Geneigte Ebene

Eine schiefe Ebene oder geneigte Ebene ist in der Mechanik eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale geneigt ist. Sie wird verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern. Der Arbeitsaufwand bleibt jedoch unverändert. Die schiefe Ebene gehört wie der Flaschenzug und die Schraube zu den einfachen Maschinen.

Bei einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel α von 45° (entsprechend einem Anstieg von 100 %) verlängert sich die Strecke zum Heben eines Gewichts von z. B. 10 Metern in der Senkrechten auf etwa 14,1 Meter entlang der schiefen Ebene, wodurch sich der Kraftaufwand (unter Vernachlässigung der Reibung) auf 71 % reduziert. Wird der Neigungswinkel auf 22,5° (gleich einer Steigung von 41,5 %) halbiert, verlängert sich die Strecke l auf rund 22 Meter, der Kraftaufwand verringert sich auf ca. 45 % im Vergleich zum direkten Heben.

Anwendungen dieses Prinzips finden sich z. B. bei Serpentinen im Gebirge, Rampen, die im Altertum zur Errichtung von Gebäuden benutzt wurden, Fahrrad- oder Rollstuhlrampen usw. Schrauben lassen sich auch als Zylinder mit einer aufgewickelten schiefen Ebene betrachten.

Das Werkzeug Keil nutzt die Prinzipien der schiefen Ebene.

Inhaltsverzeichnis

Physikalische Grundlagen

Im Folgenden wird die Situation einer ruhenden Masse im Gleichgewicht auf einer schiefen Ebene beschrieben.

Die Gewichtskraft FG einer Masse, die sich auf einer schiefen Ebene befindet, hat seinen Angriffspunkt im Schwerpunkt der Masse. Sie wird zur Beschreibung des Problems in zwei Komponenten zerlegt, die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FGH parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die Normalkomponente der Gewichtskraft FGN senkrecht zur Oberfläche. Es ist strikt zu unterscheiden zwischen den echt wirkenden Kräften und der Zerlegung der Gewichtskraft in zwei Komponenten – die Komponenten sind keine wirkenden Kräfte. Die Normalkraft FN, welche von unten auf die Masse wirkt, ist eine Kontaktkraft und steht senkrecht zur Ebene. Ihr Angriffspunkt ist nicht im Schwerpunkt der Kontaktfläche, da der Druck nicht konstant ist. Der Betrag der Normalkraft FN ist gleich dem Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft FGN. Eine weitere Kraft, die wirkt, ist die Haftreibungskraft FRH. Auch diese ist eine Kontaktkraft und greift im Schwerpunkt der Kontaktfläche an – ist jedoch parallel zur Ebene und entgegengesetzt der Richtung der Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FGH.

Damit der Körper in Ruhe bleibt, muss die Hangabtriebskraft FGH kleiner sein als die maximal mögliche Haftreibungskraft FRH,Max. Letztere ist durch den Haftreibungskoeffizient µH und dem Betrag der Normalkraft FN gegeben. Es gilt FRH ⇐ FRH,Max = µH * FN. Ist diese Bedingung nicht erfüllt (weil z. B. der Neigungswinkel der Ebene zu groß ist oder der Haftreibungskoeffizient µH zu klein), beginnt die Masse zu rutschen.

Hat die Masse eine Geschwindigkeit oder wirken noch weitere Kräfte, so müssen zusätzliche Überlegungen und Fallunterscheidungen gemacht werden, die hier noch nicht beschrieben sind. Die detaillierte mathematische Beschreibung der ruhenden Masse auf der schiefen Ebene ist im nächsten Abschnitt festgehalten.

Körper in Ruhe

Schiefe Ebenen mit einem Neigungswinkel α.
Rot ist die Gewichtskraft und ihre Zerlegung in die Komponenten, grün sind die Kontaktkräfte zwischen Körper und Unterlage

Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

FG  : Gewichtskraft der Masse
FGN  : Normalkomponente der Gewichtskraft FG
FN  : Normalkraft
FGH : Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft FG
FR : Haftreibungskraft
α  : Neigungswinkel der schiefen Ebene
μH  : Haftreibungs-Koeffizient
μ  : Gleitreibungskoeffizient – hier nicht verwendet
h  : Höhe der schiefen Ebene
b  : Basis der schiefen Ebene
l  : Länge der schiefen Ebene

Die Gewichtskraft FG kann aufgeteilt werden in eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkomponente FGN) und eine Komponente parallel zur schiefen Ebene (Hangabtriebskomponente FGH).

F_{GN} = F_G \cdot \cos(\alpha) = F_G \cdot \frac{b}{l}
F_{GH} = F_G \cdot \sin(\alpha) = F_G \cdot \frac{h}{l}

An der Kontaktfläche zwischen Körper und schiefer Ebene wirken eine Normalkraft FN und eine Haftreibungskraft FR.

Da der Körper in Ruhe ist, muss die Haftreibungskraft FR gerade gleich groß sein wie die Hangabtriebskomponente FGH der Gewichtskraft:

\ F_{R} = F_{GH}

Mit dem Haftreibungsgesetz

F_{R} \le \mu_H \cdot F_N

ergibt sich als notwendige Bedingung

\mu_H \ge \tan(\alpha)

Wenn der Neigungswinkel α zu groß oder der Reibungskoeffizient μH zu klein ist, so ist kein Gleichgewicht möglich – der Körper rutscht.

Der Haftreibungskoeffizient μH (manchmal als μ0 bezeichnet) ist in jedem Fall größer als der Gleitreibungskoeffizient μ .

