Wasserstoff-Atom


Wasserstoff-Atom

Ein Wasserstoffatom ist ein Atom des chemischen Elements Wasserstoff, der unter den auf der Erde herrschenden Bedingungen nur als zweiatomiges Wasserstoffmolekül vorkommt (gasförmiges H2).

Das 1H-Atom in der Isotopentabelle (Nuklidkarte)

Das Atom besteht aus einem einfach positiv geladenen Atomkern (mit einem Proton und null bis zwei Neutronen) und einem negativ geladenen Elektron. Elektron und Atomkern sind aufgrund ihrer entgegengesetzten elektrischen Ladung aneinander gebunden (coulombsches Gesetz).

Das Wasserstoffatom ist das am einfachsten aufgebaute aller Atome und bietet daher den Schlüssel zum Verständnis des Aufbaus und der Eigenschaften aller Atome. Es ist das einzige Atom, für das die quantenmechanische Schrödinger-Gleichung analytisch, d. h. in mathematisch geschlossener Form, gelöst werden kann. Die Spektrallinien des Wasserstoffatoms sind mit hoher Genauigkeit berechenbar, und können mit den gemessenen Werten verglichen werden, wie zum Beispiel das bekannteste Linienmultiplett, die Balmer-Serie.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte der Modellvorstellung des Wasserstoffatoms

Das 1913 entwickelte Bohrsche Atommodell stimmte in seiner Vorhersage der Spektrallinien gut mit experimentellen Beobachtungen überein, und zeigt auch eine hohe Übereinstimmung mit den 1925/26 berechneten quantenmechanischen Werten. Das quantenmechanische Modell lieferte zusätzlich die geometrische Struktur der Elektronenorbitale, und löste das Bohrsche Atommodell mit seinen Ad-hoc-Annahmen ab.

Verfeinerungen des quantenmechanischen Modells führten zu theoretischen Bestätigungen in der Detailstruktur der Spektrallinien des Wasserstoffatoms, das damit gleichzeitig zum Standardtest der Quantenmechanik avancierte.

Wichtige Phänomene, die anhand des Wasserstoffatoms erkannt oder verstanden wurden, sind unter anderem das Pauli-Prinzip und der Zeeman-Effekt.

Die am Wasserstoffatom abgeleiteten Prinzipien der Atomphysik bilden die Grundlage zur Beschreibung aller Atome. Allerdings kann das quantenmechanische Modell bei Atomen mit mehr als einem Elektron nur näherungsweise gelöst werden. Weiter haben Kenntnisse von Aufbau und Eigenschaften des Wasserstoffatoms zum Verständnis des Aufbaus chemischer Moleküle beigetragen.

Experimentelle Untersuchungen der Linienspektren

Termschema (Energieniveauschema) des Wasserstoffs

Seit 1885 werden die Absorptions- und Emissionsspektren des Wasserstoffatoms untersucht. Sie werden verursacht durch den Übergang des gebundenen Elektrons von einem höheren in ein niedrigeres Niveau (Emission) oder umgekehrt (Absorption). Dabei werden die möglichen Linien klassifiziert nach dem Grundniveau und benannt nach ihren jeweiligen Entdeckern. Mathematisch werden die Übergänge durch die Rydberg-Formel beschrieben.

Name der Serie Grundniveau Wellenlängenbereich Entdeckungsjahr
Lyman-Serie 1 ultraviolett 1906
Balmer-Serie 2 sichtbar 1885
Paschen-Serie 3 infrarot 1908
Brackett-Serie 4 infrarot 1922
Pfund-Serie 5 infrarot 1924

Lösung der Schrödinger-Gleichung

Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung (eine partielle Differentialgleichung) kann aufgrund der Kugelsymmetrie der elektromagnetischen Wechselwirkung in drei unabhängige Gleichungen separiert werden. Jede der drei Einzelgleichungen kann mathematisch exakt gelöst werden.

