die √úbertragungsfunktion in Produktdarstellung hat einen negativen Koeffizienten. Das Polynom der charakteristischen Gleichung der √úbertragungsfunktion kann trotz positiver Koeffizienten positive Pole enthalten und damit instabil sein.

Testsignale

Den nichtperiodischen (deterministischen) Testsignalen kommt in der Regelungstechnik eine zentrale Bedeutung zu. Mit ihrer Hilfe ist es m√∂glich, ein √úbertragungssystem zu testen, auf Stabilit√§t zu pr√ľfen oder Eigenschaften zu ermitteln.

Den Testsignalen ist gemeinsam, dass sie zum Zeitpunkt t = 0 beginnen und bei t < 0 eine Amplitude = 0 aufweisen. Es wird das Testsignal als Eingangsgr√∂√üe Xe an einem √úbertragungssystem und die Systemantwort als Ausgangsgr√∂√üe Xa in der nachfolgenden Tabelle dargestellt. Zur Unterscheidung der Funktion der Signale werden sie mit den Zeichen őī (Impuls), Ō¨ (Sprung), a (Anstieg) und s (Sinus) indiziert.

Die Impulsantwort Xaőī(t) von 4 hintereinander geschalteten PT1-Gliedern mit gleichen Zeitkonstanten

Der theoretische Deltaimpuls (őī-Impuls, Dirac-Impuls) f√ľr t = 0 mit unendlich gro√üer Amplitude ist technisch nicht realisierbar. An seiner Stelle wird ein Rechteckimpuls mit der Impulsfl√§che 1 = Amplitude * Zeit definiert. In der Praxis gen√ľgt ein Wert f√ľr die Impulsbreite von őĒt = 1% bis 10¬†% der dominanten Zeitkonstante des zu pr√ľfenden √úbertragungssystems.

Systemantwort Xa(s) und Xa(t) der Testsignale: Die Testsignale im Bildbereich k√∂nnen mit einer √úbertragungsfunktion eines Systems multipliziert werden. Bei der R√ľcktransformation in den Zeitbereich stellt sich die Antwort des Testsignals f√ľr das √úbertragungssystem dar. Soll ein digitaler Rechner mittels numerischer Verfahren zur L√∂sung der Systemantwort herangezogen werden, kann f√ľr die nichtperiodischen Testsignale Xe die kontinuierliche Zeitvariable t durch eine Folge von n Zeitschritten (Diskretisierungszeit = Dt) durch t = n * Dt ersetzt werden.

Die Systemantwort einer Impulsfunktion Xaőī(t) im Zeitbereich stellt das Verhalten des Systems dar. Die R√ľcktransformation einer beliebigen √úbertragungsfunktion f(s) in den Zeitbereich f(t) immer auch die Impulsantwort des Systems.

Die Differentiation der Sprungfunktion entspricht der Impulsfunktion. Die Integration einer Sprungfunktion entspricht der Anstiegsfunktion. Die Differentiation der Sprungantwort eines √úbertragungssystems entspricht der Impulsantwort.

Die Sinusfunktion gehört zur Gruppe der periodischen Signale. Die Frequenz-variable Einspeisung eines Übertragungssystems erlaubt die Aufnahme des Amplituden- und Phasengangs des Systems. Mit Hilfe des Bode-Diagramms kann die Übertragungsfunktion des Systems bestimmt werden.

Begriff Testsignal
Xe(t)
Zeitverhalten des Testsignals Bildbereich Systemantwort
Xa(t)
Impulsfunktion őī oder
Stoßfunktion, Deltaimpuls
Normierter Impuls = \int_{0}^\infty \hat x_{e\delta}*\,dt=1;  \qquad  \qquad Impulsbreite = \Delta t = \frac 1{\hat x_{e\delta}(t)}
Hauptanwendung: Erkennung des Systems, der Ordnung und der Stabilität
x_{e\delta}(s) = 1 \, Impulsantwort oder
Gewichtsfunktion
Sprungfunktion ŌÉ
Einheitssprung:  \hat x_{e\sigma}(t) = 1\,  \quad f\ddot ur \ t &amp;amp;gt; 0,\qquad  x_{e\sigma}(t) = 0 \quad f\ddot ur  \ t &amp;amp;lt; 0
Hauptanwendung: Erkennung des Systems
x_{e\sigma}(s) = \frac 1 {s}
Sprungantwort oder
√úbergangsfunktion
Anstiegsfunktion oder
Rampe
Anstiegsfunktion:  x_{ea}(t) = c * t; \,  \qquad  \qquad Gradient: c = \frac {\Delta \,x_{ea}(t)}{\Delta\, t}
Hauptanwendung: Bestimmung der Nachlaufeigenschaften
x_{ea}(s) = \frac 1{s^2} Anstiegsantwort oder
Rampenantwort
Sinusfunktion s
 x_{es}(t) = \hat x_{es} *sin \, \omega \, *t \, \qquad  \omega = 2* \pi * f \qquad  T = \frac 1 {f}
Hauptanwendung: Aufnahme des Amplituden- und Phasengang eines Systems
x_{es}(s) = \frac \omega {s^2+\omega^2}
Frequenzgang

Lineare Regelstrecken

P-Regelstrecke

Der Ausgang eines P-Gliedes ist proportional zum Eingang. Ein Spannungsteiler oder die Untersetzungen in Hydrauliksystemen sind Beispiele f√ľr P-Regelstrecken.

Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied)

Die Sprungantworten XaŌÉ(t) mit 4 PT1-Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten mit je T = 1[s]

Das PT1-Glied kommt in der Natur und in der Technik am häufigsten vor. Es entsteht z. B., wenn Wärme in ein Medium fließt oder Spannung an ein RC-Glied angelegt wird. Das PT1-Glied ist ein System mit Ausgleich.

Differentialgleichung:

T\cdot x_a'(t)+x_a(t)=K\cdot x_e(t)\quad\quad  x_a(t)=\frac {1}{T}\int(K \cdot x_e-x_a)\cdot dt

√úbertragungsfunktion:

G(s)=\frac{X_a(s)}{Xe(s)}=K\cdot \frac 1{T\cdot s+1}

Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied)

Wenn ein Nennerpolynom der Normalform T^2\cdot s^2+2\cdot D\cdot T\cdot s+1\, in Faktoren mit Hilfe der Formel zur Lösung gemischt quadratische Gleichungen aufgelöst werden kann, entstehen 2 PT1-Glieder in Reihenschaltung. Das PT2-Glied ist ein System mit Ausgleich.

