GrĂ¶ĂŸenart

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GrĂ¶ĂŸenart
Messschieber zur Messung der LĂ€nge, Maßeinheit: Millimeter
Waage zur Messung der Gewichtskraft und damit, praktisch gesehen, der Masse, Maßeinheit: Kilogramm
Stoppuhr zur Messung der Zeit, Maßeinheit: Sekunde

Eine physikalische GrĂ¶ĂŸe ist eine quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines physikalischen Objektes. Sie ist entweder direkt messbar (MessgrĂ¶ĂŸe) oder kann aus anderen MessgrĂ¶ĂŸen berechnet werden (abgeleitete GrĂ¶ĂŸe). Den Zusammenhang zwischen physikalischen GrĂ¶ĂŸen vermitteln physikalische Gesetze. Die Objekte selbst – z. B. GegenstĂ€nde, VorgĂ€nge oder ZustĂ€nde – wie auch nicht quantifizierbare Merkmale – z. B. Aussehen oder Geschmack – sind keine physikalischen GrĂ¶ĂŸen.

Unterscheidungsmerkmal zwischen gleichartigen physikalischen GrĂ¶ĂŸen ist ihr GrĂ¶ĂŸenwert oder Messwert, der als Produkt aus Zahlenwert (auch Maßzahl genannt) und Maßeinheit angegeben wird. Die mathematische Darstellung der Naturgesetze geschieht in Form von GrĂ¶ĂŸengleichungen unabhĂ€ngig von Einheiten. UnabhĂ€ngige GrĂ¶ĂŸen bilden zusammen mit allen aus ihnen ableitbaren GrĂ¶ĂŸen ein GrĂ¶ĂŸensystem.


Inhaltsverzeichnis

Grundlagen

Ein Vergleich von zwei Dingen erfordert stets ein Kriterium, anhand dessen der Vergleich stattfindet (tertium comparationis). Dies muss ein Merkmal (oder Eigenschaft) sein, das beiden Dingen zu eigen ist. Als physikalische GrĂ¶ĂŸe bezeichnet man ein Merkmal dann, wenn dieses einen Wert besitzt, so dass das VerhĂ€ltnis zweier Merkmalswerte ein reeller Zahlenfaktor ist [1]. Ein Vergleich anhand einer GrĂ¶ĂŸe ist somit quantifizierbar. Den Vergleichsvorgang zur Bestimmung des Zahlenfaktors bezeichnet man als Messung. Die Messbarkeit eines Merkmals, d. h. die Angabe einer eindeutigen und reproduzierbaren Messvorschrift fĂŒr einen Vergleich, ist gleichwertig mit der Definition einer physikalischen GrĂ¶ĂŸe.

Alle Merkmale eines Objektes fallen in zwei Klassen, physikalische GrĂ¶ĂŸen und alle ĂŒbrigen. Wie es der Name vermuten lĂ€sst, beschĂ€ftigt sich die Physik ausschließlich mit der erstgenannten Klasse. Die Physik stellt allgemeine ZusammenhĂ€nge zwischen GrĂ¶ĂŸenwerten auf, also ZusammenhĂ€nge, die fĂŒr alle TrĂ€ger dieser GrĂ¶ĂŸe gelten. Als TrĂ€ger bezeichnet man hierbei alle Objekte, die die betrachtete GrĂ¶ĂŸe als Merkmal besitzen. Physikalische ZusammenhĂ€nge sind somit unabhĂ€ngig von der konkreten Beschaffenheit eines TrĂ€gers.

Die folgenden Abschnitte gehen auf einzelne Begriffe ein, die im Zusammenhang mit GrĂ¶ĂŸen verwendet werden.

GrĂ¶ĂŸenart

Strommesser zur Messung der StromstĂ€rke, Maßeinheit: Ampere
Thermometer zur Messung der Temperatur, Maßeinheit: Grad Celsius

Wenn das VerhĂ€ltnis von zwei GrĂ¶ĂŸenwerten verschiedener GrĂ¶ĂŸen eine reelle Zahl ist, so bezeichnet man diese GrĂ¶ĂŸen als gleichartig. Die GrĂ¶ĂŸenart ist der Oberbegriff fĂŒr alle GrĂ¶ĂŸen, fĂŒr die das möglich ist.

Die GrĂ¶ĂŸenart erweitert die Grenze der Vergleichbarkeit. An die Stelle der GrĂ¶ĂŸe als Vergleichskriterium tritt die GrĂ¶ĂŸenart. Zwei Objekte können also auch ĂŒber zwei verschiedene Merkmale miteinander verglichen werden, sofern diese gleichartig sind. Außerdem kann ein Objekt anhand zweier gleichartiger GrĂ¶ĂŸen mit sich selbst verglichen werden.

Beispielsweise sind Breite, Höhe und LĂ€nge eines Quaders, Durchmesser eines Rohrs, Spannweite eines Vogels, Niederschlagshöhe, WellenlĂ€nge usw. alles GrĂ¶ĂŸen der GrĂ¶ĂŸenart „LĂ€nge“. Sie können alle mit der LĂ€nge eines Zollstocks verglichen werden.

