Uniformverteilung

Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall (a,b) eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine stetige Zufallsvariable X bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall [a,b], wenn Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) und Verteilungsfunktion F(x) gegeben sind als

f(x)=\begin{cases}
  0            & x \le a\\
  \frac 1{b-a} & a < x < b\\
  0            & x\ge b
\end{cases}   
F(x)= \begin{cases}
  0               & x \le a\\
  \frac{x-a}{b-a} & a < x < b\\
  1               & x\ge b
\end{cases}   

Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig \mathcal U(a,b) oder \mathcal SG(a,b) verwendet.

Eigenschaften

Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung ist

\begin{align}
  \operatorname E(X) &= \int\limits_{-\infty}^\infty xf(x)dx\\
                     &= \frac 1{b-a}\int\limits_a^b x\cdot 1dx\\
                     &= \frac 12\frac{b^2-a^2}{b-a}\\
                     &= \frac{a+b}2.
\end{align}

Varianz

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist

\begin{align}
  \operatorname{Var}(X) &= \operatorname E(X^2) - \left(\operatorname E(X)\right)^2\\
                        &= \frac 1{b-a}\int\limits_a^b x^2 \cdot 1dx - \left(\frac{a+b}2\right)^2\\
                        &= \frac 13\frac{b^3-a^3}{b-a} - \left(\frac{a+b}2\right)^2\\
                        &= \frac 1{12}\left(4b^2 + 4ab + 4a^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2\right)\\
                        &= \frac 1{12}(b-a)^2.
\end{align}

Standardabweichung

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung

\sigma_x = \sqrt{\frac{(b-a)^2}{12}} = \frac{b-a}{2\sqrt 3}.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

\operatorname{VarK}(X) = \frac 1{\sqrt 3}\frac{b-a}{a+b}.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

\operatorname v(X) = 0.

Wölbung

Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als

\gamma_2 = -\frac 65.

Summe von gleichverteilten Zufallsvariablen

Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

\phi_X(t) = \frac{1}{(b-a)it}(e^{itb}-e^{ita}),

wobei i die imaginäre Einheit darstellt.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist

m_X(s) = \begin{cases}\frac{\displaystyle e^{bs}-e^{as}}{\displaystyle (b-a)s} & s\neq 0 \\
                                      1                            & s=0.
                         \end{cases}

und speziell für a = 0 und b = 1

m_X(s) = \frac 1s(e^s-1).

Damit ergeben sich die ersten allgemeinen Momente zu

m_1 = \frac 12(a+b).

Beziehung zu anderen Verteilungen

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn X eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise Y=-\tfrac 1\lambda \ln(X) der Exponentialverteilung mit dem Parameter λ.

Beispiel für das Intervall [0,1]

Häufig wird a = 0 und b = 1 angenommen. Dann ist:

  • f(x) = 1 für 0\leq x\leq 1
  • F(x) = x für 0\leq x\leq 1
  • \operatorname E(X) = 0{,}5
  • \operatorname{Var}(X) = 1/12
  • \sigma_x = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{1/12} \approx 0{,}29

Ein Beispiel für eine auf dem Intervall [0,1] stetig gleichverteilte Zufallsvariable ist die Funktion Z(y) = y. Hier ist offenbar

\mathbb{P} (Z \leq x)= \mathbb{P} ([-\infty,x])=F(x)=\begin{cases}
  0            & x \le 0\\
  x & 0 < x < 1\\
  1            & x\ge 1,
\end{cases}

daher ist Z gleichverteilt.

Siehe auch

Diskrete Gleichverteilung

Weblinks


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