Ternärkörper

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Ternärkörper

Ein Tern√§rk√∂rper ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich einer beliebigen affinen Ebene dient. Als Menge besteht der Tern√§rk√∂rper dabei aus den Punkten einer fest gew√§hlten Geraden der Ebene, n√§mlich der ersten Koordinatenachse des Koordinatensystems, das man auf dieser Ebene einf√ľhrt. Auf dieser Punktmenge wird durch die Tern√§rkonstruktion eine dreistellige Verkn√ľpfung T definiert, mit der die Gerade die algebraische Struktur eines Tern√§rk√∂rpers erh√§lt. Umgekehrt gibt es zu jeder Struktur (K,T), die die Axiome eines Tern√§rk√∂rpers erf√ľllt, eine affine Ebene, deren Punkte die Paare (x_1,x_2)\in K^2 sind und deren Geraden sich als L√∂sungsmengen von Gleichungen in K mit Hilfe der Tern√§rverkn√ľpfung T darstellen lassen.

Etwas salopp formuliert: Jede affine Ebene ‚Äěist‚Äú eine zweidimensionale Ebene √ľber einem Tern√§rk√∂rper und zu jeder affinen Ebene gibt es bis auf Isomorphie genau einen Tern√§rk√∂rper als Koordinatenmenge. Die M√§chtigkeit des Tern√§rk√∂rpers entspricht der Ordnung der zugeh√∂rigen affinen Ebene.

Ist die affine Ebene eine affine Translationsebene, dann kann ihr Koordinatentern√§rk√∂rper zu einem Quasik√∂rper gemacht werden, f√ľr desarguesche Ebenen ist dies sogar ein Schiefk√∂rper, f√ľr pappussche Ebenen ein K√∂rper.

Ein Tern√§rk√∂rper, in dem die Tern√§rverkn√ľpfung durch eine Addition und eine Multiplikation dargestellt werden kann, wird als linear bezeichnet. Erf√ľllt in einem linearen Tern√§rk√∂rper die Addition das Assoziativgesetz, dann wird er als kartesische Gruppe bezeichnet. Quasik√∂rper sind stets kartesische Gruppen. Ein Quasik√∂rper, in dem beide Distributivgesetze gelten, wird in der Geometrie als Halbk√∂rper bezeichnet. Alternativk√∂rper sind stets solche Halbk√∂rper, Schiefk√∂rper sind stets Alternativk√∂rper.

Die hier beschriebenen Koordinatenbereiche, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenk√∂rper bezeichnet werden, auch wenn sie nicht K√∂rper im algebraischen Sinn sind, k√∂nnen auch zur Einf√ľhrung von projektiven Koordinaten auf einer projektiven Ebene benutzt werden. Der Zusammenhang zwischen affinen und projektiven Schlie√üungss√§tzen und den Folgerungen f√ľr die algebraische Struktur des Koordinatenbereichs der Ebenen, die den Schlie√üungssatz erf√ľllen, wird im vorliegenden Artikel dargestellt und weiter unten im Abschnitt #Schlie√üungss√§tze und Koordinatenbereiche zusammengefasst. Bei der Klassifikation projektiver Ebenen stellt sich heraus, dass jeder Klasse von projektiven Ebenen (im Sinne der Klassifizierung nach Hanfried Lenz) eine Klasse von Koordinatenbereichen mit jeweils f√ľr diese Ebenenklasse charakteristischen Zusatzeigenschaften zugeordnet werden kann.

Im vorliegenden Artikel werden Algebraisierungen von affinen Ebenen beschrieben, die auf einem Koordinatensystem beruhen, und die Verkn√ľpfungen, die sich durch die geometrische Struktur auf einer Koordinatenachse ergeben. Ein anderer Zugang, der sich vor allem f√ľr nichtdesarguesche affine Translationsebenen als fruchtbar erweist, besteht darin, gewisse, n√§mlich die spurtreuen, Endomorphismen der Translationsgruppe algebraisch zu beschreiben. Dieser Ansatz f√ľhrt bei desargueschen Ebenen zu einem Schiefk√∂rper, der isomorph zu dem im vorliegenden Artikel beschriebenen Koordinatenschiefk√∂rper ist. Dieser andere Zugang wird im Hauptartikel Affine Translationsebene beschrieben.