GrĂ¶ĂŸenwert

Jede physikalische GrĂ¶ĂŸe hat einen GrĂ¶ĂŸenwert. Das VerhĂ€ltnis von zwei GrĂ¶ĂŸenwerten gleichartiger GrĂ¶ĂŸen ist eine reelle Zahl. Dies ist seine definierende Eigenschaft. Man bezeichnet einen Unterschied um den Faktor 10 als eine GrĂ¶ĂŸenordnung – N GrĂ¶ĂŸenordnungen entsprechen einem Faktor von 10N. FĂŒr sich alleinstehend ist ein GrĂ¶ĂŸenwert nicht weiter definiert, insbesondere ist er keine Zahl. Auch das VerhĂ€ltnis von Werten nicht gleichartiger GrĂ¶ĂŸen ist keine reelle Zahl.

In der Natur existieren eine Reihe von GrĂ¶ĂŸen, deren GrĂ¶ĂŸenwert unverĂ€nderlich feststeht. Diese nennt man Natur-, Universal- oder einfach physikalische Konstanten (Beispiele: Vakuum-Lichtgeschwindigkeit, plancksches Wirkungsquantum).

Zahlenwert und Einheit

Es ist zweckmĂ€ĂŸig, das VerhĂ€ltnis eines GrĂ¶ĂŸenwerts zu dem Wert einer gleichartigen, feststehenden und wohldefinierten VergleichsgrĂ¶ĂŸe zu ermitteln. Den VergleichsgrĂ¶ĂŸenwert bezeichnet man als Maßeinheit oder kurz Einheit, das gemessene VerhĂ€ltnis als Maßzahl oder schlicht Zahlenwert. Der GrĂ¶ĂŸenwert kann dann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt werden (siehe auch Abschnitt Schreibweise).

Die Definition einer Einheit unterliegt der menschlichen WillkĂŒr. Eine Möglichkeit besteht in der Wahl eines bestimmten Objekts – eines so genannten Normals – als TrĂ€ger der GrĂ¶ĂŸe, dessen GrĂ¶ĂŸenwert als Einheit dient. Eine andere Möglichkeit ist einen berechneten GrĂ¶ĂŸenwert zu nehmen, wofĂŒr allerdings ein geeigneter physikalischer Zusammenhang zu anderen GrĂ¶ĂŸenwerten bekannt sein muss (siehe auch Abschnitt GrĂ¶ĂŸengleichungen). Eine dritte Möglichkeit ist den Wert einer physikalischen Konstanten als Einheit zu verwenden, sofern eine solche fĂŒr die gewĂŒnschte GrĂ¶ĂŸe existiert.

Theoretisch ist es ausreichend, eine einzige Einheit fĂŒr eine GrĂ¶ĂŸenart zu definieren. Historisch bedingt haben sich aber hĂ€ufig eine Vielzahl verschiedener Einheiten fĂŒr die gleiche GrĂ¶ĂŸenart gebildet. Diese unterscheiden sich wie alle gleichartigen GrĂ¶ĂŸenwerte lediglich um einen reinen Zahlenfaktor [2].

Skalare, Vektoren und höherstufige Tensoren

GrĂ¶ĂŸen verschiedener Stufen.
Skalar Masse, Temperatur
Pseudoskalar HelizitÀt
Vektor Kraft
Pseudovektor Drehmoment
Tensor 2-ter Stufe TrÀgheitstensor
Tensor 4-ter Stufe ElastizitÀtstensor

Bestimmte physikalischen GrĂ¶ĂŸen besitzen eine Orientierung im physikalischen Raum, so dass ihr gemessener GrĂ¶ĂŸenwert von der Messrichtung abhĂ€ngt. Beispielsweise ist die Geschwindigkeit eines Autos typischerweise entlang einer Straße gerichtet, die gemessene Geschwindigkeit senkrecht zu dieser ist Null. Allgemein lĂ€sst sich der Bezug jeder physikalischen GrĂ¶ĂŸen zum Raum als Tensor darstellen. Man unterscheidet dabei:

  • Tensoren 0-ter Stufe oder Skalare. Dies sind alle GrĂ¶ĂŸen, die keine RichtungsabhĂ€ngigkeit aufweisen, d. h. einzig durch ihren GrĂ¶ĂŸenwert bestimmt sind.
  • Tensoren 1-ter Stufe oder Vektoren. Dies sind alle GrĂ¶ĂŸen, die durch ihren GrĂ¶ĂŸenwert und eine Richtung vollstĂ€ndig bestimmt sind.
  • Tensoren 2-ter Stufe. Dies sind GrĂ¶ĂŸen, die durch ihren GrĂ¶ĂŸenwert und zwei Richtungen bestimmt sind. Man kann sich das anschaulich durch das Ursache-Vermittlung-Wirkung Prinzip vorstellen, etwa wenn eine Ursache in eine Richtung eine Wirkung in eine andere zeigt; die vermittelnde GrĂ¶ĂŸe ist dann ein Tensor 2-ter Stufe.
  • Tensoren n-ter Stufe. GrĂ¶ĂŸen, die durch ihren GrĂ¶ĂŸenwert und n Richtungen bestimmt sind.

Der Tensorcharakter einer GrĂ¶ĂŸe wird von ihrem GrĂ¶ĂŸenwert getrennt. Vektoren beispielsweise lassen sich mathematisch darstellen als Produkt aus GrĂ¶ĂŸenwert und Richtungsvektor mit Betrag eins. Eine physikalische GrĂ¶ĂŸe ist invariant unter Koordinatentransformationen. So wie ihr GrĂ¶ĂŸenwert unabhĂ€ngig von der Einheit ist, so ist ihre Richtung unabhĂ€ngig von der Wahl des Koordinationsystems.