Die wichtigste Gleichung ergibt die Energiezustände und Energiewerte des Elektrons im Wasserstoffatom; es ist üblich, die verschiedenen diskreten Energiewerte über die Hauptquantenzahl n als En zu bezeichnen. Der tiefste Energiezustand ist E1, die weiteren Anregungszustände sind E2 und E3.

Die beiden anderen Gleichungen enthalten die Winkelabhängigkeit (Bahndrehimpulsquantenzahl, magnetische Quantenzahl).

Das Wasserstoffatom ist eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, die sich exakt berechnen lassen. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom ist auch deshalb ein Standardverfahren der universitären Physik- und Chemieausbildung.

Mathematische Details

verschiedene Orbitale des Wasserstoffs

Die Separation der Schrödinger-Gleichung führt zu drei Gleichungen, die von jeweils einer der drei Kugelkoordinaten \,r (Abstand vom Mittelpunkt), \vartheta (Breitenwinkel) und \varphi (Längenwinkel) abhängen. Eine vollständige Lösung ergibt sich als das Produkt der Lösungen dieser 3 Gleichungen.

Jede Lösung \,\Psi der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom wird durch die drei Zahlen \, n, l, m , Quantenzahlen genannt, gekennzeichnet. Dabei ist die Haupt- oder Energiequantenzahl \,n eine beliebige positive Zahl, die Drehimpulsquantenzahl \,l nimmt für gegebenes \,n die Werte von 0 bis n − 1 an, und die magnetische Quantenzahl \,m läuft für gegebenes \,l von l bis + l. Die Lösungsfunktion ist dann

 \Psi_{nlm}(r,\vartheta,\varphi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\vartheta, \varphi )

mit

Für die niedrigsten Orbitale ergibt sich damit:

\begin{align}
\Psi_{100} &= \sqrt{4 \over a_0^3} e^{-r/a_0} \cdot \sqrt{1 \over 4\pi}\\
\Psi_{200} &= \sqrt{1 \over 8 a_0^3} \left(-{r \over a_0} + 2\right)e^{-r/2a_0} \cdot \sqrt{1 \over 4\pi}\\
\Psi_{210} &= \sqrt{1 \over 24 a_0^3} \left({r \over a_0}\right)e^{-r/2a_0} \cdot \sqrt{3 \over 4\pi} \cos \vartheta\\
\Psi_{2,1,\pm 1} &= \mp \sqrt{1 \over 24 a_0^3} \left({r \over a_0}\right)e^{-r/2a_0} \cdot \sqrt{3 \over 8\pi} \sin \vartheta e^{\pm i \varphi}\\
\end{align}

Die Energieeigenwerte sind

H \Psi_{nlm} = E_n \Psi_{nlm} \,
E_n = -{{m_r c^2 Z^2 \alpha^2} \over {2 \cdot n^2}} = -{{m_r e^4 Z^2} \over {(4\pi\epsilon_0)^2 \hbar^2}} {{1} \over {2n^2}}= -{{e^2 Z^2} \over {4 \pi \epsilon_0 a_0}}\cdot {{1}\over {2 n^2}} \, .

Hierin ist α die Feinstrukturkonstante und mr die reduzierte Masse des Systems aus Elektron und Proton. Die Drehimpuls- und magnetischen Eigenwerte sind durch

L^2 \Psi_{nlm} = {\hbar}^2 l(l+1) \Psi_{nlm} \,

und

L_z \Psi_{nlm} = \hbar m \Psi_{nlm} \,

gegeben.

Die Drehimpulsquantenzahl misst hierbei den Bahndrehimpuls des Elektrons, und die magnetische Quantenzahl seine Projektion auf eine beliebige Richtung, die im Allgemeinen als z bezeichnet wird (z steht dabei für die z-Achse). In dieser einfachsten Behandlung des Wasserstoffatoms sind die Energiewerte nur von der Hauptquantenzahl \,n abhängig. Alle Lösungen mit gleichem \,n besitzen hier die gleiche Energie. Man sagt daher, sie sind entartet bezüglich der Quantenzahlen \,l und \,m. Die Entartung bezüglich \,l ist dabei eine Besonderheit von (-a/r)-Potentialen.

