Wärmeleitung

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Wärmeleitung

Unter W√§rmeleitung, auch W√§rmediffusion oder Konduktion genannt, wird in der Physik der W√§rmefluss in einem Feststoff oder einem ruhenden Fluid infolge eines Temperaturunterschiedes verstanden. W√§rme flie√üt dabei ‚Äď gem√§√ü dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ‚Äď immer nur in Richtung geringerer Temperatur. Aufgrund des Energieerhaltungssatzes geht dabei keine W√§rmeenergie verloren. W√§rmeleitung ist ein Mechanismus zum Transport von thermischer Energie, ohne dass dazu ein makroskopischer Materialstrom ben√∂tigt wird, wie beim alternativen Mechanismus der Konvektion. Auch der W√§rmetransport durch W√§rmestrahlung wird als getrennter Mechanismus betrachtet. Ein Ma√ü f√ľr die W√§rmeleitung in einem bestimmten Stoff ist die W√§rmeleitf√§higkeit.

Zur Berechnung von Wärmeleitung kann oft die Analogie zum elektrischen Strom verwendet werden, siehe Wärmewiderstand. Dann sind Wärmeleitfähigkeits- und Temperaturberechnungen mit den Methoden der Elektrotechnik möglich.

Inhaltsverzeichnis

Fouriersches Gesetz

Die durch W√§rmeleitung √ľbertragene W√§rmeleistung \dot{Q} wird durch das Fouriersche Gesetz (1822, nach Jean Baptiste Joseph Fourier) beschrieben, das f√ľr den vereinfachten Fall eines festen K√∂rpers mit zwei parallelen Wandfl√§chen lautet:

\dot{Q} = {\frac{\lambda}{d}} A (T_{W_{1}}-T_{W_{2}}).


Einheit f√ľr \dot{Q} ist Watt (W)

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen f√ľr folgende Gr√∂√üen:

  • T_{W_{1}} die Temperatur der w√§rmeren Wandoberfl√§che
  • T_{W_{2}} die Temperatur der k√§lteren Wandoberfl√§che
  • A die Fl√§che, durch die die W√§rme str√∂mt,
  • őĽ die W√§rmeleitf√§higkeit, eine meist temperaturabh√§ngige Stoffgr√∂√üe, und
  • d die Dicke des K√∂rpers, gemessen von Wand zu Wand.
Modell eines Heizrohres, welches √ľber eine Metallverstrebung abgek√ľhlt wird

Aus heutiger Sicht wird der W√§rmetransport durch den sch√§rferen Begriff der W√§rmestromdichte \dot{\vec{q}} beschrieben. Die Ans√§tze dazu gehen wieder auf Fourier und Newton zur√ľck. Es gilt folgende Definition:

\dot{\vec{q}} = -\lambda \, \operatorname{grad} \, T.

Mathematisch wird das Ph√§nomen ‚ÄěW√§rmeleitung‚Äú durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben. Sie hat eine parabolische Charakteristik. In ihrer allgemeinen Form kann diese partielle Differentialgleichung in folgender Form angegeben werden.

\frac{\partial u(\vec r,t)}{\partial t}  =a\, \Delta u(\vec{r},t)

Spezialisiert man diese Gleichung auf die sogenannte W√§rmeleitungsgleichung, muss einschr√§nkend bemerkt werden, dass diese Form der W√§rmeleitungsgleichung nur f√ľr homogene, isotrope Medien gilt. Also nur f√ľr Medien, die √ľberall gleiche Zusammensetzung haben und die keine Vorzugsorientierung aufweisen (zu Vorzugsorientierungen kommt es zum Beispiel durch Fasern in Verbundmaterialien, aber auch durch sog. Kornstreckungen in gewalzten Blechen, etc.). F√ľr diese F√§lle ‚Äď und nur f√ľr diese(!) k√∂nnen die Materialeigenschaften des betrachteten Mediums als ausschlie√ülich von der Temperatur abh√§ngige Gr√∂√üen angenommen werden. Streng genommen gilt die so formulierte Gleichung auch nur dann, wenn keine W√§rme durch Fremdeffekte in den betrachteten K√∂rper eingebracht oder aus ihm entfernt wird. Ist das der Fall, m√ľsste ein sog. Quellterm hinzugef√ľgt werden. Unter diesen Einschr√§nkungen gilt dann folgende Form der W√§rmeleitungsgleichung:

\frac{\partial T(\vec r,t)}{\partial t}  =a(T)\, . \Delta T(\vec{r},t)

Die Differentialgleichung beschreibt generell Transportprozesse (wie zum Beispiel Diffusionsprozesse ‚Äď worunter man einen Materialtransport auf Grund eines Konzentrationsunterschiedes versteht, oder im Fall der W√§rmeleitungsgleichung eben ein ‚ÄěWandern‚Äú der Temperaturverteilung in einem K√∂rper auf Grund eines Temperaturgef√§lles). Die analytische L√∂sung dieser Gleichung ist in vielen F√§llen nicht m√∂glich. Heute berechnet man technisch relevante W√§rmeleitaufgaben mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode. Als Resultat kennt man die zeitliche wie r√§umliche Temperaturverteilung (Temperaturfeld). Damit kann man zum Beispiel auf das r√§umliche Ausdehnungsverhalten der Bauteile schlie√üen, das seinerseits wieder den √∂rtlichen Spannungszustand mitbestimmt. So wird die Temperaturfeldrechnung zu einer wichtigen Grundlage f√ľr alle technischen Auslegungsaufgaben, bei denen die thermische Bauteilbelastung nicht vernachl√§ssigt werden kann.