Bei bestimmten GrĂ¶ĂŸen Ă€ndert sich unter Raumspiegelungen das Vorzeichen, derartige GrĂ¶ĂŸen bezeichnet man als Pseudotensoren: Bei Pseudoskalaren Ă€ndert der GrĂ¶ĂŸenwert sein Vorzeichen, bei Pseudovektoren dreht sich die Richtung um, usw.. Davon abgesehen verhalten sich Pseudotensoren und Tensoren identisch.

Schreibweise

Die folgenden ErlÀuterungen orientieren sich an den nationalen und internationalen Regelungen von Normungsorganisationen und Fachgesellschaften (z. B. DIN 1338, ISO 31/XI, Empfehlungen der International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP)).

Formel- und Einheitenzeichen

Einer physikalischen GrĂ¶ĂŸe wird in mathematischen Gleichungen ein Schriftzeichen zugeordnet, das man Formelzeichen nennt. Dieses ist grundsĂ€tzlich willkĂŒrlich, jedoch existieren eine Reihe von Konventionen (z. B. DIN 1304, ÖNORM A 6438, ÖNORM A 6401, etc.) zur Bezeichnung bestimmter GrĂ¶ĂŸen. HĂ€ufig wird als Formelzeichen der Anfangsbuchstabe des lateinischen Namens einer GrĂ¶ĂŸe genommen. Auch Buchstaben aus dem griechischen Alphabet werden oft verwendet. Üblicherweise besteht ein Formelzeichen nur aus einem einzigen Buchstaben, der zur weiteren Unterscheidung mit einem Index versehen werden kann (in selteneren FĂ€llen auch mit anderen Markierungen wie einer ĂŒber dem Symbol verlaufenden Tilde oder mit einem hochgestellten Symbol, wobei letztere Schreibweise wegen der Verwechslungsgefahr mit der Potenzierung der GrĂ¶ĂŸe vermieden werden sollte).

Auch fĂŒr Einheiten gibt es standardisierte Schriftzeichen, die Einheitenzeichen genannt werden. Sie bestehen meistens aus einem oder mehreren lateinischen Buchstaben oder seltener aus einem Sonderzeichen wie z. B. einem Gradzeichen. Bei Einheiten, die nach Personen benannt sind, wird der erste Buchstabe des Einheitenzeichens ĂŒblicherweise groß geschrieben.


  \begin{align}
            U          &= 20 \, \mathrm{V}\\
    \left\{ U \right\} &= 20              \\
    \left[  U \right]  &=       \mathrm{V}
  \end{align}
Angabe einer Spannung von 20 Volt: vollstÀndig; nur Zahlenwert; nur Einheit.

Die Angabe des GrĂ¶ĂŸenwerts erfolgt immer als Produkt aus Zahlenwert und Einheit. Will man nur den Zahlenwert angeben, so setzt man das Formelzeichen in geschweifte Klammern. Will man nur die Einheit angeben, so setzt man das Formelzeichen in eckige Klammern. Formal lĂ€sst sich ein GrĂ¶ĂŸenwert also wie folgt schreiben:


G=\left\{G\right\}\;\left[G\right]

Da der Zahlenwert von der gewĂ€hlten Maßeinheit abhĂ€ngt, ist die alleinige Darstellung des Formelzeichens in geschweiften Klammern nicht eindeutig. Deshalb ist fĂŒr die Beschriftung von Tabellen und Koordinatenachsen die Darstellung „G/[G]“ (z. B. „m/kg“) oder „G in [G]“ (z. B. „m in kg“) ĂŒblich. Die manchmal zu findende Darstellung von Einheiten in eckigen Klammern („G [[G]]“, z. B. „m [kg]“)) ist hingegen nicht korrekt. (Zur Kursiv- und Aufrechtschreibung s. nachfolgenden Teil. Zur Verwendung von Einheiten und Zahlenwerten s. auch den Abschnitt Zahlenwertgleichungen weiter unten.)

Formatierung

Die Formatierung ist durch DIN 1338 geregelt. Demnach wird das Formelzeichen kursiv geschrieben, wĂ€hrend das Einheitenzeichen mit aufrechter Schrift geschrieben wird, um es von Formelzeichen zu unterscheiden. Beispielsweise bezeichnet „m“ das Formelzeichen fĂŒr die GrĂ¶ĂŸe „Masse“ und „m“ das Einheitenzeichen fĂŒr die Maßeinheit „Meter“.

Zwischen der Maßzahl und dem Einheitenzeichen wird ein Leerzeichen geschrieben. Eine Ausnahme von dieser Regel stellen die Gradzeichen dar, die ohne Zwischenraum direkt hinter die Maßzahl geschrieben werden („ein Winkel von 180°“), sofern keine weiteren Einheitenzeichen folgen („die Außentemperatur betrĂ€gt 23 °C“). Im Schriftsatz empfiehlt sich hierfĂŒr ein schmales Leerzeichen, das zusĂ€tzlich vor einem Zeilenumbruch geschĂŒtzt werden sollte, damit Zahlenwert und Einheit nicht getrennt werden.

Formelzeichen fĂŒr Vektoren werden meistens durch Fettdruck gekennzeichnet: \boldsymbol{a}; ĂŒblich ist auch die Verwendung von Vektorpfeilen ĂŒber oder seltener Strichen unter dem Formelzeichen: \vec{a}, \underline{a}. FĂŒr Tensoren höherer Stufen werden Großbuchstaben in serifenloser Schrift, manchmal auch Frakturbuchstaben oder eine doppelte Unterstreichung verwendet: \mathsf{A}, \mathfrak{A}, \underline{\underline{A}}. Welche Schreibweise verwendet wird, hĂ€ngt hĂ€ufig auch davon ab, ob von Hand oder maschinell geschrieben wird, da sich Merkmale wie Fettdruck oder Serifen mit einer Handschrift in der Regel nicht zuverlĂ€ssig wiedergeben lassen.