Zu beachten ist, dass

  1. die Steigung als das Verhältnis \tan(\alpha) = \frac{h}{b} und
  2. der Anstieg als das Verhältnis \sin(\alpha) = \frac{h}{l}

bezeichnet wird.

Bewegung mit Luftwiderstand

Im folgenden soll die Luftwiderstandskraft F = k \cdot v^2 bei der Bewegung des Körpers an der schiefen Ebene berücksichtigt werden. Im Gegensatz zu obigem Abschnitt ist der Körper nicht mehr in Ruhe. Wirksam ist der Luftwiderstand sowie die Gleitreibung. Die Konstante k ist von der Form des Körpers und der Dichte des strömenden Mediums (z. B. Luft) abhängig. Es gilt: k = c_w  \cdot A \cdot \rho .

Hierbei ist cw der Widerstandsbeiwert, A die Körperquerschnittsfläche und ρ die Dichte des strömenden Mediums, μ ist der Gleitreibungs-Koeffizient.

Aus den Kraftansätzen entstehen recht komplexe Bewegungsgleichungen. Diese Differentialgleichungen sind aber lösbar.

Abwärtsbewegung

Aus dem Kraftansatz m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin (\alpha ) - \mu  \cdot m \cdot g \cdot \cos (\alpha ) - k \cdot v^2

folgt die Differentialgleichung m \dot  v  \,\, + k \cdot v^2  = c .

mit c = m \cdot g \cdot \sin (\alpha ) - \mu  \cdot m \cdot g \cdot \cos (\alpha )

Folgende Fälle sind zu unterscheiden:

a) c > 0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan (\alpha ) > \mu

Ansatz: v = a \cdot \tanh (b \cdot t) =>  \dot v   = \frac{{a \cdot b}}{{\cosh ^2 \left( {b \cdot t} \right)}} .

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von 
\cosh ^2 \left( {b \cdot t} \right) = 1 + \sinh ^2 \left( {b \cdot t} \right) und durch Koeffizientenvergleich erhält man:

a = \sqrt {\frac{c}{k}} \,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,b = \frac{{\sqrt {c \cdot k} }}{m}

Als Lösung ergibt sich:

v(t) = \sqrt {\frac{c} {k}}  \cdot \tanh \left( {\frac{{\sqrt {c \cdot k} }} {m}t + atnh\left( {v_0 \sqrt {\frac{k} {c}} } \right)} \right)

\sqrt {\frac{c}{k}} ist die Endgeschwindigkeit.

v_0< \sqrt {\frac{c}{k}} . tanh(x) ist der Tangens Hyperbolicus.

b) c < 0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan (\alpha ) < \mu

unter Berücksichtigung von i \cdot \tanh (ix) =  - \tan (x) erhält man:

 v(t) =  - \sqrt {\frac{{ - c}}{k}}  \cdot \tan \left( {\frac{{\sqrt { - c \cdot k} }}{m} \cdot \left( {t - t_0 } \right)} \right);t \in \left[ {0;t_0 } \right]

zum Zeitpunkt t_0  = \frac{m}{{\sqrt { - c \cdot k} }} \cdot atn\left( {v_0  \cdot \sqrt {\frac{k}{{ - c}}} } \right) kommt der Körper zur Ruhe. Für den Bremsweg s gilt:

s = \int\limits_0^{t_0 } {v(t)dt =  - \frac{m}{k}\ln \left( {\cos \left( {atn\left( {v_0  \cdot \sqrt {\frac{k}{{ - c}}} } \right)} \right)} \right)}

c)  c = 0\,\,\,bzw.\,\,\,\,\tan (\alpha ) = \mu

v(t) = \frac{m}{{k \cdot (t + \frac{m}{{k \cdot v_0 }})}}

Die Geschwindigkeit nähert sich zwar hyperbelförmig der Ruhe, der Bremsweg ist aber unendlich lang.

Aufwärtsbewegung

Aus dem Kraftansatz m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin (\alpha ) + \mu  \cdot m \cdot g \cdot \cos (\alpha ) + k \cdot v^2

folgt die Differentialgleichung m \dot  v  \,\, - k \cdot v^2  = c .

mit c = m \cdot g \cdot \sin (\alpha ) + \mu  \cdot m \cdot g \cdot \cos (\alpha )

Ansatz: v = a \cdot \tan (b \cdot t) => \dot v  = \frac{{a \cdot b}}{{\cos ^2 \left( {b \cdot t} \right)}}
.

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von 
\cos ^2 \left( {b \cdot t} \right) = 1 - \sin ^2 \left( {b \cdot t} \right)

und durch Koeffizientenvergleich erhält man

a = \sqrt {\frac{c}{k}} \,\,\,\,\,und\,\,\,\,\,\,b = \frac{{\sqrt {c \cdot k} }}{m}

Als Lösung ergibt sich:

v(t) = \sqrt {\frac{c}{k}}  \cdot \tan \left( {\frac{{\sqrt {c \cdot k} }}{m} \cdot \left( {t - t_0 } \right)} \right);t \in \left[ {0;t_0 } \right]

zum Zeitpunkt t_0  = \frac{m}{{\sqrt {c \cdot k} }} \cdot atn\left( { - v_0  \cdot \sqrt {\frac{k}{c}} } \right) kommt der Körper zur Ruhe, wobei v0 negativ ist.

Für den Bremsweg s gilt:

s = \int\limits_0^{t_0 } {v(t)dt =  - \frac{m}{k}\ln \left( {\cos \left( {atn\left( {\left| {v_0 } \right| \cdot \sqrt {\frac{k}{c}} } \right)} \right)} \right)}

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