Differentialgleichung:  T^2\cdot x_a''(t) + T \cdot x_a'(t) + x_a(t) = K \cdot x_e(t)\,

√úbertragungsfunktion: G(s) = K\cdot \frac 1{(T1\cdot s + 1)\cdot (T2\cdot s + 1)}

Darstellung der Sprungantwort eines PT2-Schwingungsgliedes

Wenn das Nennerpolynom der oben genannten Form f√ľr die D√§mpfung D einen Wert 0<D<1 hat, hat es konjugiert komplexe Pole. Diese Form des PT2-Gliedes bezeichnet man als Schwingungsglied:

√úbertragungsfunktion: G(s) = K\cdot \frac {1}{T^2\cdot s^2 + 2\cdot D\cdot T\cdot s+1}\quad\quad\quad\quad 0&amp;amp;lt;D&amp;amp;lt;1

Schwingungsglieder entstehen durch Energieaustausch von zwei speicherfähigen Verzögerungsgliedern 1. Ordnung, wie Feder-Masse-Systeme, LC-Schwingkreis.

Die Grafik zeigt die Sprungantwort eines Schwingungsgliedes mit der Übertragungsfunktion: G(s) =\frac{1}{0,06\cdot s^2 + 0,1\cdot s + 1}, der Dämpfungsgrad beträgt D = 0,22

Integrierendes √úbertragungsglied (I-Glied)

Typisches Beispiel f√ľr ein I-Glied ist der Zufluss einer Fl√ľssigkeit in einen Beh√§lter, oder das Aufladen eines Kondensators mit einstellbarem Konstantstrom.

Das I-Glied ist ein System ohne Ausgleich, die Ausgangsgröße steigt als Funktion einer beliebigen, konstanten Eingangsgröße monoton an.

Wegen der Lage des Pols in der s-Ebene bezeichnet man es auch als grenzstabil.

Die Sprungantworten XaŌÉ(t) an einer Reihenschaltung mit einem I-Glied I-Glied G(s) = 1 / (Tn*s) und einem PT1-Glied G(s)= 1/(T*s+1). Die Eingangsgr√∂√üe des PT1-Gliedes Xa1(t) entspricht der Anstiegsfunktion.

Es unterscheidet sich im Gegensatz zu den Verzögerungsgliedern, dass in der linearen Differentialgleichung der Beiwert a_0 = 0\, ist.

Die allgemeine Differentialgleichung: \cdots a_2\cdot x_a''(t)+a_1\cdot x_a'(t)+a_0\cdot x_a(t)=b_0\cdot x_e(t)\cdots, \quad

wird f√ľr das I-Glied zu:

a_1\cdot x_a'(t)=b_0\cdot x_e(t)\quad\quad x_a(t)=\frac K{T_n}\int(x_e)\cdot dt

√úbertragungsfunktion mit Tn= Nachstellzeit:

G(s)=\frac{X_a(s)}{Xe(s)}=\frac K{T_n\cdot s}\quad\quad

Instabile Regelstrecken

Instabile Regelstrecken können entstehen z. B. durch:

  • zwei oder mehrere in Reihe geschaltete I-Glieder
  • R√ľckkopplung im Funktionsplan (Wirkungsplan) der Strecke. Wird z.¬†B. das Ausgangssignal eines I-Gliedes auf den Eingang zur√ľckgekoppelt, so entsteht ein instabiles PT1-Glied.

Sie k√∂nnen in der Natur entstehen, wenn auf die Lage von K√∂rpern Beschleunigungskr√§fte einwirken, wie sie z.¬†B. durch die Gravitation oder durch den Magnetismus hervorgerufen werden, dann wird die Lage zunehmend beschleunigt. Die Ausgangsgr√∂√üe Xa(t) w√§chst progressiv bis zu einer nat√ľrlichen Begrenzung.

Die Stabilisierung solcher Strecken hat in der Industrie eine zunehmende Bedeutung. In der Fachliteratur werden Berechnungsbeispiele zu instabilen Regelstrecken immer h√§ufiger dargestellt. Anwendungen sind ‚Äěinvertiertes Pendel‚Äú (Transport aufrechtstehender Rakete auf dem Wagen, Ladebr√ľcke beim Schiff oder G√ľterzug), ‚ÄěMagnetschwebek√∂rper‚Äú (Positionierung beim Anfahren einer Magnetschwebebahn). H√§ufig haben diese instabilen Regelstrecken auch nichtlineare Komponenten.

Instabiles PT1-Glied

Sprungantwort eines instabilen PT1-Gliedes bei einem Sprung und einem R√ľcksprung am Eingang

Die Differentialgleichung mit einem negativen Koeffizienten lautet z. B.:

T\cdot x_a'(t)-x_a(t)=K\cdot x_e(t)

Die √úbertragungsfunktion lautet:

G(s)=\frac{X_a(s)}{X_e(s)}=K\cdot \frac 1{T\cdot s-1}

Die Sprungantwort lautet:

x_a(t) = K\cdot x_e\cdot (e^{t/T}-1)\,

Das Zeitverhalten eines instabilen PT1-Gliedes mit einem Testsignal wird wie folgt beschrieben:

  • Eine Impulsfunktion oder eine Sprungfunktion beliebiger Amplitude startet unverz√ľglich das Ausgangssignal, das bis zu einer nat√ľrlichen Grenze exponentiell zunimmt.
  • Innerhalb des Arbeitsbereichs kann das Ausgangssignal nur dann in die entgegengesetzte negative Richtung gestartet werden, wenn ein negatives Eingangssignal - eine Sprungfunktion - im Betrag gr√∂√üer ist, als der momentanen positive Betrag der Impuls- bzw. Sprungantwort. Dies erkl√§rt sich aus dem Prinzip der Mitkopplung.
  • Wenn die negative Sprungfunktion solange ansteht, dass die Sprungantwort auch negativ wird, kann die Sprungfunktion zu 0 werden. Die Sprungantwort l√§uft dann selbst√§ndig weiter bis zu einer Begrenzung in negativer Richtung.

Diese Regelstrecke ist relativ leicht mit einem PI-Regler zu regeln!

Instabiles PT2-Glied

Wenn im Nenner eines schwingungsfähigen PT2-Gliedes negative Koeffizienten stehen, oder die Dämpfung D = 0 ist, so ist das System instabil. Liegen konjugiert komplexe Pole vor, schwingt das System mit zunehmender Amplitude.

Lautet die Übertragungsfunktion eines instabilen TP2-Gliedes z. B.:

G(s) = \frac K{T1 \cdot T2 \cdot s^2+(T2-T1)\cdot s-1}

Falls das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion keine konjugiert komplexen Pole hat, d. h. die Dämpfung D beträgt D=<0, dann lässt sich das Polynom in ein stabiles und instabiles PT1-Glied zerlegen. Z. B.