Es gibt wegen unterschiedlicher lĂ€nder- und fachspezifischer Traditionen zum Formelsatz zahlreiche Besonderheiten zur Aufrecht- und Kursivschreibung, z. B. bei großen und kleinen griechischen Buchstaben als Formelzeichen, Naturkonstanten wie der Lichtgeschwindigkeit, mathematischen Konstanten wie der eulerschen Zahl oder der imaginĂ€ren Einheit, aber auch dem (totalen) Differentialoperator. Diese werden im Artikel Formelsatz nĂ€her erlĂ€utert. Eine gute Grundmerkregel ist: „Alles was variabel, verĂ€nderlich ist, wird kursiv gesetzt; UnverĂ€nderliches, Konstantes oder ErlĂ€uterndes hingegen aufrecht.“ Formelzeichen sowie verĂ€nderliche Indizes erscheinen also kursiv, wĂ€hrend Einheitenzeichen und erlĂ€uternde Angaben im Index aufrecht gedruckt werden:

„Die Gesamtmasse des Autos von 1000 kg setzt sich aus der Masse des Fahrgestells und der Summe von n weiteren GegenstĂ€nden zusammen“: m_\text{ges} = 1000 \, \mathrm{kg} = m_\text{Fahrgestell} + \sum_{i=1}^{n} m_i

Fehlerbehaftete GrĂ¶ĂŸen

l = (10{,}0072 \pm 0,0023) \, \mathrm{m}
l =  10{,}0072(23)         \, \mathrm{m}

l = {10{,}00\mathbf{7}}    \, \mathrm{m}
Angabe einer fehlerbehafteten MessgrĂ¶ĂŸe

Bei fehlerbehafteten GrĂ¶ĂŸenwerten wird der Zahlenwert mit seiner Messunsicherheit angegeben, meistens in Form des mittleren Fehlers oder manchmal – falls bekannt – des Maximalfehlers. Das Kenntlichmachen geschieht meistens durch ein „±“ nach dem fehlerbehafteten Zahlenwert, gefolgt von dem Fehlerwert (wobei Klammern erforderlich sind, sofern eine Einheit folgt, damit diese sich auf beide Werte bezieht). Aber auch Kurzformen wie eine geklammerte Fehlerangabe oder Fettdruck der unsicheren Ziffer des Zahlenwerts sind ĂŒblich.

Die Anzahl der anzugebenden unsicheren Dezimalstellen des Zahlenwerts richtet sich nach dem Fehlerwert. Beginnt dieser mit einer 1 oder 2, so werden zwei Stellen notiert, ansonsten nur eine. Gegebenenfalls ist der Zahlenwert wie ĂŒblich zu runden; der Fehler wird hingegen immer aufgerundet.

Beispiele zur Kennzeichnung von Zusatzinformationen

ZusĂ€tzliche Bezeichnungen oder Informationen dĂŒrfen grundsĂ€tzlich nicht im GrĂ¶ĂŸenwert einer physikalischer GrĂ¶ĂŸe (also weder in der Einheit noch beim Zahlenwert) auftauchen bzw. diesem hinzugefĂŒgt werden, da dies unsinnig wĂ€re; sie dĂŒrfen nur in der Benennung oder Bezeichnung der physikalischen GrĂ¶ĂŸe, also im Formelzeichen, zum Ausdruck gebracht werden.

Z. B. kann man das allgemein verwendete Formelzeichen f fĂŒr die Frequenz in korrekter Notation mit einem U als Subskript ergĂ€nzen, um darauf hinzuweisen, dass eine Umdrehungsfrequenz (Drehzahl) gemeint ist:

\left[ f_\text{U} \right] = \mathrm{s}^{-1} (gesprochen „Die Einheit der (Umdrehungs-)Frequenz ist 1 pro Sekunde.“)
f_\text{U, Motor} = 2000 \, \mathrm{min}^{-1} („Die Drehzahl des Motors betrĂ€gt 2000 pro Minute.“)

Es kann auch ein eigenes, klar definiertes Formelzeichen eingesetzt werden. Um z. B. auf den doppelten Index im obigen Beispiel zugunsten einer leichteren Lesart zu verzichten, könnte man das ggf. einprĂ€gsamere Symbol U fĂŒr „die Drehfrequenz, die Umdrehungszahl“ einfĂŒhren und schreiben:

U_\text{Motor} = 2000 \, \mathrm{min}^{-1} („Die Drehzahl des Motors betrĂ€gt 2000 pro Minute.“)

(Ohne weitere ErlÀuterung könnte man in Regel z. B. auch

h_\text{Auto} = 1{,}5 \, \mathrm{m}, \ b_\text{Auto} = 2{,}2 \, \mathrm{m} („Die Höhe des Autos betrĂ€gt 1,5 Meter, die Breite des Autos betrĂ€gt 2,2 Meter.“)

verwenden, da die Symbole fĂŒr die zwei SpezialfĂ€lle Höhe und Breite eines LĂ€ngenmaßes gemeinhin ĂŒblich sind.)