Inhaltsverzeichnis

Geometrische Konstruktion

Hier werden zu einer affinen Ebene A ihr Koordinatentern√§rk√∂rper K und dessen Verkn√ľpfung geometrisch konstruiert. Dazu m√ľssen in der affinen Ebene drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte (O;E1,E2) als Koordinatenbezugssystem (Punktbasis) fest gew√§hlt werden. Der Punkt O ist der Ursprung, die anderen Punkte sind die Einheitspunkte dieses Koordinatensystems. Die Punkte der Verbindungsgeraden OE1, der ersten Koordinatenachse, bilden die Koordinatenmenge K. Diese Koordinatenmenge wird durch die Tern√§rkonstruktion mit einer dreistelligen Verkn√ľpfung ausgestattet, mit der sie zu einem Tern√§rk√∂rper wird.

Koordinatenkonstruktion

Konstruktion des Koordinatenpaars (x1,x2) zu einem Punkt P und umgekehrt.

Zu einem Punkt P\in A ist

  1. x1: Die Parallele zu OE2 durch P schneidet die erste Koordinatenachse OE1 in x1.
  2. x2: Die Parallele zu OE1 durch P schneidet die zweite Koordinatenachse OE2 in P2. Die Parallele zu E1E2 durch P2 schneidet die erste Koordinatenachse in x2.

Das Punktepaar (x_1,x_2)\in K^2=(OE_1)^2 hei√üt Koordinatenpaar des Punktes P, es ist dann √ľblich, wenn das Koordinatensystem (O,E1,E2) klar ist, P(x1 | x2) f√ľr den Punkt zu schreiben. Diese Konstruktion l√§sst sich umkehren: Zu einem Koordinatenpaar (x_1,x_2)\in K^2 ist

  1. P2: Die Parallele zu E1E2 durch x2 schneidet die zweite Koordinatenachse OE2 in P2.
  2. P: Die Parallele zu OE1 durch P2 schneidet die Parallele zu OE2 durch x1 in P.

Dadurch wird jedem Koordinatenpaar umkehrbar eindeutig ein Punkt der affinen Ebene A zugeordnet.

Die Abbildung rechts zeigt die Schritte beider Konstruktionen, der Koordinatenkonstruktion und ihrer Umkehrung. Beide Konstruktionen k√∂nnen so f√ľr alle Koordinatenbereiche vom Tern√§rk√∂rper bis zum K√∂rper in beide Richtungen angewendet werden.

Ternärkonstruktion

Ternärkonstruktion.

Zu drei Koordinaten a, x_1, x_2\in K, also Punkten auf der Achse K = OE1, wird zunächst durch umgekehrte Koordinatenkonstruktion der Punkt P mit den Koordinaten (x1 | x2) in der affinen Ebene konstruiert. Dann schneidet die Parallele zu aE2 durch P die erste Koordinatenachse OE1 in t = T(a,x2,x1).

Die Abbildung rechts zeigt die Tern√§rkonstruktion. Die abgebildete Gerade aE2 erh√§lt dann die Koordinatengleichung ga,a:T(a,x2,x1) = a, ihre Parallelenschar sind die Geraden mit den Gleichungen ga,d:T(a,x2,x1) = d, wobei d der jeweilige ‚Äěx1-Achsenabschnitt‚Äú ist, d. h. ga,d schneidet die erste Koordinatenachse in (d | 0). Die allgemeine Definition der Geradengleichungen erfolgt weiter unten.

Die Menge K der Punkte auf der ersten Koordinatenachse erf√ľllt mit der Verkn√ľpfung, die durch die Tern√§rkonstruktion gegeben ist, die axiomatischen Forderungen an einen Tern√§rk√∂rper. Die Strukturkonstanten, deren Existenz in den Axiomen gefordert ist, sind die Punkte 0 = O bzw. 1 = E1, also Ursprung bzw. erster Einheitspunkt der Punktbasis.