 G(s) = \frac K{(T1\cdot s + 1)\cdot (T2\cdot s - 1)}

Das gleiche Ergebnis ergibt sich f√ľr die √úbertragungsfunktion, wenn T1 = T2 = T f√ľr

G(s) = \frac K{T^2\cdot s^2-1} =  \frac K{(T\cdot s + 1)\cdot (T\cdot s - 1)}

Diese PT2-Regelstrecke ist ebenfalls relativ leicht mit einem PID-Regler zu regeln!

Totzeitglied

Sprungantwort von einem Sprung und einem R√ľcksprung eines Systems mit Totzeit Tt = 2[s] und 4 in Reihe geschalteten Verz√∂gerungsgliedern mit je T = 1[s]

Das Totzeitglied ist ein in der Praxis h√§ufig vorkommendes √úbertragungsglied und wirkt meist in Verbindung mit weiteren Verz√∂gerungsgliedern. Es wird durch reine Laufzeit bzw. Transportzeit eines Signals verursacht. Es verh√§lt sich wie ein P-Glied, dessen Ausgangsgr√∂√üe versp√§tet um die Totzeit ankommt, ohne die Eingangsgr√∂√üe w√§hrend dieser Zeit zu verzerren. Jede √Ąnderung der Eingangsgr√∂√üe wirkt um die Totzeit versp√§tet am Ausgang.

Zeitverhalten:

x_a(t) = 0; \quad f\ddot ur \quad  t &amp;amp;lt; T_t\;,
x_a(t) = {x_e}_{(t-T_t)}; \quad f\ddot ur \quad t \geq T_t\;.

√úbertragungsfunktion:

G(p)=\frac{x_a(s)}{x_e(s)}=e^{-s*Tt}

Nichtlineare Regelstrecken

Beispiele nichtlinearer √úbertragungssysteme

Bei linearen Systemen ist die Ausgangsgr√∂√üe im eingeschwungenen Zustand der Eingangsgr√∂√üe stets proportional. Bei nichtlinearen Systemen wirkt mindestens eine nichtlineare Funktion in Verbindung mit linearen Systemen. Diese nichtlinearen Funktionen werden nach stetigen und unstetigen Nichtlinearit√§ten unterschieden. Sie k√∂nnen als Signal- bzw. Stellgr√∂√üenbegrenzungen, als stetige Nichtlinearit√§t z.¬†B. mit quadratischem Verhalten, als Funktionen mit begrenzter Ansprechempfindlichkeit (Tote Zone) bei Messf√ľhlern und/oder mit Hysterese behaftet sein. Theoretische Untersuchungen der Stabilit√§t von Regelkreisen mit Nichtlinearit√§ten k√∂nnen sehr aufwendig sein. Zur einfacheren Bestimmung des dynamischen Verhaltens und der Stabilit√§t eines Regelkreises kann ein bestimmter Bereich um den Arbeitspunkt eines nichtlinearen √úbertragungssystems betrachtet werden. Gehen die dynamischen Abweichungen um den gew√§hlten Arbeitspunkt hinaus, muss die gesamte Nichtlinearit√§t in die Berechnung einbezogen werden. Als Analysemethode kann u.A. die Harmonische Balance angewendet werden. Hier muss auf die einschl√§gige Fachliteratur hingewiesen werden.

Signal- und Stellgrößenbegrenzung (Sättigung)

Diese nichtlineare Funktion kommt in der Praxis am h√§ufigsten bei allen √úbertragungssystemen vor. Ein Ventil kann nur zu 100¬†% ge√∂ffnet sein und ein Elektromotor darf nicht √ľber seine maximale Leistung betrieben werden. Begren-zungen des Reglers und der Strecke m√ľssen wegen der Regeldynamik aufeinander abgestimmt sein, in der Weise, dass die Begrenzung des Reglers eine kleinere Stellgr√∂√üe zul√§sst, als die Strecke verarbeiten kann. Signal- bzw. Stellgr√∂√üenbegrenzungen wirken d√§mpfend auf das Gro√üsignalverhalten der Regelgr√∂√üe. Liegt die √úbertragungsfunktion einer offenen Regelstrecke mit den linearen Systemen vor, hilft die Simulation mit geeigneten Rechenprogrammen den Einfluss der Begrenzung darzustellen.

Nichtlineare stetige Kennlinie einer Regelstrecke

Linearisierung im Arbeitspunkt eines nichtlinearen Systems

Die quadratische Charakteristik einer Federkennlinie oder die nichtlineare Querschnittver√§nderung eines Ventils bedeuten in sonst mit linearen Systemen wirkenden Regelstrecken unterschiedliche Streckenverst√§rkungen. Wenn ein Regelkreis f√ľr einen festen Sollwert eingestellt ist, hat die Stellgr√∂√üe einen bestimmten Arbeitsbereich innerhalb der nichtlinearen Funktion. Durch Anlegen einer Tangente an den Arbeitsbereich der nichtlinearen Funktion der Regelstrecke kann die Verst√§rkung der so linearisierten Teilkennlinie bestimmt werden. Mit der Verst√§rkung aus dem Quotienten K=\frac{dX_a}{dX_e} der Tangente in diesem Arbeitspunkt kann das Verhalten des Regelkreises berechnet werden, wenn die √úbertragungsfunktionen der √ľbrigen √úbertragungssysteme bekannt sind.

Sollen beliebige Sollwerte f√ľr einen gegebenen Regelkreises eingestellt werden, m√ľssen die Parameter des Reglers f√ľr die kleinste Verst√§rkung der Nichtlinearit√§t der Strecke optimiert werden, was ein schlechtes dynamisches Verhalten des Regelkreises bedeutet.

Linearisierung einer nichtlinearen Funktion mit einer Kompensationsfunktion

Abhilfe kann eine Kompensationsfunktion (Inverse Nichtlinearit√§t) im Eingang des nichtlinearen Systems bringen. F√ľr einen digitalen Regler w√§re das nur eine Tabelle, die ber√ľcksichtigt werden muss, damit die Nichtlinearit√§t zu einer linearen Funktion mit proportionalem Verhalten gewandelt werden kann. Die Kompensationsfunktion unterliegt nicht dem Superpositionsprinzip.

Unstetige Ansprechempfindlichkeit (Tote Zone)

Bei Messf√ľhlern tritt manchmal der Effekt auf, dass eine bestimmte Gr√∂√üe des Messwertes √ľberschritten werden muss, damit der Messf√ľhler ein Signal abgibt. F√ľr einen Regelkreis bedeutet dies, dass kleine Sollwerte und damit kleine Regelgr√∂√üen nicht eingestellt werden k√∂nnen.