Unter Berücksichtigung weiterer Effekte (Spin, Relativitätstheorie) ergibt sich eine zusätzliche Aufhebung der Energieentartung.

Alternativen zur Schrödinger-Theorie

In der heisenbergschen Matrizenmechanik hat Wolfgang Pauli für das Wasserstoffatom erstmals eine Lösung gefunden[1], indem er die Rotationssymmetrie in vier Dimensionen [O(4)-Symmetrie] ausnutzte, die vom Drehimpuls und dem Laplace-Runge-Lenz-Vektor erzeugt wird. Durch Erweiterung der Symmetriegruppe O(4) zur Dynamischen Symmetriegruppe O(4,2) konnten nicht nur das Spektrum sondern auch die Dipol-Matrixelemente für alle atomaren Übergänge in einer irreduziblen Gruppendarstellung vereint werden[2]

Im Jahre 1979 gelang auch eine Lösung für das Wasserstoffatom in Feynmans Pfadintegral-Zugang zur Quantenmechanik[3][4]. Durch die hier entwickelte Lösungsmethode wurde der Anwendungsbereich der Feynmanschen Methode erheblich erweitert.

Weitere Entwicklung

Die Schrödinger-Gleichung gibt eine in erster Näherung ausgezeichnete Beschreibung des Wasserstoffatoms. Sie vernachlässigt allerdings eine Reihe von zweitrangigen Eigenschaften der beteiligten Elementarteilchnen, die experimentell nachweisbar sind. Durch Berücksichtigung dieser Eigenschaften im erweiterten quantenmechanischen Modell lassen sich jene Beobachtungen ebenfalls erklären.

Relativistische Effekte

Die Schrödinger-Gleichung ist eine nichtrelativistische Gleichung und verwendet den klassischen Ausdruck für die kinetische Energie, zur korrekten Beschreibung muss man deshalb eigentlich die Dirac-Gleichung verwenden. Beim Wasserstoffatom ist der Energieunterschied aber nicht sehr groß, daher kann man die Effekte störungstheoretisch im Rahmen der Schrödinger-Gleichung behandeln, um genauere Werte für die Energieeigenwerte zu erhalten.

Spin

Der Spin des Elektrons ist ebenfalls ein nicht klassischer Effekt, der sich exakt in der Dirac-Gleichung verstehen lässt.

Aufgrund seines Spins besitzt das Elektron ein magnetisches Moment, das mit anderen magnetischen Momenten und Magnetfeldern wechselwirken kann.

Die Wechselwirkung mit dem magnetischen Moment, welches das Elektron durch seine Bewegung um den Atomkern erzeugt, wird dabei als Spin-Bahn-Kopplung bezeichnet. Die Spin-Bahn-Kopplung und andere relativistische Effekte bewirken eine Aufspaltung der nicht-relativistisch entarteten Energieniveaus, die Feinstruktur des Wasserstoffatoms.

Berücksichtigt man noch die Wechselwirkung von Spin und Bahndrehimpuls mit dem Kernspin, ergibt sich eine noch feinere Aufspaltung, die sogenannte Hyperfeinstruktur.

In Anwesenheit von Magnetfeldern beobachtet man aufgrund des Spins des Elektrons den anomalen Zeeman-Effekt.

Quantenfeldtheoretische Effekte

Die Quantenmechanik ist eine Annäherung an die zugrundeliegende Quantenfeldtheorie, in der unter anderem Vakuumfluktuationen auftreten. Diese bedingen die Lamb-Verschiebung (engl. lamb shift) der Energiewerte, die erstmals im Lamb-Retherford-Experiment nachgewiesen wurde.

Diese Beobachtung führte zur Entwicklung der Quantenelektrodynamik, einer Quantenfeldtheorie, die mittels Näherungsrechnungen die bislang genaueste Beschreibung des Wasserstoffatoms gibt.