In der Praxis findet nicht immer eine saubere Unterscheidung zwischen GrĂ¶ĂŸenwert bzw. Einheit einer physikalischen GrĂ¶ĂŸe einerseits und bloßen Zusatzangaben andererseits statt, so dass es zu Vermischungen kommt. Die aufgefĂŒhrte Umdrehungszahl ist ein hĂ€ufiges Beispiel dafĂŒr. „Umdrehung“ ist dort keine Einheit, sondern beschreibt lediglich den die Frequenz hervorrufenden Prozess nĂ€her. Nicht zulĂ€ssig, jedoch hĂ€ufig vorkommend, ist deshalb etwa

f_\text{Motor}= 2000 \, \mathrm{U}/\mathrm{min} („Die Drehzahl des Motors betrĂ€gt 2000 Umdrehungen pro Minute“).

Weitere Beispiele fĂŒr hĂ€ufig vorkommende falsche Schreib- bzw. Sprechweisen sind:[3]

Falsch: j = 1000 \, n \, \mathrm{cm}^{-2} \mathrm{s}^{-1} bzw. „Die Flussdichte ist 1000 Neutronen pro Quadratzentimeter und Sekunde.“[4]
Korrekt: j_\mathrm{n} = 1000 \, \mathrm{cm}^{-2} \mathrm{s}^{-1} bzw. „Die Neutronen-Flussdichte betrĂ€gt 1000 pro Quadratzentimeter und Sekunde.“
Falsch: n = 20 \, \mathrm{ng} \text{ Blei} / \mathrm{m}^3 bzw. „
 eine Konzentration von 20 Nanogramm Blei pro Kubikmeter“[4]
Korrekt: n_\text{Pb} = 20 \, \mathrm{ng} / \mathrm{m}^3 bzw. „Die Blei-Massekonzentration betrĂ€gt 20 Nanogramm pro Kubikmeter.“
Falsch: \left[ H \right] = \mathrm{Aw} / \mathrm{m} bzw. „Die Einheit der magnetischen FeldstĂ€rke ist Ampere-Windungen pro Meter.“[4]
Korrekt: \left[ H \right] = \mathrm{A} / \mathrm{m} bzw. „Die Einheit der magnetischen FeldstĂ€rke ist Ampere pro Meter.“

VerknĂŒpfung zwischen physikalischen GrĂ¶ĂŸen

GrĂ¶ĂŸengleichungen

\mathbf{F} = m\mathbf{a}
GrĂ¶ĂŸengleichung, die die GesetzmĂ€ĂŸigkeit zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung darstellt.

Die Darstellung von Naturgesetzen und technischen ZusammenhĂ€ngen in mathematischen Gleichungen nennt man GrĂ¶ĂŸengleichungen. Die Formelzeichen einer GrĂ¶ĂŸengleichung haben die Bedeutung physikalischer GrĂ¶ĂŸen, sofern sie nicht als Symbole fĂŒr mathematische Funktionen oder Operatoren gemeint sind. GrĂ¶ĂŸengleichungen gelten unabhĂ€ngig von der Wahl der Einheiten.

GrĂ¶ĂŸengleichungen verknĂŒpfen verschiedene physikalische GrĂ¶ĂŸen und deren GrĂ¶ĂŸenwerte miteinander. Zur Auswertung muss man die Formelzeichen durch das Produkt aus Zahlenwert und Einheit ersetzen. Die verwendeten Einheiten sind dabei unerheblich. Die GrĂ¶ĂŸenart muss auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens jedoch ĂŒbereinstimmen, damit die Gleichung physikalisch sinnvoll ist.

Zahlenwertgleichungen

\begin{array}{rl}\mathrm{WCT}&=13{,}12+0{,}6215\,T\\
&=-11{,}37\,v^{0,16}+0,3965\,T\,v^{0{,}16}\end{array}
Zahlenwertgleichung zur Berechnung des Windchill-Effektes.

In Zahlenwertgleichungen haben die Formelzeichen ausschließlich die Bedeutung von Zahlenwerten. Sie sind daher abhĂ€ngig von der Wahl der Einheiten und nur brauchbar, wenn diese auch bekannt sind. Das Benutzen von GrĂ¶ĂŸenwerten in anderen Einheiten fĂŒhrt meistens zwangslĂ€ufig zu Fehlern. Es empfiehlt sich daher, Berechnung grundsĂ€tzlich mit GrĂ¶ĂŸengleichungen durchzufĂŒhren und diese erst im letzten Schritt auszuwerten.

Formeln in historischen Texten, „Faustformeln“ und empirische Formeln sind meistens in der Form von Zahlenwertgleichungen angegeben. In einigen FĂ€llen stehen die zu benutzenden Einheiten mit in der Gleichung. Die dabei manchmal anzutreffende Verwendung von eckigen Klammern um die Einheitenzeichen, wie etwa [V] anstatt V, ist sinnlos und nach DIN 1338 nicht korrekt. Korrekt hingegen ist das Setzen der Formelzeichen in geschweifte Klammern oder die Division der GrĂ¶ĂŸen durch die jeweils gewĂŒnschte Maßeinheit; man erhĂ€lt dann eine sogenannte zugeschnittene GrĂ¶ĂŸengleichung.

Rechenregeln

15\;\mathrm{s}-3\;\mathrm{m}

5\;\mathrm{m}+10\;\mathrm{kg}
\log\left({299\,792\,458\,\frac{\rm m}{\rm s}}\right)

\sin(5\;\mathrm{A})
Unsinnige Rechenoperationen.