Hysterese

Durch Reibung an Ventilen, durch magnetische Effekten z.¬†B. bei Relais oder durch Mitkopplung an Operationsverst√§rkern kann der Hystereseeffekt auftreten. Die Hysterese kann stetiges oder unstetiges Verhalten haben. F√ľr unstetige Regler ist die Hystereseeffekt erw√ľnscht. F√ľr die stetige Regelung ist der Hysteresefunktion sehr unerw√ľnscht.

Experimentelle Systemidentifikation von Regelstrecken nach der Sprungantwort

Systeme 1. Ordnung

Einfache Regelstrecken, die durch ein System 1. Ordnung beschrieben werden, sind leicht durch die Sprungantwort des Systems zu identifizieren. Es gelten die grafischen Bilder des Kapitels ‚ÄěLineare Regelstrecken‚Äú. Nachfolgend wird die Eingangsgr√∂√üe mit Xe und die Ausgangsgr√∂√üe mit Xa bezeichnet.

Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied)

Dieses √úbertragungsglied wird charakterisiert durch den relativ steilen Anstieg der Sprungantwort zum Zeitpunkt t ‚Ȇ 0 zu Beginn des Sprungs.

Im Gegensatz zu dem Verhalten einer Verz√∂gerung h√∂herer Ordnung, verharrt hier f√ľr einen kleinen Zeitraum die Sprungantwort Xa(t) bei dem Wert Null. Dieses Verhalten kann man besonders gut beobachten bei den Impulsantworten mehrerer PT1-Glieder in der Reihenschaltung.

Die Funktion Xa(t) nähert sich asymptotisch an das Maximum der physikalischen Größe Xa_max. Die Zeitkonstante T entspricht dem Zeitwert von t, der von 63 % von Xa_max als Schnittpunkt in der Funktion der Sprungantwort gebildet wird. Der Proportianalitätsfaktor der Strecke Ks(t) wird bestimmt aus Xa / Xe im Beharrungsverhalten.

√úbertragungsfunktion: \frac {Xa(s)}{Xe(s)}= \frac {{K_s}}{T\cdot s+1}

Integrale Regelstrecke (I-Glied)

Die Sprungantwort- vorausgesetzt der Speicher des Systems ist leer - bildet eine monoton ansteigende Gerade, die durch den Ursprung des Koordinatensystem startet und erst durch nat√ľrliche Begrenzungen endet. Der Streckenbeiwert Ki = 1 /Tn ergibt sich durch Ki = őĒXa / őĒt.

√úbertragungsfunktion: \frac {{Xa}}{{Xe}}(s) = \frac {{Ki}} {{s}}

Kombinationen von PT1-Glied und I-Glied

Oberhalb des eingeschwungenen Zustandes (Beharrungsverhalten) des PT1-Systems kann eine Hilfslinie durch parallele Verschiebung direkt in den Ursprung gezogen werden und stellt das Verhalten des I-Gliedes dar. Eine waagerechte Linie eines Wertes im eingeschwungenen Zustand von Xa schneidet die beiden Kennlinien. Der waagerechte Abstand dieser Schnittpunkte entspricht der Zeitkonstante T des PT1-Gliedes. Die Kennwerte des I-Gliedes werden wie bereits definiert errechnet.

√úbertragungsfunktion: \frac {{Xa(s)}}{{Xe(s)}} = \frac {{Ki \cdot Ks}} {{s\cdot(T\cdot s+1)}}

Instabiles PT1-Glied

Die Zeitkonstante kann direkt aus der Sprungantwort abgelesen werden: F√ľr den Sprung Xe_max gilt:

Der Wert von Xa = Xe_max * 0,69 schneidet die Funktion der Sprungantwort in waagerechter Richtung. Die diesem Punkt zugeh√∂rige Zeit t ‚Äď Schnittlinie in senkrechter Richtung - ist gleich der Zeitkonstante T.

√úbertragungsfunktion: \frac {{Xa(s)}} {{Xe(s)}} = \frac 1{{T\cdot s-1}}

Systeme höherer Ordnung

PT2-Schwingungsglied

Identifikation eines PT2-Schwingungsgliedes durch die Amplituden der 1. und 2. Halbwelle

Ist die Sprungantwort dieses Systems grafisch gegeben, kann die Übertragungsfunktion des Schwingungsgliedes aus dem Amplitudenverhältnis der zwei ersten Halbwellen errechnet werden.

Zunächst wird die Dämpfung der Schwingung berechnet:

D = \frac {1}{\sqrt{1+\frac {\pi^2}{(ln \frac {A1}{A2})^2 }}}

Die Zeitkonstante T errechnet sich aus der Periodendauer Te der 1. Schwingung und aus der Dämpfung D:

T = \frac {Te\cdot \sqrt{1-D^2}} {2\cdot \pi}

Damit ergibt sich die √úbertragungsfunktion zu:

\frac {Xa(s)}{Xe(s)} = \frac 1 {T^2\cdot s^2+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}

Nichtschwingende Systeme höherer Ordnung

Es gibt eine Reihe von Faustformelverfahren, die aus der Sprungantwort der Regelstrecke mit angelegter Tangente im Wendepunkt der Funktion eine Näherung der Sprungantwortfunktion ermitteln.

Zeit-Prozentkennwert-Verfahren (Schwarze)
Identifikation einer Regelstrecke höherer Ordnung durch das Zeit-Prozentkennwert-Verfahren

Mit der Methode des ‚ÄěZeit-Prozent-Verfahrens‚Äú wird zum Beispiel eine Modellstrecke ermittelt, die mit gleichen Zeitkonstanten je nach Streckenkonstanten beliebiger Ordnung tats√§chlich eine gute Ann√§herung an die reale Sprungantwort bietet. (Zeitschrift Automatisierungstechnik 1993 von Latzel)

F√ľr eine gegebene Sprungantwort einer nicht schwingenden Regelstrecke werden von den Amplitudenwerten Xa von 10%, 50% und 90% der Maximalamplitude im Beharrungszustand die zugeh√∂rigen Zeitwerte T10, T50 und T90 erfasst und daraus eine Modell-√úbertragungsfunktion aus n gleichen Verz√∂gerungsgliedern gebildet.

