Würfel (Geometrie)


Würfel (Geometrie)
Regelmäßiges Hexaeder
120px-Hexahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen Quadrate
Anzahl der Flächen 6
Anzahl der Ecken 8
Anzahl der Kanten 12
Schläfli-Symbol {4,3}
dual zu Oktaeder
Netz Hexahedron flat color.svg
Anzahl verschiedener Netze 11
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 4

Der Würfel (von deutsch Wurf, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (Vielflächner) mit

  • sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen
  • zwölf (gleichlangen) Kanten und
  • acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped (Parallelflach), ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der Kantenlänge festgelegt.

Inhaltsverzeichnis

Symmetrie

Zeichnung eines Würfels

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

  • drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen),
  • vier dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
  • sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten) und
  • neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
  • 14 Drehspiegelungen (sechs um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als Oh, in der Notation von Hermann / Mauguin als 4/m\ \bar{3}\ 2/m oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaeder- bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

  • den Hexaederstumpf bzw. den abgestumpften Würfel mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
  • das Kuboktaeder mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
  • den Oktaederstumpf bzw. das abgestumpfte Oktaeder mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Formeln

Größen eines Würfels mit Kantenlänge a
Volumen V = a3
Oberflächeninhalt O = 6 \, a^2 = V\,'(\rho)
Umkugelradius R = \frac{a}{2} \sqrt{3}
Kantenkugelradius r = \frac{a}{2} \sqrt{2}
Inkugelradius \rho = \frac{a}{2}
Raumdiagonale d = a \sqrt{3} = 2R
Verhältnis von Volumen
 zu Umkugelvolumen
\frac{V}{V_{UK}} = \frac{2}{3\pi} \sqrt{3}
Flächenwinkel
 = 90°
 \cos \, \alpha = 0
Flächen-Kanten-Winkel
 = 90°
 \cos \, \beta = 0

Verallgemeinerung

Auch die Analoga des Würfels in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) Würfel (oder Hyperwürfel) bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Würfel hat  2^{n-k} \tbinom{n}{k} begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

  • Der nulldimensionale Würfel (Punkt) hat 1 Ecke.
  • Der eindimensionale Würfel (Strecke) hat 2 Ecken und 1 Kante.
  • Der zweidimensionale Würfel (Quadrat) hat 4 Ecken, 4 Kanten und 1 Fläche
  • Der vierdimensionale Hyperwürfel (Tesserakt) hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenquadrate und 8 Seitenwürfel.
  • Der n-dimensionale Würfel hat 2n Ecken (k=0), n 2n − 1 Kanten (k=1), (n2n) 2n − 3 Flächen (k=2),  n(\tfrac {n^2+2}{3}-n) \cdot 2^{n-4} Volumen (k=3) und 2n (n–1)-dimensionale Würfel als (k=n–1)-dimensionale Seiten (Facetten).

Ein Modell für den n-dimensionalen Würfel ist der Einheitswürfel In im Vektorraum Rn. Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel

  •  I^n = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid 0 \le x_i \le 1 \right\}
  •  I^n = [0,1] \times \cdots \times [0,1] , das n-fache kartesische Produkt des Einheitsintervalls
  • die konvexe Hülle der 2n Eckpunkte mit den Koordinaten 0 und 1
  • der Durchschnitt der 2n Halbräume  x_i \ge 0 und  x_i \le 1

Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge 1 und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im Rn, die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.

Siehe auch

Weblinks

 Commons: Würfel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Würfel — bezeichnet: einen geometrischen Körper, siehe Würfel (Geometrie) einen in Spielen als Zufallsgenerator eingesetzten Gegenstand, siehe Spielwürfel ein Modell für multidimensionale Datenanalyse, siehe OLAP Würfel Würfel ist der Familienname… …   Deutsch Wikipedia

  • Würfel im Rollenspiel — Zwei klassische 6 Seiten Spielwürfel Verschiedene Spielwürfel mit unterschiedlicher Flächenanzahl Ein Spielwürfel (meist einfach Würfel genannt) ist ein Gegenstand, der nach einem Wurf auf einer waagerechten Ebene eine von mehreren unterscheidba …   Deutsch Wikipedia

  • Würfel — Würfel, in der Geometrie soviel wie Kubus (s. d.); in der Kristallographie ist der W. (das Hexaeder) eine wichtige Form des tesseralen Kristallsystems (s. Kristall, S. 702); sodann Werkzeug aus Elfenbein, Knochen, Serpentinstein etc., das zum… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Würfel — Würfel, Kubus, in der Geometrie und Kristallographie (Hexaeder, s.d.) ein von sechs Quadraten begrenzter Körper. Der Inhalt des W. ist gleich der dritten Potenz seiner Kante …   Kleines Konversations-Lexikon

  • Würfel — Wụ̈r·fel der; s, ; 1 Geometrie; ein (dreidimensionales) Gebilde mit sechs quadratischen und gleich großen Seiten, die rechtwinklig aufeinander stehen || Abbildung unter ↑Geometrie || K : Würfelkante; würfelförmig 2 ein kleiner ↑Würfel (1), der… …   Langenscheidt Großwörterbuch Deutsch als Fremdsprache

  • Geometrie II — 1 das rechtwinklige Koordinatensystem 2 u. 3 das Achsenkreuz 2 die Abszissenachse (x Achse) 3 die Ordinatenachse (y Achse) 4 der Koordinatennullpunkt 5 der Quadrant [I IV der 1. bis 4. Quadrant] 6 die positive Richtung 7 die negative Richtung 8… …   Universal-Lexikon

  • Zehnseitiger Würfel — Zwei klassische 6 Seiten Spielwürfel Verschiedene Spielwürfel mit unterschiedlicher Flächenanzahl Ein Spielwürfel (meist einfach Würfel genannt) ist ein Gegenstand, der nach einem Wurf auf einer waagerechten Ebene eine von mehreren unterscheidba …   Deutsch Wikipedia

  • Figur (Geometrie) — Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung. Eine geometrische Figur oder Form ist eine zusammenhängende… …   Deutsch Wikipedia

  • N-dimensionaler Würfel — Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Dabei werden Artikel gelöscht, die nicht… …   Deutsch Wikipedia

  • Abgestumpfter Würfel — Abgestumpftes Hexaeder Parkettierung des Raums mit abgestumpften Hexaedern und Oktaedern Der Hexaederstumpf ist ein Polyeder (Vielflächne …   Deutsch Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.