FĂŒr physikalische GrĂ¶ĂŸen sind nicht alle Rechenoperationen, die mit reinen Zahlen möglich wĂ€ren, sinnvoll. Es hat sich erwiesen, dass eine geringe Anzahl Rechenregeln ausreicht, um alle bekannten Naturgeschehen zu beschreiben.

  • Addition und Subtraktion ist nur zwischen GrĂ¶ĂŸen der gleichen GrĂ¶ĂŸenart möglich.
  • Multiplikation und Division sowohl von verschiedenen GrĂ¶ĂŸen als auch mit reinen Zahlen sind uneingeschrĂ€nkt möglich. HĂ€ufig ist das Produkt bzw. der Quotient eine neue physikalische GrĂ¶ĂŸe. Damit sind auch Potenzen mit ganzzahligen Exponenten erlaubt.
  • Transzendente Funktionen wie \exp,\,\log,\,\sin,\,\cos,\,\tanh, usw. sind nur fĂŒr reine Zahlen definiert und damit nur bei dimensionslosen GrĂ¶ĂŸen möglich.
  • Das Differential einer GrĂ¶ĂŸe ist von der gleichen GrĂ¶ĂŸenart wie die GrĂ¶ĂŸe selbst. Differential- und Integralrechnung ist uneingeschrĂ€nkt möglich.

Anhand dieser Regeln lĂ€sst sich die GĂŒltigkeit einer GrĂ¶ĂŸengleichung ĂŒberprĂŒfen. Treten unmögliche Rechenoperationen auf, so ist dieses ein sicheres Zeichen fĂŒr die physikalisch falsche Darstellung eines Sachverhaltes. Dieses Mittel wird in der Dimensionsanalyse oder der Dimensionsbetrachtung angewandt, um die mögliche Existenz einer noch unbekannten GesetzmĂ€ĂŸigkeit zu ĂŒberprĂŒfen.

GrĂ¶ĂŸen- und Einheitensysteme

GrĂ¶ĂŸensysteme

Jedes Wissensgebiet der Technik und Naturwissenschaften verwendet einen beschrĂ€nkten Satz an physikalischen GrĂ¶ĂŸen, die ĂŒber Naturgesetze miteinander verknĂŒpft sind. WĂ€hlt man aus diesen GrĂ¶ĂŸen wenige BasisgrĂ¶ĂŸen aus, so dass sich alle anderen des betrachteten Gebietes als Potenzprodukte der BasisgrĂ¶ĂŸen darstellen lassen, dann bilden alle GrĂ¶ĂŸen zusammen ein GrĂ¶ĂŸensystem, sofern außerdem keine BasisgrĂ¶ĂŸe aus den anderen BasisgrĂ¶ĂŸen dargestellt werden kann. Die aus den BasisgrĂ¶ĂŸen darstellbaren GrĂ¶ĂŸen heißen abgeleitete GrĂ¶ĂŸen, das Potenzprodukt bezeichnet man als Dimensionsprodukt. Welche GrĂ¶ĂŸen man fĂŒr die Basis wĂ€hlt, ist grundsĂ€tzlich willkĂŒrlich und geschieht meistens aus praktischen GrĂŒnden. Die Anzahl der BasisgrĂ¶ĂŸen bestimmt den Grad des GrĂ¶ĂŸensystems. Beispielsweise ist das internationale GrĂ¶ĂŸensystem mit seinen sieben BasisgrĂ¶ĂŸen ein GrĂ¶ĂŸensystem siebten Grades.

Einheitensysteme

Man benötigt fĂŒr jede GrĂ¶ĂŸe eine Einheit, um GrĂ¶ĂŸenwerte angeben zu können. Daher entspricht jedem GrĂ¶ĂŸensystem ein Einheitensystem gleichen Grades, das sich analog aus voneinander unabhĂ€ngigen Basiseinheiten und den aus diesen darstellbaren abgeleiteten Einheiten zusammensetzt. Die abgeleiteten Einheiten werden aus den Basiseinheiten durch Produkte von Potenzen dargestellt – im Unterschied zu GrĂ¶ĂŸensystemen eventuell ergĂ€nzt durch einen Zahlenfaktor. Man bezeichnet das Einheitensystem als kohĂ€rent (zusammenhĂ€ngend), wenn alle Einheiten ohne diesen zusĂ€tzlichen Faktor gebildet werden können. In derartigen Systemen können alle GrĂ¶ĂŸengleichungen als Zahlenwertgleichungen aufgefasst und dementsprechend schnell ausgewertet werden.

Das in fast allen LĂ€ndern der Welt benutzte internationale Einheitensystem (SI) ist ein kohĂ€rentes Einheitensystem siebten Grades, das auf dem internationalen GrĂ¶ĂŸensystem fußt. Das SI definiert zudem standardisierte VorsĂ€tze fĂŒr Maßeinheiten, allerdings sind die so gebildeten Vielfachen oder Teile einer SI-Einheit selbst nicht Teil des eigentlichen Einheitensystems, da dies der KohĂ€renz widersprĂ€che. Beispielsweise ist ein fiktives Einheitensystem, das die Basiseinheiten Zentimeter (cm) und Sekunde (s) sowie die abgeleitete Einheit Meter pro Sekunde (m / s) umfasst, nicht kohĂ€rent: Wegen 1\,\mathrm{\frac{m}{s}} = 100\,\mathrm{cm\cdot s^{-1}} benötigt man einen Zahlenfaktor (100) bei der Bildung dieses Systems.