Folgende Schritte sind erforderlich:

  • Aus dem Verh√§ltnis őľ = T10 / T90 wird mittels einer Tabelle die Ordnung des Streckenmodells festgelegt.
  • Aus der gleichen Tabelle werden Faktoren őĪ10, őĪ50 und őĪ90 abgelesen.
  • Die f√ľr jede Ordnung gleiche Verz√∂gerungszeit Tm der Modellstrecke berechnet sich zu:

Tm = \frac 13\cdot (\alpha10\cdot T10+\alpha50\cdot T50+\alpha90\cdot T90)

Damit liegt die Ordnung des Modellsystems und die f√ľr jede Ordnung gleiche Zeitkonstante fest. In einer weiteren Tabelle (nach Latzel) kann man f√ľr die Modell√ľbertragungsfunktion die Parameter f√ľr verschiedene Standardregler in Parallelstruktur ablesen. Die Tabellen dieses Verfahrens sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik enthalten, z.¬†B.:

  • Gerd Schulz / "Regelungstechnik 1" Verlag Oldenbourg, 3. Auflage 2004
  • Manfred Reuter - Serge Zacher / "Regelungstechnik f√ľr Ingenieure" Verlag Vieweg, 11. Auflage 2003

Experimentelle Systemidentifikation durch frequenzvariable Einspeisung in die Regelstrecke

Wenn das Bode-Diagramm einer unbekannten Regelstrecke höherer Ordnung vorliegt, können durch Eintragung der Asymptoten in dem Amplitudengang die Streckenkonstanten ermittelt werden. Enthält die Regelstrecke auch eine Totzeit, wird auch der Phasengang der Regelstrecke benötigt.

Die Ermittlung des Bode-Diagramms und der Streckenkonstanten geschieht wie folgt:

  • Arbeitspunkt der Regelstrecke festlegen, z.¬†B. auf 50¬†% des Arbeitsbereiches.
  • Auf den Arbeitspunkt eine sinusf√∂rmige variable Frequenz mit m√∂glichst gro√üer konstanter Amplitude so additiv einspeisen, dass keine Begrenzungseffekte am Ausgang der Regelstrecke auftreten. Die Frequenz wird in Schritten so verstellt, dass sich die Ausgangsamplitude von unged√§mpft bis kleiner 1¬†% √§ndert.
  • Die z.¬†B. auf den Wert 1 normierte Eingangsamplitude, die Ausgangsamplitude und die Phasenverschiebung der Ausgangsamplitude werden als Funktion der Frequenz tabellarisch erfasst. Das Amplitudenverh√§ltnis wird in das Bode-Diagramm im logarithmischen Ma√üstab als Amplitudengang eingetragen. Beim Phasengang wird die Phase im linearen Ma√üstab eingetragen.
  • Nach Einzeichnen der Asymptoten (20 dB / Dekade f√ľr ein TP1-Glied) k√∂nnen die Eckfrequenzen \omega_E = \frac {1} {T} ermittelt werden. Mit dem Phasengang wird gepr√ľft, ob die Summe der Anzahl der Zeitkonstanten (bzw. die Ordnung des Systems) mit der Summe der Phasenverschiebung (TP1-Glied 90¬į / Dekade) √ľbereinstimmt.
  • Falls die Eckfrequenzen eng zusammenliegen, k√∂nnen diese nicht so genau bestimmt werden. Es empfiehlt sich in diesem Fall mit der gefundenen √úbertragungsfunktion ein neues Bode-Diagramm zu erstellen und die beiden Amplitudeng√§nge auf Deckungsgleichheit zu vergleichen und notfalls die vorher ermittelte √úbertragungsfunktion zu korrigieren.

Experimentelle Identifikation einer Regelstrecke mit Hilfe einer Modellregelstrecke

Eine Regelstrecke kann man durch die Sprungantwort, durch die Impulsantwort der Regelstrecke oder auch durch Einspeisung einer variablen Frequenz identifizieren.

Wichtigste Merkmale f√ľr die Anwendung einer Modellregelstrecke mit Hilfe der Sprung- oder Impulsantwort sind:

  • Die Parameter einer Regelstrecke k√∂nnen mittels einer einfachen Modellregelstrecke ermittelt werden, in dem die Kennlinie des Modells wird durch schrittweises √Ąndern der Zeitkonstanten des Modells auf die Kennlinie der unbekannten Regelstrecke angepasst wird.
  • Das Modell muss √§hnliche Streckeneigenschaften aufweisen, wie die unbekannte Regelstrecke.
Bei Strecken ohne Ausgleich ben√∂tigt das Modell einen I-Anteil, bei Strecken mit Totzeit ist f√ľr das Modell ebenfalls ein Totzeitglied erforderlich.
  • Die Anpassung eines Modells an die unbekannte Regelstrecke mit Hilfe der Sprungantwort ist relativ einfach und kann evtl. auch grafisch durchgef√ľhrt werden.
  • Das Anpassung eines Modells an die unbekannte Regelstrecke mit Hilfe der Impulsantwort ist etwas aufwendiger, bietet aber bei Deckungsgleichheit der Kennlinien eine v√∂llige √úbereinstimmung zwischen Original und Modell in einem Regelkreis im Vergleich mit den jeweiligen Sprungantworten. Mit diesem Modell l√§sst sich auch die Ordnung des Originals feststellen.
  • Es sollte einfach zu realisieren sein.

Identifikation einer Regelstrecke mit Ausgleich und Totzeit durch die Sprungantwort

Sprungantwort einer Regelstrecke 4. Ordnung mit dominanter Zeitkonstante und deren Modellregelstrecke 2. Ordnung mit Totzeitglied

Die Sprungantwort hat den Vorteil der einfacheren Durchf√ľhrung und des h√∂heren Bekanntheitsgrades des zu erwartenden Ergebnisses. Die zeitunabh√§ngige Streckenverst√§rkung Ks kann bei Regelstrecken mit Ausgleich im statischen Zustand direkt abgelesen werden.

Folgende Anforderungen werden an die Modellregelstrecke f√ľr eine Regelstrecke mit Ausgleich gestellt:

  • Die Sprungantwort der Modellregelstrecke soll weitgehend deckungsgleich mit der Originalregelstrecke sein.
  • Die Modellregelstrecke soll eine bestimmte Form der √úbertragungsfunktion aufweisen, die sich mit einem guten linearen Standardregler ‚Äď beispielsweise einem PID-Regler ‚Äď leicht f√ľr eine Parametrierung des Reglers eignet.
  • Das Verfahren soll f√ľr Regelstrecken ab 2. Ordnung mit und ohne Totzeit anwendbar sein.

Ein PID-Regler in Produktdarstellung (Reihenschaltung) kann 2 PT1-Verzögerungen kompensieren. Deshalb wird folgende leicht zu bestimmende Form der Modellregelstrecke gewählt, die aus einem schwingungsfreien PT2-Glied und einem Totzeitglied besteht:

√úbertragungsfunktion Modell:
G_{sm}(s) = \frac {e^{-Ttv \cdot s}}{(T\cdot s+1)^2}

Ttv besteht aus einer eventuell vorhandenen Totzeit Tt und der durch die grafische Konstruktion - bzw. durch ein Simulationsprogramm - bedingten Verschiebezeit.