Einzelnachweise

  1. W Pauli: Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik. In: Zeitschrift für Physik. 36, 1926, S. 336–363. doi:10.1007/BF01450175
  2. Kleinert H.: Group Dynamics of the Hydrogen Atom. In: Lectures in Theoretical Physics, edited by W.E. Brittin and A.O. Barut, Gordon and Breach, N.Y. 1968. 1968, S. 427-482
  3. Duru I.H., Kleinert H.: Solution of the path integral for the H-atom. In: Physics Letters B. 84, Nr. 2, 1979, S. 185–188. doi:10.1016/0370-2693(79)90280-6
  4. Duru I.H., Kleinert H.: Quantum Mechanics of H-Atom from Path Integrals. In: Fortschr. Phys. 30, Nr. 2, 1982, S. 401–435. doi:10.1002/prop.19820300802

Literatur

  • David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. 2. Auflage. Prentice Hall International, Upper Saddle River, NJ 2004, ISBN 0-13-111892-7 (Abschnitt 4.2 setzt sich genauer mit dem Wasserstoffatom auseinander). 
  • B. H. Bransden, Charles J. Joachain: Physics of Atoms and Molecules. Longman, London 1982, ISBN 0-582-44401-2. 
  • Hagen Kleinert: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets: 5th Edition. 5. Auflage. World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 2009, ISBN 981-427-355-4 (auch online lesbar). 

Weblinks


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Atom — Eine Illustration des Heliumatoms im Grundzustand, die den Atomkern (rosa) und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen (schwarz) darstellt. Der Heliumkern (oben rechts) ist in Wirklichkeit kugelsymmetrisch; das ist bei manchen größeren… …   Deutsch Wikipedia

  • Wasserstoff-Maser-Uhr — Wasserstoff Maser Ein Wasserstoff Maser oder Wasserstoff Frequenznormal ist ein spezieller Maser Typ, der die spezifischen Eigenschaften des Wasserstoff Atoms verwendet, um als hochgenaue Frequenz Referenz zu dienen. Sowohl das Proton als auch… …   Deutsch Wikipedia

  • Atom — Atom, von ἄτoμoν, unteilbar, bezeichnete im Sinne der altgriechischen Philosophen die kleinsten Teilchen der Materie. In den Händen der Chemiker hat sich der Begriff des Atoms dahin umgestaltet, daß es, für jedes… …   Lexikon der gesamten Technik

  • Wasserstoff — Eigenschaften …   Deutsch Wikipedia

  • Atom-Bombe — Atompilz von „Fat Man“ über Nagasaki. Kernwaffen – auch Nuklearwaffen oder Atomwaffen genannt – sind Waffen, deren Wirkung auf kernphysikalischen Prozessen beruht, insbesondere der Kernspaltung und Kernfusion. Konventionelle Waffen beziehen… …   Deutsch Wikipedia

  • Naszierender Wasserstoff — Eigenschaften …   Deutsch Wikipedia

  • Anti-Wasserstoff — LEAR Hier wurden im CERN erstmals Antiwasserstoffatome erzeugt. Antiwasserstoff ist das Antimaterie Gegenstück zum Wasserstoff. Der Atomkern besteht aus einem Antiproton, die Atomhülle aus einem Positron. Ende 1995 gelang es am Forschungszentrum… …   Deutsch Wikipedia

  • C-Atom — Eigenschaften …   Deutsch Wikipedia

  • Metallischer Wasserstoff — Skizze der vier Gasplaneten des Sonnensystens. Um den Kern befindet sich metallischer Wasserstoff. Metallischer Wasserstoff wird eine Hochdruckmodifikation des Wasserstoffs genannt. Seine Existenz wurde theoretisch vorhergesagt und ist bislang… …   Deutsch Wikipedia

  • Superschwerer Wasserstoff — Strukturformel T–T Allgemeines Name Tritium Andere Namen Überschwerer Wasserstoff Triplogen (veraltet) Summenformel T2 (molekulare Form) …   Deutsch Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.