Algebraische Definition

Hier wird ein Ternärkörper K durch seine algebraischen Eigenschaften definiert und auf der so definierten Struktur eine affine Ebene aufgebaut, in der die Elemente von K2 als Punkte dienen.

Axiome

Eine Menge K zusammen mit einer dreistelligen Verkn√ľpfung (der Tern√§rverkn√ľpfung) T: K^3 \rightarrow K hei√üt Tern√§rk√∂rper, wenn die folgenden Axiome gelten:

  1. Es gibt zwei verschiedene Elemente 0 und 1 in K, so dass T(0,b,c) = T(a,0,c) = c und T(a,1,0) = a und T(1,b,0) = b f√ľr alle a,b,c\in K gilt.
  2. Zu a,x_2,d\in K gibt es genau ein x_1\in K f√ľr das T(a,x2,x1) = d gilt.
  3. Zu a,d,a',d'\in K gibt es, falls a\neq a' ist, genau ein Paar (x_1,x_2)\in K^2, f√ľr das T(a,x_2,x_1)=d,\quad T(a',x_2,x_1)=d' gilt.
  4. Zu zwei Paaren (x_1,x_2), (y_1,y_2) \in K^2 gibt es, falls x_2\neq y_2 ist, genau ein a\in K, f√ľr das T(a,x2,x1) = T(a,y2,y1) gilt.

In der Literatur finden sich auch Axiome f√ľr Tern√§rk√∂rper, bei denen die Rollen der ersten und zweiten Stelle in der Tern√§rverkn√ľpfung vertauscht sind. Diese Tern√§rverkn√ľpfung, die hier als ‚ÄěRechtstern√§rverkn√ľpfung‚Äú[1] Top bezeichnet werden soll, geht aus der hier beschriebenen ‚ÄěLinkstern√§rverkn√ľpfung‚Äú T durch die Vertauschung der ersten zwei Stellen hervor: T(a,x2,x1) = Top(x2,a,x1). Das dritte und vierte Axiom muss entsprechend f√ľr Top umformuliert werden.

Addition und Multiplikation, speziellere Ternärkörper

Man kann allgemein in Ternärkörpern eine Addition und Multiplikation so definieren:

a + b = T(a,1,b) und
a\cdot b=T(a,b,0).

Es gilt:

  • (K, + ) ist eine Quasigruppe mit dem neutralen Element 0, also eine Loop,
  • (K\setminus\{0\}, \cdot) ist ebenfalls eine Loop mit dem neutralen Element 1 und
  • es gilt a\cdot 0 =0\cdot a=0 f√ľr jedes Element a\in K.

Gilt dar√ľber hinaus

T(a,b,c) = T(T(a,b,0),1,c), also T(a,b,c)=a\cdot b +c f√ľr alle a,b,c\in K,

so nennt man den Tern√§rk√∂rper K linear. Ist die hier definierte Addition assoziativ, dann bildet (K, + ) sogar eine Gruppe. In diesem Fall nennt man einen linearen Tern√§rk√∂rper (K,+,\cdot) eine kartesische Gruppe[2]. Der Begriff geht auf Reinhold Baer zur√ľck.[3] Man beachte, dass eine kartesische Gruppe ein spezieller linearer Tern√§rk√∂rper, also eine algebraische Struktur mit zwei unterschiedlichen Verkn√ľpfungen ist, im Gegensatz zum sonst √ľblichen Begriff einer Gruppe. Mit der Addition allein bildet jede kartesische Gruppe eine Gruppe im sonst √ľblichen Sinn der Algebra. Diese muss nicht kommutativ sein.

Der Ternärkörper einer affinen Translationsebene ist ein Quasikörper, eine kartesische Gruppe mit kommutativer Addition und weiteren Zusatzeigenschaften. Siehe dazu die Hauptartikel Affine Translationsebene und Quasikörper.

