Dreieck


Dreieck
Dreieck mit seinen Ecken, Seiten und Winkeln sowie Umkreis, Inkreis und Teil eines Ankreises
in der üblichen Form beschriftet

Ein Dreieck (veraltet auch Triangel[1], lateinisch: triangulum) ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten. In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks. Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist möglich.

In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke die wesentliche Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreiecksgeometrie.

Inhaltsverzeichnis

Einteilung

nach Seitenlängen:

nach Winkeln:

Das allgemeine (beliebige) Dreieck

Definition und Eigenschaften

allgemeines Dreieck
Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.

Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Das Dreieck unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere und das Innere des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet, üblicherweise so wie abgebildet, gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z. B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also die Punkte B und C. Häufig wird mit a, b und c auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite BC, CA oder AB bezeichnet. Die Winkel werden α, β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ liegt am Eckpunkt C

  • Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.
  • Die Summe der Außenwinkel beträgt entsprechend 360°. Dabei wird für jeden Eckpunkt nur ein Außenwinkel in die Summe aufgenommen. Da es sich bei den beiden Außenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt, sind diese immer gleich groß. Die Summe aller Außenwinkel beträgt demnach genau genommen 2 · 360° = 720°.
  • Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist immer größer als die Länge der dritten Seite. Diese Beziehungen lassen sich in der so genannten Dreiecksungleichung ausdrücken.

Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der euklidischen Geometrie.

Oft auftretende Dreiecksgrößen

sind außerdem:

Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete oder merkwürdige Punkte des Dreiecks bekannt sind.

Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Übersicht über die Rechenwege und zu benutzenden Werkzeuge bei der Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Ein Dreieck besitzt drei Seiten und drei Innenwinkel. Liegen drei voneinander unabhängige Angaben zur Größe dieser Seiten und/oder Winkel vor, kann man daraus die jeweils fehlenden übrigen Seiten und/oder Winkel berechnen.

Je nachdem, welche Kombination bekannter Seiten und/oder Winkel dabei im Einzelnen gegeben ist, ist das Ergebnis entweder ein- oder mehrdeutig (siehe nebenstehende Abb.).

So liefern die Kongruenzsätze zunächst einmal drei stets eindeutig lösbare Konstellationen, die man symbolisch mit SSS, SWS und WSW bezeichnet, wobei S für eine bekannte Seite und W für einen bekannten Winkel steht.

SSW- oder WSS-Fall

Der SSW- oder WSS-Fall ist nur dann eindeutig, wenn der bekannte Winkel der größeren der beiden gegebenen Seiten gegenüber liegt - liegt er der kleineren Seite gegenüber, gibt es zwei verschiedene Dreiecke, die die Ausgangsbedingungen erfüllen.

WWS- oder SWW-Fall

Der WWS- oder SWW-Fall kann (wie nebenstehender Abbildung zu entnehmen) auf zweierlei Weise gelöst werden: Entweder man berechnet mittels des Sinussatzes zunächst einmal eine der beiden noch fehlenden Seiten und rechnet dann weiter wie im SSW-Fall, oder aber man bestimmt, was wesentlich bequemer ist, mittels der Winkelsumme im Dreieck den noch fehlenden dritten Winkel und verfährt dann weiter wie im WSW-Fall.

WWW-Fall

Der WWW-Fall ist bei ebenen Dreiecken überhaupt nicht eindeutig lösbar, weil in diesem Fall in Wirklichkeit nur zwei voneinander unabhängige Angaben vorliegen, die Größe des dritten Winkels dagegen stets zwangsläufig aus der Größe der beiden anderen resultiert. Ohne eine gegebene Seite ist zwar die Form des gesuchten Dreiecks gegeben, seine Größe aber bleibt unbestimmt.

Sinussatz und Kosinussatz

Die wichtigsten Werkzeuge für die Berechnung eines beliebigen Dreiecks sind neben der Winkelsumme im Dreieck der Sinus- und der Kosinussatz, denen gegenüber die weiteren Dreieckssätze wie der Projektionssatz und Tangentensatz sowie die Halbwinkelsätze nur eine untergeordnete Rolle spielen.

Das rechenaufwendigste, aber auch leistungsfähigste der drei Werkzeuge ist dabei der Kosinussatz, da man mit ihm als einzigem für ein Dreieck ohne alle Winkelangaben einen ersten Winkel berechnen (und sich anschließend mit dem einfacheren Sinussatz sowie der Winkelsumme im Dreieck weiterhelfen) kann. Dementsprechend verwendet man den Kosinussatz im hier diskutierten Zusammenhang nur zu Beginn der Berechnung eines Dreiecks vom Typ SSS oder SWS, während alles übrige einfacher und schneller per Sinussatz und Winkelsumme erledigt wird.