Besondere GrĂ¶ĂŸen

Quotienten- und VerhĂ€ltnisgrĂ¶ĂŸen

Der Quotient zweier GrĂ¶ĂŸen ist eine neue GrĂ¶ĂŸe. Eine solche GrĂ¶ĂŸe bezeichnet man als VerhĂ€ltnisgrĂ¶ĂŸe, wenn die AusgangsgrĂ¶ĂŸen von der gleichen GrĂ¶ĂŸenart sind, ansonsten als QuotientengrĂ¶ĂŸe.

HĂ€ufig werden QuotientengrĂ¶ĂŸen umgangssprachlich falsch umschrieben. Beispielsweise ist eine Bezeichnung der Fahrtgeschwindigkeit als „zurĂŒckgelegter Weg je Zeiteinheit“ sachlich nicht korrekt, da die Definition einer GrĂ¶ĂŸe von möglichen Einheiten unabhĂ€ngig ist. NĂ€hme man solche Bezeichnungen wörtlich, fĂŒhrte dieses unweigerlich zu verschiedenen GrĂ¶ĂŸenwerten je nach benutzter Einheit. Korrekt mĂŒsste man daher „zurĂŒckgelegter Weg je vergangener Zeit“ oder einfach „Weg je Zeit“ sagen.

v = \frac{V}{m} „spezifisches Volumen“
\rho = \frac{m}{V} „Massedichte“
Benennung von bezogenen GrĂ¶ĂŸen.

Falls zwei GrĂ¶ĂŸen sich auf eine Eigenschaft des gleichen Objektes beziehen, nennt man die QuotientengrĂ¶ĂŸe auch bezogene GrĂ¶ĂŸe. Hierbei ist die NennergrĂ¶ĂŸe die BezugsgrĂ¶ĂŸe, wĂ€hrend die ZĂ€hlergrĂ¶ĂŸe den Schwerpunkt in der Namensgebung setzt. Insbesondere bezeichnet man eine bezogene GrĂ¶ĂŸe als 


  • 
 spezifisch, wenn sie sich auf die Masse bezieht.
  • 
 molar, wenn sie sich auf die Stoffmenge bezieht.
  • 
 -dichte, wenn sie sich auf das Volumen bezieht.

VerhĂ€ltnisgrĂ¶ĂŸen sind grundsĂ€tzlich dimensionslos. Sie können nach obigen Rechenregeln als Argumente von transzendenten Funktionen auftreten. Der Name einer VerhĂ€ltnisgrĂ¶ĂŸe beinhaltet meistens ein Adjektiv wie relativ oder normiert oder er endet auf -zahl oder -wert. Beispiele sind die Reynoldszahl und der CW-Wert.

\begin{array}{lll}
1\,{}^{0\!}\!/\!_{0}&=&0{,}01\\
1\,{}^{0\!}\!/\!_{00}&=&0{,}001\\
1\,\mathrm{ppm}&=&0{,}000\,001\end{array}
Spezielle VerhÀltniseinheiten.

Verschiedene VerhĂ€ltnisgrĂ¶ĂŸen gehören nur in seltenen FĂ€llen zur gleichen GrĂ¶ĂŸenart, manchmal werden daher zur besseren Trennung bei der Angabe ihres GrĂ¶ĂŸenwerts die Einheitenzeichen nicht gekĂŒrzt. HĂ€ufig werden VerhĂ€ltnisgrĂ¶ĂŸen in den Einheiten %, ‰ oder ppm angegeben. Eine besondere Stellung haben VerhĂ€ltniseinheiten, wenn sie das VerhĂ€ltnis gleicher Einheiten sind. Diese sind immer 1 und damit idempotent, d. h., sie können beliebig oft mit sich selbst multipliziert werden, ohne ihren Wert zu Ă€ndern. Einige idempotente VerhĂ€ltniseinheiten tragen besondere Namen, wie beispielsweise die Winkeleinheit Radiant (rad). In kohĂ€renten Einheitensystemen sind die VerhĂ€ltniseinheiten immer 1, also idempotent.

Idempotente VerhÀltniseinheiten sind deshalb interessant, weil man hier die Zahlenwerte einfach multiplizieren kann. Sagt man beispielsweise, dass 30 % der ErdoberflÀche LandflÀche sind und der Kontinent Asien 30 % der LandflÀche darstellt, kann man daraus nicht folgern, dass 900 % der ErdoberflÀche vom Kontinent Asien bedeckt sind, weil % nicht idempotent ist, also %2 nicht dasselbe wie % ist. Sagt man nun aber, dass ein Anteil von 0,3 der ErdoberflÀche LandflÀche ist und der Kontinent Asien einen Anteil von 0,3 der LandflÀche einnimmt, kann man folgern, dass 0,09 der ErdoberflÀche vom Kontinent Asien bedeckt sind, weil wir hier die Einheit 1 haben, die idempotent ist.

Feld- und EnergiegrĂ¶ĂŸen

\begin{align}
F^2\propto W &\Leftrightarrow \frac{F_1^2}{F_2^2}=\frac{W_1}{W_2}\\
\ln\!\left(\frac{F_1}{F_2}\right)\,\text{Np} &= \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{W_1}{W_2}\right)\,\text{Np}\\
20\lg\!\left(\frac{F_1}{F_2}\right)\,\text{dB} &= 10\lg\!\left(\frac{W_1}{W_2}\right)\,\text{dB}
\end{align}
Zusammenhang zwischen FeldgrĂ¶ĂŸen F und EnergiegrĂ¶ĂŸen W. Die zweite (dritte) Zeile zeigt die Definition der Hilfseinheit Neper (Dezibel).