Geometrie der Ebene

  • Die Menge der Paare A = K2 bildet die Menge der Punkte,
  • Geraden sind
  • die L√∂sungsmengen der Gleichungen x2 = c, (g_c=\lbrace (x_1,x_2)\in A: x_2=c\rbrace) und
  • die L√∂sungsmengen der Gleichungen T(a,x2,x1) = d, (g_{a,d}=\lbrace (x_1,x_2)\in A:T(a,x_2,x_1)=d\rbrace bzw. g_{a,d}=\lbrace (x_1,x_2)\in A:a \cdot x_2+x_1=d\rbrace f√ľr lineare Tern√§rk√∂rper, also insbesondere Quasi- und Schiefk√∂rper)
  • Die Elemente c,a,d hei√üen Koeffizienten der Geraden gc bzw. ga,d. Sie beschreiben die Geraden eineindeutig, das hei√üt zwei Geraden stimmen genau dann √ľberein, wenn sie vom gleichen Typ sind und ihre Koeffizienten √ľbereinstimmen.
  • Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie beide vom erstgenannten Typ sind g_{c_1} \parallel g_{c_2} oder wenn sie beide vom zweitgenannten Typ sind und in ihrem ersten Koeffizienten √ľbereinstimmen: g_{a,d_1} \parallel g_{a,d_2}.

Varianten

  • Durch die Gleichungen T(a,x1,d) = x2;x1 = c erh√§lt man explizite Geradengleichungen, die in der neueren Literatur bevorzugt werden. Dann ist d der ‚Äěx2-Achsenabschnitt‚Äú, die Koeffizienten unterscheiden sich von den oben definierten.
  • Entsprechende Geradengleichungen f√ľr die umgekehrte ‚ÄěRechts‚Äú-Version Top erh√§lt man nat√ľrlich wieder einfach durch Vertauschen der Rolle der ersten und zweiten Stelle.

Schließungssätze und Koordinatenbereiche

In der nachfolgenden Tabelle werden die Folgerungen zusammengefasst, die sich aus geometrischen Schlie√üungss√§tzen f√ľr die algebraische Struktur eines Koordinatenbereiches ergeben, der einer Ebene zugeordnet werden kann. Au√üerdem zeigt die Tabelle, welche Schlie√üungss√§tze eine Ebene erf√ľllt, deren Koordinatenbereich die Axiome f√ľr einen bestimmten ‚Äěverallgemeinerten K√∂rper‚Äú erf√ľllt.

Affine Ebene Projektive Ebene
Bezeichnung Geometrische Charakterisierung Koordinatenbereich Bezeichnung Projektiver Schließungssatz
Affine Inzidenzebene (Axiome der affinen Ebene) (K,T) ist ein Ternärkörper. projektive Inzidenzebene (Axiome der projektiven Ebene)
Translationsebene Kleiner affiner Satz von Desargues gilt. (K,+,\cdot) ist ein Quasikörper. Moufangebene Kleiner Satz von Desargues
Desarguesche Ebene Großer affiner Satz von Desargues gilt. (K,+,\cdot) ist ein Schiefkörper. Desarguessche Ebene Großer Satz von Desargues
Pappussche Ebene Großer affiner Satz von Pappos gilt. (K,+,\cdot) ist ein Körper. Pappussche Ebene Großer Satz von Pappos

In der Tabelle impliziert jede Zeile die dar√ľberliegende, wobei die Axiome der affinen bzw. projektiven Ebene von jeder spezielleren Ebene gefordert werden und die Verkn√ľpfung im Tern√§rk√∂rper eine andere ist als in den spezielleren K√∂rpern. Affine Ebenen, deren Koordinatenbereich ein Schiefk√∂rper ist, in denen also der gro√üe affine Satz von Desargues gilt, werden affine desarguessche Ebenen, alle anderen affine nichtdesarguessche Ebenen genannt. Die letzten beiden Spalten f√ľhren die entsprechenden projektiven Ebenen auf. Durch Schlitzen einer projektiven Ebene, die den in der Zeile genannten (projektiven) Schlie√üungssatz erf√ľllt, entsteht stets eine affine Ebene von dem Typ, der in der gleichen Zeile beschrieben ist. Daher k√∂nnen die Koordinatenbereiche der affinen Ebenen auch auf die entsprechenden projektiven Ebenen angewandt werden. ‚Üí Siehe dazu Projektives Koordinatensystem.