Wie nachfolgend zu sehen, beginnt der Kosinussatz genauso wie der Satz des Pythagoras, und in der Tat kann man ihn als einen Sonderfall des Kosinussatzes auffassen:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos\alpha,
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos\beta,
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma.

Wird nämlich der von zwei gegebenen Seiten eines Dreiecks eingeschlossene Winkel ein rechter, wird damit sein Kosinus gleich Null, und was dann von dem betreffenden Kosinussatz übrigbleibt, ist nichts anderes als eine weitere Version des "Pythagoras".

Kennt man von einem Dreieck nur seine drei Seiten a, b und c, lassen sich seine Innenwinkel unter Zuhilfenahme der Arkuskosinusfunktion (arccos) wie folgt bestimmen:

\begin{align}
  \cos \alpha &= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\\
  \alpha      &= \arccos \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right),
\end{align}
\begin{align}
  \cos \beta &= \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\\
  \beta      &= \arccos \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right),
\end{align}
\begin{align}
  \cos \gamma &= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\\
  \gamma      &= \arccos \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right).
\end{align}

Den Sinussatz gibt es in drei Varianten, die sich wie folgt zusammenfassen lassen:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2r [= Umkreisdurchmesser]

Wie zu sehen, ist der Sinussatz rechnerisch wesentlich unkomplizierter: Kennt man einen der drei Brüche, kennt man damit automatisch auch alle übrigen. Dafür allerdings muss hier stets wenigstens einer der drei Innenwinkel schon bekannt sein, und, wenn nicht, zunächst einmal auf den Kosinussatz zurückgegriffen werden (s.o).

Umkreisradius: r= \frac{a}{2 \sin\alpha}= \frac{b}{2 \sin\beta}= \frac{c}{2 \sin\gamma}
Umfang (Dreieck): u = 8r\cdot \cos\frac{\alpha}{2}\cdot \cos\frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\gamma}{2} = a+b+c
Inkreisradius: \rho =4r\cdot \sin\frac{\alpha}{2}\cdot \sin\frac{\beta}{2} \cdot \sin\frac{\gamma}{2} = \frac{2A}{u}
Höhenformeln: h_a = c\cdot\sin\beta = b\cdot \sin\gamma
h_b = a\cdot \sin\gamma = c\cdot \sin\alpha
h_c = b\cdot \sin\alpha = a\cdot \sin\beta
Höhe aus Seitenlängen: h_a = \sqrt{2(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)} / (2 a)
h_b =  \sqrt{2(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)} / (2 b)
h_c =  \sqrt{2(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)} / (2 c)
Flächeninhalt:
(s. a. Dreiecksfläche)

A = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}b h_b = \frac{1}{2}c h_c

16A^2 = \left(a^2+b^2+c^2\right)^2 - 2\left(a^4+b^4+c^4\right)
16A^2 = 4 a^2 c^2 - \left(a^2+c^2-b^2\right)^2
Heronsche Flächenformel: A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} wobei s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{u}{2} ist
Flächenschwerpunkt:

x_s = \frac{1}{3} ( x_A + x_B + x_C )

y_s = \frac{1}{3} ( y_A + y_B + y_C )

Spezielle Dreiecke

Das gleichseitige Dreieck

Hauptartikel: Gleichseitiges Dreieck

Eigenschaften

Gleichseitiges Dreieck
  • Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Aus diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmäßigen Polygonen.
  • Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
  • Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
  • Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
  • Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
  • Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

Formeln

Gleichseitiges Dreieck mit Umkreis und Inkreis

Für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a gilt:

Fläche A = \frac{a^2}{4} \sqrt{3}\,
Höhe h = \frac{a}{2} \sqrt{3} = r_u+r_i
Umkreisradius r_u = \frac{a}{3} \sqrt{3}
Inkreisradius r_i = \frac{a}{6} \sqrt{3}
Umfang u = 3a \,

Beweis siehe Weblinks unten.

Das gleichschenklige Dreieck

Hauptartikel: Gleichschenkliges Dreieck
Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck
  • Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind mindestens zwei Seiten gleich lang und daher die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
  • Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
  • Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüber liegen, heißen Basiswinkel.
  • Der Winkel, der der Basis gegenüberliegt, heißt „Winkel an der Spitze“
  • Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
  • In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis, die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, die Seitenhalbierende der Basis und die Höhe zur Basis identisch.
  • Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.
  • Man kann die Höhe bestimmen, wenn man das Dreieck teilt und so den Satz des Pythagoras anwenden kann.

Das rechtwinklige Dreieck

Hauptartikel: Rechtwinkliges Dreieck
  • Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
  • Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
  • Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
Satz des Pythagoras c2 = a2 + b2 Right triangle abchpq.svg
Kathetensatz von Euklid a^2 = c \cdot p
b^2 = c \cdot q
c = p + q
Höhensatz von Euklid h^2 = p \cdot q

Bei Kenntnis zweier der sechs Angaben (a, b, c, p, q und h) lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den in der Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Die Längen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Längen der Katheten (a und b).