Die Sprungantwort des PT2-Gliedes lautet:
 G_{PT2}(t) = 1 - \frac{T+t}{T}\cdot e^{-\frac t{T}}

Verfahren zur Ermittlung der Modellregelstrecke:

Die Durchf√ľhrung der Konstruktion des Modells kann grafisch in das aufgezeichnete Diagramm der Sprungantwort der unbekannten Regelstrecke erfolgen.

Wesentlich einfacher ist der Verlauf des PT2-Gliedes durch ein Simulationsprogramm zu gestalten, wenn die Originalfunktion durch eine geeignete Anzahl von Messpunkten in das Rechenprogramm eingetragen wird. Die Vorgehensweise f√ľr das grafische Verfahren und f√ľr die Anwendung eines Simulationsprogrammes ist in beiden F√§llen identisch. F√ľr die Konstruktion des Modells wird die Kennlinie des PT2-Gliedes im mittleren Amplitudenbereich des Originals durch schrittweises √Ąndern der beiden Zeitkonstanten T der Neigung des Kennlinienverlaufs des Originals angeglichen. Die Deckung der beiden Kennlinien wird durch horizontale Verschiebung der Kennlinie des PT2-Gliedes ‚Äď bei Vorliegen eines Simulationsprogrammes durch ein Totzeitglied ‚Äď auf die Kennlinie des Originals erreicht. Danach erfolgt der Feinabgleich mit der Zeitkonstanten T und der Verschiebezeit (Ttv). Bei Deckungsgleichheit der beiden Kennlinien k√∂nnen die Zeitkonstanten des Modells mit Ttv und T abgelesen werden.

Wenn die Totzeit der Originalstrecke nicht gr√∂√üer als 50¬†% der dominanten Zeitkonstante ist, kann mit den ermittelten Daten des Modells Ks, Ttv und T ein PID-Regler in Produktdarstellung optimal mit F√ľhrungseigenschaften parametriert werden nach folgenden Regeln:

  • Polstellen-Nullstellenkompensation: Tv1 = T, Tv2 = T,
  • Verst√§rkung:K_{PID}= \frac {0,6}{Ttv \cdot Ks}
Die Streckenverstärkung Ks ergibt sich aus dem Verhältnis von Xa / Xe der Originalstrecke im statischen Zustand.
  • Ergebnis: Die Sprungantwort des Regelkreises enth√§lt ca. 5¬†% bis 10¬†% √úberschwingungen mit dem D√§mpfungsgrad D ca. >0,5

Siehe unter Parametrierung eines PID-Reglers: ‚ÄěBeispiel: PID-Reglerstruktur f√ľr eine Regelstrecke mit zwei Verz√∂gerungen und einer Totzeit‚Äú.

Die zugeh√∂rige Grafik zeigt die gute Deckung der Kennlinien der Sprungantworten des Modells und des Originals. Die gefundenen Parameter des Modells eignen sich gut f√ľr die Parametrierung eines PID-Reglers.

Fehlerbetrachtung der Sprungantwort des Modells zur Sprungantwort der Originalfunktion:

F√ľr Strecken h√∂herer Ordnung mit beliebigen Zeitkonstanten und Totzeit-Glied ist die Anwendung des vorgeschlagenen Modells bezogen auf die Sprungantworten der beiden Systeme relativ genau mit einem zu erwartenden Amplitudenfehler von 0,5% bis 1¬†%. Lediglich bei einer nicht realistischen Regelstrecke, bei der z.¬†B. vier √§hnliche oder gleich gro√üe Zeitkonstanten auftreten, kann ein systembedingter Fehler ‚Äď sorgf√§ltige Anpassung der beiden Kennlinien vorausgesetzt ‚Äď von 3¬†% auftreten. Der Fehler der Sprungantwort eines Regelkreises, der die Originalstrecke oder das Modell bei sonst gleichen Regler-Einstellungen enth√§lt, ist nat√ľrlich gr√∂√üer.

Identifikation einer Regelstrecke mit Ausgleich und Totzeit durch die Impulsantwort (Gewichtsfunktion)

Die Impulsfunktion kann durch einen normierten Impuls definiert werden. Die Impulsbreite \Delta t\, des Produktes Xe \cdot \Delta t = 1\, soll sehr klein sein gegen√ľber den Zeitkonstanten des √úbertragungssystems. In der Praxis gen√ľgt ein Wert f√ľr \Delta t\, von 1% bis 10¬†% der dominanten Zeitkonstante des zu pr√ľfenden √úbertragungssystems. Die sich aus dieser Beziehung ergebene Amplitude von Xe ist auf m√∂gliche Begrenzungseffekte des √úbertragungssystems zu pr√ľfen, anderenfalls ergeben sich Fehler in der Impulsantwort.

Modell f√ľr eine Regelstrecke mit Hilfe der Impulsantwort

Impulsantwort einer Regelstrecke 4. Ordnung mit dominanter Zeitkonstante und deren Modellregelstrecke 3. Ordnung

Analog zum Modell-Beispiel mit der Sprungantwort wird ein Modell mit 3 Verzögerungen mit folgender Übertragungsfunktion vorgeschlagen:

G_{sm}(s) = \frac {1}{(T1\cdot s+1)\cdot (T2\cdot s+1)\cdot (T3\cdot s+1)}

Liegt eine Totzeit in der Originalfunktion vor, muss das Modell um ein Totzeitglied erweitert werden. Im Gegensatz zum Modell mit der Sprungantwort kann mit einem PT2-Glied und einem Totzeitglied keine Deckung der Kennlinien der Impulsantworten des Originals und des Modells erzielt werden, weil die Kennlinie der Impulsantwort empfindlicher auf Fehlanpassung reagiert.

Die experimentelle Parametrierung des Modells erfolgt schrittweise durch Verändern der Zeitkonstanten, wobei zuerst der Scheitelwert der Impulsantwort des Modells und dann die gesamte Kennlinie bei gleichem Scheitelwert mit der Kennlinie der unbekannten Impulsantwort zur Deckung gebracht wird.

Bei der Konstruktion der Kennlinien-Deckung bei gleichem Scheitelwert der Impulsantworten fällt auf:

  • Eine oder alle Zeitkonstanten des Modells m√ľssen verkleinert werden, wenn die Kennlinie des Modells rechts der Symmetrieachse des Scheitelwertes des Originals liegt. Oder die Ordnung des Modells ist h√∂her als das Original.
  • Liegt die Kennlinie der Impulsantwort links der Symmetrieachse des Scheitelwertes des Originals, m√ľsste eine zus√§tzliche Verz√∂gerung in das Modell einbezogen werden, wenn man Deckungsgleichheit beider Kennlinien erzielen m√∂chte.