Allerdings entsteht aus einer Translationsebene durch projektive Erweiterung nicht immer eine Moufangebene. Aus einer Translationsebene, die durch Schlitzen aus einer Moufangebene hervorgegangen ist, entsteht dann durch projektive Erweiterung wieder die urspr√ľngliche Moufangebene. Dieser spezielle Fall tritt genau dann auf, wenn jeder Koordinatenbereich der affinen und der projektiven Ebene sogar ein ‚Äď und zwar bis auf Isomorphie stets der gleiche ‚Äď Alternativk√∂rper ist. In allen anderen Zeilen entsteht ganz allgemein aus einer beliebigen affinen Ebene des in der Zeile genannten Typs durch projektive Erweiterung eine projektive Ebene des in der gleichen Zeile genannten Typs.

Beispiele und Bemerkungen

  • Durch die im ersten Axiom des Tern√§rk√∂rpers geforderten Strukturkonstanten hat jeder Tern√§rk√∂rper mindestens zwei Elemente. Der kleinste Tern√§rk√∂rper ist der Restklassenk√∂rper \Z/2\Z. Die zugeh√∂rige affine Ebene der Ordnung 2, also das Minimalmodell einer affinen Ebene, ist die affine Fano-Ebene (der affine Ausschnitt wird in Affine Ebene erl√§utert).
  • Jeder Schiefk√∂rper (K,+,\cdot,0,1) erf√ľllt die Axiome eines Quasik√∂rpers und die eines Tern√§rk√∂rpers, wenn man die Tern√§rverkn√ľpfung wie oben f√ľr lineare Tern√§rk√∂rper beschrieben definiert.
  • Der einer affinen Ebene bis auf Isomorphie eindeutig zugeordnete Tern√§rk√∂rper ist genau dann ein Schiefk√∂rper, wenn in der affinen Ebene der (gro√üe) affine Satz von Desargues gilt, in diesem Fall spricht man von einer desarguesschen Ebene und kann die Addition und Multiplikation wie oben f√ľr lineare Tern√§rk√∂rper beschrieben durch die Tern√§rverkn√ľpfung ausdr√ľcken.
  • Die Moulton-Ebene ist ein Beispiel f√ľr eine nichtdesarguessche affine Ebene. Sie kann als Ebene √ľber dem Tern√§rk√∂rper (\R,T) beschrieben werden, wobei die Tern√§rverkn√ľpfung durch
 T(a,x_2,x_1)=\begin{cases} 2\cdot a \cdot x_2+x_1,\quad a<0 \and x_1<0\\ a \cdot x_2+x_1\qquad\mbox{sonst.}\end{cases}\quad{ }
definiert wird. Dieser Tern√§rk√∂rper ist linear, erf√ľllt aber weder das Links- noch das Rechtsdistributivgesetz. Er ist also kein Quasik√∂rper und die Moultonebene ist damit auch keine Translationsebene.
  • Jede Divisionsalgebra √ľber einem K√∂rper ist ein Quasik√∂rper und nur dann ein Schiefk√∂rper, wenn die Multiplikation assoziativ ist.
  • Ein Beispiel f√ľr einen solchen ‚Äěechten‚Äú Quasik√∂rper sind die Oktonionen, eine 8-dimensionale nichtassoziative Divisionsalgebra √ľber \R.[4]
  • Jeder endliche Schiefk√∂rper ist nach dem Satz von Wedderburn ein endlicher K√∂rper. Daher sind alle desarguesschen Ebenen endlicher Ordnung pappussch, das hei√üt, jede endliche desarguessche affine Ebene hat die Ordnung p^n,n\geq 1 mit einer Primzahl p und ist ein zweidimensionaler affiner Raum (im Sinne der linearen Algebra) √ľber dem endlichen K√∂rper \mathbb F_{p^n}.