FeldgrĂ¶ĂŸen dienen der Beschreibung von physikalischen Feldern. Das Quadrat einer FeldgrĂ¶ĂŸe ist in linearen Systemen proportional zu dessen energetischem Zustand, der ĂŒber eine EnergiegrĂ¶ĂŸe erfasst wird. Ohne die genaue GesetzmĂ€ĂŸigkeit kennen zu mĂŒssen, folgt daraus unmittelbar, dass das VerhĂ€ltnis zweier EnergiegrĂ¶ĂŸen gleich dem quadratischen VerhĂ€ltnis der zugehörigen FeldgrĂ¶ĂŸen ist. Dabei ist unerheblich ob die EnergiegrĂ¶ĂŸen zu GrĂ¶ĂŸen der GrĂ¶ĂŸenart Energie oder bezogenen GrĂ¶ĂŸen, wie Leistung (Energie pro Zeit) und IntensitĂ€t (Energie pro Zeit und FlĂ€che), gehören. EnergiegrĂ¶ĂŸen werden deshalb auch als LeistungsgrĂ¶ĂŸen bezeichnet.

In vielen technischen Bereichen sind die logarithmierten VerhĂ€ltnisse von besonderem Interesse. Derartige GrĂ¶ĂŸen werden als Pegel oder Maß bezeichnet. Wird bei der Bildung der natĂŒrliche Logarithmus verwendet, so kennzeichnet man dieses durch die Hilfseinheit Neper (Np), ist es der dekadische Logarithmus, so nutzt man die Hilfseinheit Bel (B) bzw. hĂ€ufiger ihr Zehntel, das Dezibel (dB).

Zustands- und ProzessgrĂ¶ĂŸen

Vor allem in der Thermodynamik wird zwischen ZustandsgrĂ¶ĂŸen und ProzessgrĂ¶ĂŸen unterschieden.

ZustandsgrĂ¶ĂŸen sind dabei physikalische GrĂ¶ĂŸen, die eine Eigenschaft eines Systemzustands reprĂ€sentieren. Man unterscheidet weiterhin zwischen extensiven und intensiven GrĂ¶ĂŸen. Extensive GrĂ¶ĂŸen wie Masse und Stoffmenge verdoppeln ihren GrĂ¶ĂŸenwert bei Systemverdopplung, intensive GrĂ¶ĂŸen wie Temperatur und Druck bleiben dabei konstant. Ebenfalls gebrĂ€uchlich ist die Unterscheidung zwischen stoffeigenen und systemeigenen ZustandsgrĂ¶ĂŸen.

ProzessgrĂ¶ĂŸen hingegen beschreiben einen Vorgang, nĂ€mlich den Übergang zwischen SystemzustĂ€nden. Zu ihnen gehören insbesondere die GrĂ¶ĂŸen „Arbeit“ (W) und „WĂ€rme“ (Q). Um ihren Charakter als reine VorgangsgrĂ¶ĂŸen zum Ausdruck zu bringen, werden sie vielerorts ausschließlich als Differentiale angegeben, wobei ihnen hĂ€ufig kein d, sondern ein ÎŽ oder đ vorangestellt wird.

Siehe auch

Normen

  • DIN 1313 GrĂ¶ĂŸen
  • ISO 31 GrĂ¶ĂŸen und Einheiten
  • ISO 1000 SI-Einheiten
  • ISO 80000 Quantities and Units (ab 2008)

Einzelnachweise

  1. ↑ DIN 1313
  2. ↑ Eine Ausnahme sind die gebrĂ€uchlichen Einheiten fĂŒr Temperatur, die sich zusĂ€tzlich um einen konstanten Term unterscheiden. Der Grund liegt in der abweichenden Definition vom Nullpunkt.
  3. ↑ UnglĂŒcklicherweise lĂ€sst auch das deutsche und internationale Normenwerk gelegentlich Vermischungen zu, insbesondere bei Hilfsmaßeinheiten, z. B. „dB (C)“; hierbei ist das „C“ ein Hinweis auf das Messverfahren, nach dem das Pegelmaß ermittelt wird, das mit Hilfe der Hilfsmaßeinheit Dezibel angegeben wird.
  4. ↑ a b c Die ErgĂ€nzungen fĂŒr Neutronen, Blei und Windungen sind hier in den inkorrekten Formeln willkĂŒrlich teils kursiv, teils nicht kursiv gedruckt, da eine richtige Schreibweise ohnehin nicht möglich ist und beide Möglichkeiten vorkommen. Die entsprechenden korrekten Notationen hingegen befolgen auch die im Abschnitt Schreibweise erwĂ€hnten Regeln zur Kursivschreibung.

Literatur

  • Hans Dieter Baehr: Physikalische GrĂ¶ĂŸen und ihre Einheiten – Eine EinfĂŒhrung fĂŒr Studenten, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Band 19 der Reihe StudienbĂŒcher Naturwissenschaft und Technik, Bertelsmann UniversitĂ€tsverlag, DĂŒsseldorf 1974. ISBN 3-571-19233-8
  • Hans Rupp: Physikalische GrĂ¶ĂŸen, Formeln, Gesetze und Definitionen. 2. Auflage, Oldenbourg Schulbuchverlag, Juni 1995. ISBN 3-486-87093-9
  • Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8

Weblinks


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