Grafisch ist dieses Modell nur schwer zu erstellen. Es empfiehlt sich die Anwendung eines Simulationsprogramms f√ľr die drei PT1-Glieder.

Die zugehörige Grafik der Impulsantworten des Originals und des Modells zeigt keine vollständige Übereinstimmung der beiden Kennlinien, weil das Original Zeitverzögerungen 4. Ordnung enthält. Dennoch ist das ermittelte Modell mindestens so genau wie das ermittelte Modell mit der Sprungantwort.

Vergleich der Qualität der Modelle mit der Sprungantwort und der Impulsantwort

Die Impulsantwort eines Übertragungssystems ist identisch mit der Differentiation der Sprungantwort des Systems. Deshalb ist der mittlere Bereich um den Wendepunkt der Kennlinie der Sprungantwort durch die Differentiation stark vergrößert. Das Verfahren mit dem Vergleich der Kennlinien der Impulsantworten eines Streckenmodells und des Originals erlaubt eine genauere Identifikation der Strecke als mit dem Vergleich der Sprungantworten. Den Beweis kann man nur durch Simulation beider Verfahren in einem Regelkreis antreten.

Stabilität der Regelstreckenglieder

Wenn f√ľr ein √úbertragungssystem alle Koeffizienten der Differentialgleichung von der h√∂chsten Ableitung von Xa(t) bis Xa(t) l√ľckenlos vorhanden und positiv sind, dann ist zun√§chst eine Grundforderung der Stabilit√§t des Systems erf√ľllt.

Ein lineares zeitinvariantes √úbertragungssystem ist asymptotisch stabil (auch intern stabil genannt), wenn seine Impulsantwort (Gewichtsfunktion) nach gen√ľgend langer Zeit asymptotisch abklingt. Steigt dagegen die Impulsantwort nach gen√ľgend langer Zeit gegen eine nat√ľrliche Anschlagbegrenzung, ist das System instabil.

Als Sonderfall gibt es Systeme, die nach der Impulsantwort mit steigender Zeit zwar ansteigen, aber einen endlichen Grenzwert nicht √ľbersteigen. Diese auch mit grenzstabil bezeichneten Systeme betreffen z.¬†B. das I-Glied oder das T2-Schwingungsglied.

Interne Stabilität

Ein √úbertragungssystem ist intern stabil, wenn der Nenner der √úbertragungsfunktion nur Pole in der linken s-Halbebene hat:

Externe Stabilität (BIBO-Stabilität)

Sie bezieht sich im Gegensatz zur internen Stabilität auch auf die Ein- und Ausgangssignale eines Übertragungssystems. Ein Übertragungssystem gilt als extern stabil, wenn ein beschränktes Eingangssignal an dem System auch ein beschränktes Ausgangssignal hervorruft.

Ein Regelstreckensystem ist instabil

  • wenn die Ausgangsgr√∂√üe kontinuierlich schwingt,
  • wenn die Ausgangsgr√∂√üe mit ansteigenden Amplituden schwingt,
  • wenn die Ausgangsgr√∂√üe progressiv √ľber alle Grenzen ansteigt.

Stabilitätsbetrachtung durch Lage der Pole

Bedeutung der Pole und der konjugiert komplexen Polpaare in der linken und rechten s-Halbebene

Es gen√ľgt f√ľr die Erkennung der Stabilit√§t einer √úbertragungsfunktion die Lage der Pole in der s-Ebene (Ordinate mit Ō¨, Abszisse mit j*ŌČ) zu betrachten:

  • Asymptotische Stabilit√§t: s√§mtliche Pole m√ľssen in der linken s-Halbebene liegen,
  • Instabilit√§t: wenn mindestens ein Pol in der rechten s-Halbebene liegt, oder wenn ein mehrfacher Pol auf der rechten Imagin√§ren Achse der s-Ebene liegt.
  • Grenzstabil: wenn kein Pol in der rechten s-Halbebene liegt, keine mehrfachen Pole auf der imagin√§ren Achse der s-Halbebene liegen und mindestens ein einfacher Pol vorhanden ist.

Grundlagen der Regelstrecke im Zustandsraum

In der klassischen Regelungstheorie hat die Behandlung von Regelproblemen im Zeitbereich eine geringere Bedeutung, als die Methoden im Frequenz- und s-Bereich, wie die Laplace-Transformation, der Frequenzgang und das Wurzelortsverfahren. Dabei werden hauptsächlich lineare Übertragungsglieder mit konstanten Koeffizienten behandelt. Nichtlineare Systeme werden linearisiert.

Die seit den 1960er Jahren bekannte Theorie des Zustandsraumes kann die klassische Regelungstheorie nicht ersetzen, wohl aber um einige Verfahren erweitern, wie z. B. die Behandlung von:

  • Lineare √úbertragungsglieder mit zeitabh√§ngigen Koeffizienten (zeitvariable Systeme),
  • Nichtlineare Systeme,
  • Systeme mit mehreren Eingangs- und Ausgangsgr√∂√üen,
  • Synthese von optimalen Regelsystemen,
  • Behandlung von Anfangsbedingungen der √úbertragungssysteme.

Die meisten Regelstrecken h√∂herer Ordnung lassen sich durch Differentialgleichungen n-ter Ordnung beschreiben. Man kann diese Differentialgleichung n-ter Ordnung auch in n-gekoppelte Differentialgleichungen 1. Ordnung √ľberf√ľhren. Die durch die Umwandlung entstehenden Variablen bezeichnet man mit Zustandsgr√∂√üen. Diese werden vorzugsweise in Matrizenschreibweise dargestellt.

Der Begriff des Zustandes beschreibt bei einem √úbertragungssystem nicht das √úbertragungsverhalten, sondern den Zustand, in dem sich das System zum Zeitpunkt t=0 mit all seinen Informationen - wie Anfangsbedingungen - befindet, der f√ľr den k√ľnftigen Bewegungsablauf f√ľr t >0 erforderlich ist.

Die mathematische Behandlung der Zustandsgleichungen ist unter dem Lemma Zustandsraumdarstellung in den Kapiteln lineare- und nichtlineare Zustandsgleichungen dargestellt.

Die √úbertragungssysteme im Zustandsraum sind steuerbar (Steuerbarkeit), wenn das System durch geeignete Stellgr√∂√üen nach ausreichender Zeit von einem beliebigen Anfangszustand zu einem beliebigen Endzustand √ľberf√ľhrt werden kann.