Beispiele der Ordnung 9

Alle endlichen projektiven und affinen Ebenen, deren Ordnung kleiner ist als 9, sind desarguessch ‚Äď es existiert also bis auf Isomorphie je genau eine mit der Ordnung n\in\lbrace 2,3,4,5,7,8\rbrace und keine mit der Ordnung 6.[5] Die Beispiele der Ordnung 9, die hier dargestellt werden, und alle verwendeten Aussagen und Begriffe finden sich in Weibel (2007). Es existieren genau 4 verschiedene (nicht isomorphe) projektive Ebenen der Ordnung 9. Eine davon ist die projektive Ebene √ľber dem endlichen K√∂rper \mathbb F_9, die drei anderen sind nichtdesarguessch. Nichtdesarguessche projektive Ebenen endlicher Ordnung sind nie Moufangebenen, daher h√§ngt hier die algebraische Struktur des Tern√§rk√∂rpers von dem vollst√§ndigen Viereck ab, das man als projektive Punktbasis auf der Ebene einf√ľhrt.

Eine projektive Ebene hei√üt Translationsebene bez√ľglich einer ihrer Geraden, wenn sie in Bezug auf diese Gerade als Achse den kleinen projektiven Satz von Desargues erf√ľllt. Nur solche projektive Ebenen k√∂nnen einen Quasik√∂rper als Koordinatenbereich haben. Eine gleichwertige Beschreibung einer solchen projektiven Translationsebene: Sie geh√∂rt zu einer der Klassen IVa, V oder VII in der Klassifikation projektiver Ebenen nach Hanfried Lenz.

Zwei der projektiven Ebenen der Ordnung 9 sind keine Translationsebenen in diesem Sinn, durch Schlitzen dieser Ebenen gelangt man stets zu einem Beispiel f√ľr eine nichtdesarguessche affine Ebene, die keine Translationsebene ist. Die dabei entstehenden Koordinatentern√§rk√∂rper sind also durchweg keine Quasik√∂rper.

Die dritte nichtdesarguessche Ebene, die bereits 1907 von Veblen und Wedderburn vorgestellt wurde,[6] ist eine projektive Translationsebene.[7] Sie kann so geschlitzt werden, dass eine nichtdesarguessche affine Translationsebene entsteht, die eine Koordinatenebene √ľber dem Linksquasik√∂rper J_9^{op} der Ordnung 9 ist.

Der Linksquasik√∂rper sieht so aus: (J_9^{op\,*},\cdot)=(Q_8,\cdot), das hei√üt die multiplikative Struktur des Quasik√∂rpers ist durch die Quaternionengruppe Q_8 = \lbrace \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\rbrace gegeben und also eine Gruppe, Produkte, die 0 enthalten, sollen 0 sein. Die Addition ergibt sich, indem man f√ľr J_9^{op}=Q_8\cup \lbrace 0\rbrace so mit dem Vektorraum \mathbb F_3^2 identifiziert:

  1. (1,i) sei eine Basis,
  2. j = 1 ‚ąí i und k = 1 + i.

Die √ľbrigen Additionen ergeben sich aus der Vektorraumstruktur, wenn das formale Minusvorzeichen der Quaternionengruppe als additive Inversenbildung behandelt wird. Vertauscht man in 2. die Identifizierungen, definiert also j = 1 + i und k = 1 ‚ąí i, dann entsteht der Rechtsquasik√∂rper J9.

Insgesamt gibt es 5 nicht isomorphe Linksquasik√∂rper mit 9 Elementen, einer davon ist \mathbb F_9, die vier anderen (einschlie√ülich nat√ľrlich J_9^{op}) treten als Koordinatenbereich der projektiven Translationsebene √ľber J_9^{op} auf, wenn man die projektive Punktbasis geeignet w√§hlt. Daneben entsteht bei anderer Wahl des Koordinatensystems als Koordinatenbereich ein Tern√§rk√∂rper, der kein Quasik√∂rper ist. Einige der so entstehenden Tern√§rk√∂rper sind isomorph zueinander.