In Bezug auf einen der spitzen Winkel des Dreiecks bezeichnet man die dem Winkel anliegende Kathete als Ankathete und die dem Winkel gegenüberliegende Kathete als Gegenkathete. Durch das Verhältnis zwischen Katheten und Hypotenuse lassen sich auch die beiden spitzen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks eindeutig bestimmen.

Rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt C

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Die folgenden sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt.

Hauptartikel: Trigonometrische Funktion
Funktion Berechnung
Der Sinus des Winkels α ist dabei als das Verhältnis zwischen der Gegenkathete (hier: a) und der Hypotenuse (hier: c) definiert. \sin \alpha = \frac{GK}{HYP} = \frac{a}{c}
Der Kosinus des Winkels α ist das Verhältnis zwischen der Ankathete (hier: b) und der Hypotenuse (hier: c). \cos \alpha = \frac{AK}{HYP} = \frac{b}{c}
Der Tangens ist durch das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben. \tan \alpha = \frac{GK}{AK} = \frac{a}{b}

Aus den obigen können die folgenden durch Kehrwertbildung dargestellt werden.

Funktion Berechnung
Der Kotangens ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, also der Kehrwert des Tangens. \cot \alpha = \frac{AK}{GK} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan \alpha}
Der Sekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus. \sec \alpha = \frac{c}{b} = \frac{1}{\cos \alpha}
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete, also der Kehrwert des Sinus. \csc \alpha = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sin \alpha}

Die Umkehrfunktionen der genannten Winkelfunktionen werden Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens usw. genannt - ihre Hauptanwendung ist es dementsprechend, zu gegebenen Sinus-, Kosinus- oder Tangenswerten die dazugehörigen Winkel zu liefern.

Das unregelmäßige Dreieck

  • Alle drei Seiten sind unterschiedlich lang.
  • Alle drei Winkel sind unterschiedlich groß.

Dreiecke der nichteuklidischen Geometrie

Sphärische Dreiecke

Sphärisches Dreieck (Kugeldreieck)

Hauptartikel: Kugeldreieck

Dreiecke auf der Kugel nennt man sphärisch, wobei die drei Seiten Teile von Großkreisen sind. Ihre Seitenlänge wird nicht in der Dimension einer Länge angegeben (Meter, Zentimeter o. ä.), sondern als zugehöriger Winkel im Kugelmittelpunkt.

Ein sphärisches Dreieck hat eine Winkelsumme größer als 180°, wobei der „Überschuss“ sphärischer Exzess heißt und in Formeln meist als ε bezeichnet wird: \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ + \varepsilon.

Der Exzess hängt direkt mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zusammen (ε = F / R2, bzw. in Grad \varepsilon = 180^\circ F / R^2 \pi), worin R den Kugelradius und π die Kreiszahl 3,14159… bedeutet.
Der maximale Exzess von 360° tritt bei einem „Dreieck“ mit drei auf 180° gestreckten Winkeln auf. Dieses zum Großkreis entartete Dreieck hat die Winkelsumme 540° (drei mal 180°) und ε = 540° − 180° = 360°. Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es in der Geodäsie z. B. den sphärischen Sinussatz, den Cosinussatz, den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsätze gibt – siehe Sphärische Trigonometrie.

Hyperbolische Dreiecke

Sattelfläche und geodätisches Dreieck

Zur nichteuklidischen Geometrie – in der das Parallelenaxiom nicht gilt – zählen z. B. auch Dreiecke auf einer Sattelfläche. Während eine Kugel überall konvex gekrümmt ist, haben Sattel- und andere hyperbolische Flächen sowohl konvexe als auch konkave Krümmung (ihr Produkt, das Krümmungsmaß, ist negativ).

Entsprechend ist auch der Exzess negativ – d. h. die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Sattelfläche ist kleiner als 180°. Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.

Sätze rund um das Dreieck

Sonstiges

Dreieck als Symbol

Dreieck über dem Altar der Kirche in Ballum

Im Christentum ist das Dreieck das Symbol der Dreifaltigkeit, oft in Verbindung mit dem Auge der Vorsehung oder der Inschrift JHWH.

In Polen ist eine auf der Spitze stehende gleichseitige Dreiecksfläche das Symbol für die Herrentoilette (seit 1928), eine Kreisfläche für die Damentoilette.

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1. Autorenkollektiv: Meyers Konversationslexikon. 4 Auflage. Verlag des Bibliographischen Instituts, Leipzig und Wien 1885-1892.[1]

Weblinks

 Wikiquote: Dreieck – Zitate
 Commons: Triangles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary Wiktionary: Dreieck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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Synonyme:

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