Um ein im Zustandsraum dargestelltes √úbertragungssystem regeln zu k√∂nnen, m√ľssen die Zustandsgr√∂√üen einem Zustandsregler zugef√ľhrt werden. Sind nicht alle Zustandsgr√∂√üen messbar, kann ein sogenannter Beobachter Beobachter (Regelungstechnik) f√ľr die Regelung eingesetzt werden. Beobachter errechnen die Zust√§nde eines √úbertragungssystems aus gemessenen Ein-und Ausgangsgr√∂√üen, was voraussetzt, dass das System die Kriterien der Beobachtbarkeit erf√ľllt.

F√ľr den weiteren √ľber den angezeigten Lemmas hinausgehenden Informationsbedarf muss auf die Fachliteratur hingewiesen werden.

Mehrgrößensysteme

Wenn Regelstrecken mehrere Ein- und Ausgangsgrößen aufweisen, bezeichnet man sie als Mehrgrößensysteme. Dabei wirken mehrere Eingangssignale der Strecke wechselseitig auf die Ausgangsgrößen und auch umgekehrt.

Beispiele f√ľr Mehrgr√∂√üensysteme findet man

  • In der Chemoindustrie, z.¬†B. bei der Mischung von Fl√ľssigkeiten verschiedener Temperaturen zu eine Solltemperatur und einer bestimmten Fl√ľssigkeitsmenge
  • in der Flugtechnik u.¬†a. bei Hubschraubern: Stellgr√∂√üen f√ľr die Bewegung sind die Anstellwinkel des Hauptrotors und des Heckrotors, Ausgangsgr√∂√üen sind z.¬†B. die Flugh√∂he und der Gierwinkel.

Diese Systeme können z. B. durch einschleifige Regelsysteme nicht zufriedenstellend geregelt werden.

Zweigrößen-Regelstrecken

Darstellung einer Zweigrößen-Regelstrecke in 2 Beispielen mit Verkopplung am Ausgang und am Eingang

Von den bekanntesten Mehrgrößen-Regelstrecken ist die Struktur der Zweigrößen-Regelstrecken nachfolgend dargestellt.

  • Die Regelstrecke hat zwei Eingangsgr√∂√üen und zwei Ausgangsgr√∂√üen,
  • Beide Ausgangsgr√∂√üen sind dynamisch mit der jeweils anderen Eingangsgr√∂√üe verkoppelt,
  • Je nach Vorzeichen der Additionsstellen unterscheidet man positive und negative Kopplung. Unter der negativen Kopplung versteht man bei Zweigr√∂√üen-Regelstrecken, dass nur eine von beiden Koppelstellen negativ eingreift,
  • Die Kopplung kann am Ausgang der Hauptstrecke wie auch am Eingang erfolgen.

Mehrgrößen-Regelsysteme können wie einschleifige Regelsysteme sowohl im Zeitbereich durch Differentialgleichungen, als Zustandsdarstellung und auch im Frequenzbereich durch Übertragungsfunktionen beschrieben werden.

Nach dem Blockschaltbild mit den Koppelstellen an den Ausg√§ngen gelten f√ľr lineare Regelstrecken nach dem √úberlagerungsprinzip mit

  • G11(s) und G22(s) als Hauptstrecken und
  • G12(s) und G21(s) als Koppelstrecken.

Die zugeh√∂rigen √úbertragungsfunktionen der beiden Ausgangsgr√∂√üen f√ľr die Kopplung am Ausgang lauten:

Xa1(s) = Xe1(s) \cdot G11(s) + Xe2(s) \cdot G12(s) \,
Xa2(s) = Xe2(s) \cdot G22(s) + Xe1(s) \cdot G21(s)\,

Analog zu den Zweigrößen-Regelstrecken mir Kopplung am Ausgang gibt es die Zweigrößen-Regelstrecken mit der Kopplung am Eingang. Die zugehörigen Übertragungsfunktionen der beiden Ausgangsgrößen mit der Kopplung am Eingang lauten:

Xa1(s) = (Xe1(s) + Xa2(s) \cdot G21(s)) \cdot G11(s)\,
Xa2(s) = (Xe2(s) + Xa1(s) \cdot G12(s)) \cdot G22(s)\,
Darstellung einer Sprungantwort einer Zweigrößen-Regelstrecke mit negativer Kopplung am Ausgang

In der Grafik ist die Sprungantwort f√ľr eine Zweigr√∂√üen-Regelstrecke mit Kopplung am Ausgang dargestellt. Bei positiver Kopplung und √úbertragungssystemen mit Ausgleich ohne Verst√§rkungsfaktoren ist die Ausgangsgr√∂√üe im station√§ren Zustand immer Xa(t) = 2 * Xe(t). Bei negativer Kopplung ist die Ausgangsgr√∂√üe unter den gleichen Bedingungen im station√§ren Zustand Xa(t) = 0. Vor√ľbergehend kann Xa je nach Verhalten der Koppelstrecke positive und / oder negative Werte annehmen.

Mehrgrößen-Regelkreise

Regelstrecken mit mehreren Eingangs- und Ausgangsgrößen werden ebenfalls von Reglern mit mehreren Eingangs- und Ausgangsgrößen geregelt. Liegen mehrere Regelgrößen vor, sind ebenfalls mehrere Sollwerte und Stellgrößen erforderlich, damit entsteht ein mehrschleifiger Regelkreis.

Die √ľbliche Entwurfsstrategie von Reglern in einschleifigen Regelkreisen ‚Äď z.¬†B. Pol- Nullstellenkompensation ‚Äď bringt bei Mehrgr√∂√üen-Regelsystemen keine zufriedenstellenden Resultate.

Abhilfe schafft die Methode, durch eine spezielle Struktur der Regler die Verkopplung zu eliminieren. Daf√ľr sind bei den Zweigr√∂√üen-Regelkreisen vier Regler erforderlich, die einen Zweigr√∂√üen-Regelkreis in zwei einschleifige Regelkreise √ľberf√ľhren k√∂nnen.

Andere Verfahren zur Vereinfachung von Mehrgr√∂√üensystemen sind ‚ÄěModellreduktionen‚Äú und ‚Äěangen√§herte Entkopplungen‚Äú. Siehe dazu auch Mehrgr√∂√üen-Regelkreis.

Literatur

  • "Regelungstechnik 1" von Gerd Schulz, 3. Auflage 2004, Verlag Oldenbourg.
  • "Regelungstechnik: Mehrgr√∂√üenregelung" von Gerd Schulz, Band 2, 2002, Verlag Oldenbourg.
  • "Regelungstechnik f√ľr Ingenieure" von Manfred Reuter und Serge Zacher, 11. Auflage 2003,Verlag Vieweg.

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