In inhomogenen Medien mit Wärmequellen lautet die Wärmeleitungsgleichung[1]

 \rho(\vec r) \cdot c_p(\vec r) \cdot \frac{\partial T(\vec r,t)}{\partial t}\ = \nabla \left[ \lambda(\vec r) \cdot \nabla T(\vec r,t) \right] + \dot{q}(\vec r)

wobei \nabla der Nabla-Operator, ŌĀ die Massendichte, cp die spezifische W√§rmekapazit√§t, őĽ die W√§rmeleitf√§higkeit und \dot{q} der pro Volumen durch externe oder interne Quellen eingebrachte W√§rmefluss ist.

Mechanismen

Wärmeleitzahl ausgewählter Materialien
Material Wärmeleitzahl bei
20 ¬įC in W/(m¬∑K)
Silber (rein) 430
Kupfer (rein) 403 [2]
Eisen (rein) 83,5 [3]
Glas 000,76
Wasser 000,58
√Ėl 000,145
Luft 000,0261
Xenon 000,0051

Dielektrische Festkörper

In dielektrischen Festkörpern (Isolatoren) geschieht die Wärmeleitung nur durch Gitterschwingungen, den Phononen. Die Bewegung der Atome wird dabei mechanisch zu den Nachbarn weitergeleitet. Alle Elektronen sind an Atome gebunden und können deshalb keinen Beitrag zur Wärmeleitung liefern.

Elektrisch leitfähige Festkörper

In elektrisch leitf√§higen K√∂rpern wie zum Beispiel Metallen k√∂nnen die Elektronen auch W√§rme transportieren. In Metallen √ľberwiegt sogar die W√§rmleitung durch die Elektronen. Dieser Zusammenhang f√ľhrt zum Wiedemann-Franzschen Gesetz.

Gute elektrische Leiter wie Kupfer √ľbertragen die W√§rme deshalb besser als schlechte elektrische Leiter wie Eisen.

Fl√ľssigkeiten und Gase

Auch in Fl√ľssigkeiten und Gasen wird die W√§rmeleitung durch St√∂√üe zwischen Teilchen dominiert, doch ist deren Bewegung st√§rker und es wirken auch andere Effekte (Durchmischung, Diffusion etc.). Die W√§rmeleitung in Gasen h√§ngt nicht vom Druck ab, solange die freie Wegl√§nge der Teilchen klein gegen die Gef√§√üdimensionen ist. Wenn allerdings die mittlere freie Wegl√§nge durch ein Gef√§√ü (zum Beispiel Thermoskannenwand oder durch mikropor√∂se Substanzen mit Porendurchmessern im Nanometerbereich) begrenzt wird, ist die W√§rmeleitf√§higkeit direkt proportional zum Druck. Diesen Effekt machen sich Vakuumd√§mmplatten zu nutze.

Leichte Atome bzw. Molek√ľle leiten besser als schwere. Im Gegensatz zur Konvektion bilden sich bei reiner W√§rmediffusion in Fl√ľssigkeiten und Gasen keine Wirbel.

Im Allgemeinen gelten Gase als schlechte W√§rmeleiter. Die W√§rmeleitf√§higkeit von Fl√ľssigkeiten liegt im Allgemeinen ungef√§hr eine Zehnerpotenz √ľber der von Gasen. Als Beispiel W√§rmeleitzahlen bei einer Stofftemperatur von 20 ¬įC in W/(m¬∑K) (Ausf√ľhrliche Tabelle befindet sich im Artikel zur W√§rmeleitf√§higkeit).

Suprafluide

In Suprafluiden erfolgt der W√§rmetransport nicht wie √ľblich durch Diffusion, sondern durch Temperatur-Pulse mit Wellencharakter. Dieser Effekt wird zweiter Schall genannt.

Beispiele

Siehe auch

Literatur

  • Fricke, Jochen; Borst, Walter L.: Energie, Ein Lehrbuch der Physikalischen Grundlagen Oldenbourg Verlag M√ľnchen Wien 1984
  • Kittel, Charles: Einf√ľhrung in die Festk√∂rperphysik verschiedene Auflagen, Oldenbourg, M√ľnchen

Weblinks

 Commons: W√§rmeleitung ‚Äď Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. ‚ÜĎ John H. Lienhard IV and John H. Lienhard V: A Heat Transfer Textbook, 3rd edition, 2001, S. 55, Gl. 2.10
  2. ‚ÜĎ Leitf√§higkeit f√ľr Kupfer 99,999 % bei 20 ¬įC, CRC Handbook, 71st Edition, 1991, Seite 12-108, ISBN 0-8493-0471-7.
  3. ‚ÜĎ Leitf√§higkeit f√ľr Eisen 99,998 % bei 20 ¬įC, CRC Handbook, 71st Edition, 1991, Seite 12-108, ISBN 0-8493-0471-7.

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