Verhältniszeichen


Verhältniszeichen
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Absatzzeichen ( )
Tilde ( ~ )

Verhältniszeichen sind die in der mathematischen Notation üblichen Zeichen für die Darstellung der Größenverhältnisse zweier Zahlen bzw. Terme.

Die wichtigsten Verhältniszeichen sind das Gleichheitszeichen (=) sowie die Größer-als-Zeichen (>) und Kleiner-als-Zeichen (<). Die beiden letztgenannten Zeichen werden genutzt, um Ungleichungen auszudrücken.

Verhältniszeichen können vielfältig kombiniert werden, unter anderem auch mit einem senkrechten Strich (|) zur Negation oder einer Tilde für die Äquivalenz. Viele der Kombinationen fallen in den meisten Anwendungen mit der Bedeutung anderer Zeichen zusammen.

Inhaltsverzeichnis

Formelsatz

Die Zeichen > und < wurden vom englischen Mathematiker Thomas Harriot eingeführt.

Je nach Tradition des Formelsatzes werden manchmal geringfügig abweichende Verhältniszeichen verwendet. Die folgende Zuordnung ist nicht restriktiv, die entsprechenden Formen können auch in den ihnen nicht zugeordneten Traditionen auftauchen. Die Polen, Russland und der ehemaligen UdSSR zugeordnete Form tritt beispielsweise auch in IUPAC-Veröffentlichungen auf, während die angloamerikanische Form überall auf der Welt verwendet wird.

Form Herkunft
 \leq\,\geq  Angloamerikanischer Raum
 \leqq\,\geqq  Deutschland ¹
 \leqslant\,\geqslant  Polen, Russland und ehemalige Sowjetunion

Das gilt für die anderen Zeichen entsprechend.

¹ Entgegen dieser Darstellung ist in DIN 1302 („Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe“) für „kleiner gleich“ dasjenige Zeichen festgelegt, das hier als angloamerikanische Form aufgeführt wird.

Kleiner-als-Zeichen

Das Kleinerzeichen (<) kennzeichnet eine zweistellige Relation, deren semantische Belegung von der verwendeten Algebra abhängt. Implizit wird angenommen, dass die Relation zu 'wahr' ausgewertet wird.

Im täglichen Sprachgebrauch der natürlichen Zahlen bezeichnet man damit die Relation eines echt kleineren (nicht gleichgroßen!) Wertes gegenüber einem echt größeren Wert. In Präfixnotation bedeutet das: < (a, b) wird zu 'wahr' ausgewertet, also a ist echt kleiner als b.

Die gebräuchlichere Form ist die Infixnotation a < b, wenn a echt kleiner ist als b.

Das Schriftzeichen hat den Unicode-Wert U+003C, gehört also zum ASCII-Satz.

Merksätze

  • Zur Vermeidung von Verwechslungen zwischen den Zeichen „Größer als“ und „Kleiner als“ ist – gerade für Schulkinder – ein Vergleich mit einem Krokodil hilfreich, das stets nach dem größeren „Bissen“ schnappt: „Das Krokodil, das stets das Meiste fressen will“.

In der Zeitschrift "Kopf und Zahl" (Zeitschrift der ZTR zur Behandlung von Rechenschwäche) wird dieser Merksatz kritisiert: "Einer solchen Erklärung stehe ich skeptisch gegenüber, da sich diese Eselsbrücke nicht aus der mathematischen Logik speist, sondern sich ausschließlich dem Wunsch nach einem kindgemäßen Bild verdankt. Was ist eigentlich, wenn das Reptil nur einen kleinen Hunger hat? (...) Ich bevorzuge statt dessen eine Erklärung, die auf die Entstehung des Symbols Bezug nimmt: 'Auf derjenigen Seite, auf der das Zeichen größer ist, steht auch die größere Zahl.' Auf diese Weise bekommt man auch einen eleganten Übergang zum 'ist gleich' hin: dieses Zeichen ist auf beiden Seiten gleich weit geöffnet." (Aus: Kopf und Zahl, Journal des Vereins für Lerntherapie und Dyskalkulie e. V. in Zusammenarbeit mit den Mathematischen Instituten zur Behandlung von Rechenschwäche, Ausgabe 8, 2007, S.8).

  • Alternativ kann das Zeichen „Kleiner als“ durch einen senkrechten Strich zu einem K und das „Größer als“ durch einen Halbkreis zu einem G stilisiert werden.

Beispiel

Der Wert der natürlichen Zahl 3 ist echt kleiner (hat eine geringere Ordnung) als der Wert der natürlichen Zahl 4. Die Ordnung gibt der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen vor.

Man schreibt:

3 < 4

Ebenso gilt für reelle Zahlen:

3,14 < 3,15

Liste der Verhältniszeichen

Mathematische Verhältniszeichen
Zeichen Unicode Bedeutung Zeichen Unicode Bedeutung
= U+003D U+2260 gleich/ungleich U+2248 fast gleich
< > U+003C U+003E kleiner/größer als U+227A U+227B vorangehend/nachfolgend
U+2264 U+2265 kleiner/größer oder gleich U+227C U+227D vorangehend/nachfolgend oder gleich
U+226E U+226F nicht kleiner/größer als U+2280 U+2281 nicht vorangehend/nachfolgend
U+2270 U+2271 weder kleiner/größer als noch gleich U+22E0 U+22E1 weder vorangehend/nachfolgend noch gleich
U+2272 U+2273 kleiner/größer als oder äquivalent U+227E U+227F vorangehend/nachfolgend oder äquivalent
U+22DC U+22DD gleich oder kleiner/größer als U+22DE U+22DF gleich oder vorangehend/nachfolgend
U+22E6 U+22E7 kleiner/größer als, aber nicht äquivalent U+22E8 U+22E9 vorangehend/nachfolgend, aber nicht äquivalent
U+2274 U+2275 weder kleiner/größer als noch äquivalent U+22B0 U+22B1 vorangehend/nachfolgend in Relation
U+2266 U+2267 kleiner/größer als über gleich zu
U+2268 U+2269 kleiner/größer als, aber nicht gleich
U+226A U+226B viel kleiner/größer als
U+22D8 U+22D9 sehr viel kleiner/größer als
U+2276 U+2277 kleiner/größer oder größer/kleiner als
U+2278 U+2279 weder kleiner/größer noch größer/kleiner als
U+22DA U+22DB kleiner/größer als, gleich oder größer/kleiner als
U+22D6 U+22D7 kleiner/größer als mit Punkt

Siehe auch


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