Moufangebene


Moufangebene

Moufangebenen sind projektive Ebenen, in denen der kleine projektive Satz von Desargues allgemeingültig ist. Sie sind nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang benannt, die diese Ebenen in den 1930er Jahren untersuchte.[1] Sie konnte zeigen, dass jede Moufangebene isomorph zu einer projektiven Ebene über einem Alternativkörper[2] ist. Alle endlichen Moufangebenen sind pappussche Ebenen, alle desargueschen Ebenen sind Moufangebenen.

Moufangebenen bilden die Klasse VII in der Klassifikation der projektiven Ebenen nach Hanfried Lenz.[3]

Ist A ein Alternativkörper, dann kann A3 zu einer projektiven Ebene gemacht werden, indem man wie bei einem projektiven Raum über einem Körper die von einem Element (a_0, a_1, a_2) \in A^3\setminus\lbrace (0,0,0)\rbrace erzeugten eindimensionalen Unterräume[4] als Punkte und die zweidimensionalen Unterräume als Geraden verwendet. Man spricht dann auch von der projektiven Ebene über A und notiert sie als \mathbb P^2(A)[5]. Diese projektiven Koordinatenebenen sind stets Moufangebenen. Genau dann, wenn die Multiplikation im Alternativkörper A das Assoziativgesetz erfüllt, ist A ein Schiefkörper und die Ebene \mathbb P^2(A) eine desarguessche projektive Ebene. Man beachte aber, dass zu einem Alternativkörper A, der kein Schiefkörper ist, keiner der formal darstellbaren Koordinatenräume \mathbb P^n(A)=A^{n+1}\; für n > 2 eine projektive Geometrie bildet, vergleiche dazu Axiom von Veblen-Young!

Jede Moufangebene ist isomorph zu einer projektiven Koordinatenebene \mathbb P^2(A) über einem Alternativkörper A, der durch die Ebene bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.[6]

Mit einem Satz von Artin und Zorn, der besagt, dass jeder endliche Alternativkörper ein Körper ist,[7] folgt daraus, dass jede endliche Moufangebene tatsächlich eine projektive Ebene \mathbb P^2(\mathbb F_q) über einem endlichen Körper ist.

Äquivalente Beschreibungen für den Begriff „Moufangebene“: Eine projektive Ebene ist genau dann eine Moufangebene, wenn

  • jede durch Schlitzen aus ihr entstehende affine Ebene eine affine Translationsebene ist,
  • alle Ternärkörper, die man der Ebene als Koordinatenbereich durch Wahl eines projektiven Koordinatensystems, also durch Wahl eines vollständigen Vierecks als Punktbasis zuordnen kann, isomorph sind,
  • einer der Koordinatenternärkörper ein Alternativkörper ist,
  • für jede Gerade der Ebene die Gruppe der Kollineationen, die die Gerade punktweise festlassen, transitiv auf der Menge der Punkte, die nicht auf der Geraden liegen, operiert,
  • die Gruppe der Kollineationen transitiv auf der Menge der vollständigen Vierecke (aufgefasst als geordnete Menge der vier Ecken) operiert.

Bei einer Moufangebene sind die genannten affinen Translationsebenen alle zueinander isomorh, deren Koordinatenternärkörper sind stets Quasikörper und sogar Alternativkörper, die ebenfalls zueinander isomorph sind.

Die reellen Oktonionen \mathbb O sind ein Beispiel für einen Alternativkörper, der kein Schiefkörper ist, die projektive Ebene \mathbb P^2 (\mathbb O ) das wichtigste Beispiel für eine nichtdesarguesche Moufangebene.

Literatur

Einzelnachweise

  1. Moufang (1933)
  2. Alternative fields by Hauke Klein HTML (engl.)
  3. Lenz (1954) und Lenz types by Hauke Klein: HTML (engl.)
  4. Genauer gesagt ist hier ein Unterraum als ein Untermodul des A-Linksmoduls A3 zu verstehen.
  5. Weibel (2007) S. 1296
  6. Hall (1959) 20.5.3
  7. Zorn (1930)

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Fano-Axiom — Das Fano Axiom ist in der synthetischen Geometrie ein Inzidenzaxiom sowohl für affine Ebenen als auch für projektive Ebenen. Es ist nach dem italienischen Mathematiker Gino Fano benannt. In affinen oder projektiven Ebenen über einem Schiefkörper… …   Deutsch Wikipedia

  • Ternärkörper — Ein Ternärkörper ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich einer beliebigen affinen Ebene dient. Als Menge besteht der Ternärkörper dabei aus den Punkten einer fest gewählten Geraden der Ebene,… …   Deutsch Wikipedia

  • Projektive Ebene — Eine projektive Ebene ist in der Geometrie eine Punkte und Geraden umfassende Inzidenzstruktur, die im Wesentlichen durch zwei Forderungen charakterisiert ist, nämlich dass je zwei Geraden einen (eindeutigen) Schnittpunkt und je zwei Punkte eine… …   Deutsch Wikipedia

  • Alternativkörper — Der Begriff Alternativkörper ist eine Verallgemeinerung des algebraischen Körperbegriffs der Mathematik. Bei der Definition des Alternativkörpers verzichtet man auf das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für die Multiplikation. Stattdessen …   Deutsch Wikipedia

  • Satz von Desargues — Der Satz von Desargues, benannt nach dem französischen Mathematiker Gérard Desargues, ist zusammen mit dem Satz von Pappos einer der Schließungssätze, die für die affine und die projektive Geometrie als Axiome grundlegend sind. Er wird je nach… …   Deutsch Wikipedia

  • Ruth Moufang — (* 10. Januar 1905 in Darmstadt; † 26. November 1977 in Frankfurt am Main) war eine deutsche Mathematikerin. Sie war die erste promovierte deutsche Mathematikerin, die in der Industrie arbeitete und wurde nach dem Zweiten Weltkrieg die erste… …   Deutsch Wikipedia

  • Affine Translationsebene — Als affine Translationsebene oder kurz Translationsebene wird in der synthetischen Geometrie eine affine Ebene dann bezeichnet, wenn ihre Translationsgruppe scharf einfach transitiv auf ihr operiert und sie daher weitgehend durch diese Gruppe… …   Deutsch Wikipedia

  • Klassifikation projektiver Ebenen — Die übliche Klassifikation projektiver Ebenen erfolgt in der synthetischen Geometrie anhand der Operation der jeweiligen Gruppe ihrer Kollineationen. Die Lenz Barlotti Klassifikation klassifiziert die Ebenen durch Eigenschaften der Operation… …   Deutsch Wikipedia

  • Liste von Mathematikerinnen — Die Liste von Mathematikerinnen führt auch theoretische Informatikerinnen und theoretische Physikerinnen mit deutlich mathematischer Ausrichtung auf. Aufgenommen wurden unter anderem die Preisträgerinnen der Noether Lecture und des Ruth Lyttle… …   Deutsch Wikipedia

  • Seiteneinteilung — In der elementaren Geometrie der Zeichenebene zerlegt jede Gerade die Ebene in zwei (offene) Halbebenen, die Seiten der Gerade, diese Beobachtung ist zunächst der Anschauung entnommen. Diese Seiteneinteilung lässt sich mathematisch beschreiben… …   Deutsch Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.