Zusatzeigenschaften der Koordinatenbereiche

Beim axiomatischen Aufbau der ebenen Geometrie spielt die Struktur des Koordinatenbereiches eine wichtige Rolle, da sich viele geometrische Eigenschaften in algebraischen Eigenschaften des Koordinatenbereiches widerspiegeln:

  • Das Fano-Axiom erlaubt es, in affinen Translationsebenen Mittelpunkte und Punktspiegelungen zu definieren. Seine G√ľltigkeit ist f√ľr diese Ebenen √§quivalent dazu, dass kein Element des Koordinatenquasik√∂rpers die additive Ordnung 2 hat. F√ľr (projektive und affine) desarguessche Ebenen ist seine G√ľltigkeit dazu √§quivalent, dass der Koordinatenschiefk√∂rper eine von 2 verschiedene Charakteristik hat.

Beim axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie in einer pappusschen Ebene ist der ‚ÄěKoordinatenk√∂rper‚Äú tats√§chlich ein K√∂rper im Sinne der Algebra.

  • Hat dieser K√∂rper wenigstens zwei Quadratklassen, dann kann auf seiner Koordinatenebene eine Orthogonalit√§tsrelation definiert werden, ist seine Charakteristik nicht 2, dann k√∂nnen senkrechte Achsenspiegelungen und damit Winkelhalbierende definiert werden. Die pappussche Ebene wird damit zu einer pr√§euklidischen Ebene.
  • Eine pr√§euklidische Ebene, in der Winkelhalbierende immer existieren, hei√üt frei bewegliche Ebene, ihr Koordinatenk√∂rper ist ein pythagoreischer K√∂rper, in dem ‚ąí1 keine Quadratzahl ist. Diese K√∂rper haben immer die Charakteristik 0. Umgekehrt kann die affine Ebene √ľber einem solchen K√∂rper stets mit einer Orthogonalit√§t ausgestattet werden, die sie zu einer frei beweglichen Ebene macht. ‚Üí Siehe dazu Winkelhalbierende#Synthetische Geometrie.
  • Andererseits erlauben die Koordinatenk√∂rper einer frei beweglichen Ebene stets eine Anordnung. Eine solche Anordnung des K√∂rpers bedingt dann Anordnungsbeziehungen in der Ebene.
  • Ist der Koordinatenk√∂rper euklidisch, dann liefert die zugeh√∂rige affine Ebene ein Modell f√ľr eine ebene euklidische Geometrie, das sich mit klassischen geometrischen Methoden nicht von der herk√∂mmlichen euklidischen Ebene √ľber den reellen Zahlen \R unterscheiden l√§sst.

Literatur

Einzelnachweise

  1. ‚ÜĎ Dies ist kein √ľblicher Begriff, er wird hier ben√ľtzt, weil der ‚ÄěRechts‚Äú-Tern√§rk√∂rper einer affinen Translationsebene ein Rechtsquasik√∂rper ist, w√§hrend der in diesem Artikel nach Degen (1976) definierte Tern√§rk√∂rper in diesen F√§llen ein Linksquasik√∂rper ist.
  2. ‚ÜĎ Benz (1990), S. 244 und Hauke Klein: Cartesian Group. In: Geometry. Universit√§t Kiel, 29. November 2002, abgerufen am 13. Dezember 2010 (HTML, englisch).
  3. ‚ÜĎ Benz (1990), S. 244
  4. ‚ÜĎ Weibel (2007) S.1296
  5. ‚ÜĎ Peter Dembowski: Finite geometries. Springer, Berlin u.a. 1968, Kapitel 1
  6. ‚ÜĎ Veblen-Wedderburn (1907)
  7. ‚ÜĎ Hauke Klein: Lenz Type IVa. In: Geometry. Universit√§t Kiel, 29. November 2002, abgerufen am 13. Dezember 2010 (HTML, englisch).

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