Huygenssches Prinzip


Huygenssches Prinzip

Huygens-Prinzip in der Physik

Das huygenssche Prinzip (nach Christiaan Huygens), auch huygens-fresnelsches Prinzip genannt, besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Welle, der so genannten Elementarwelle, betrachtet werden kann. Die neue Lage der Wellenfront ergibt sich durch Überlagerung (Superposition) sämtlicher Elementarwellen. In drei Dimensionen sind Elementarwellen halbkugelförmig, in zwei Dimensionen oder 2D-Darstellung halbkreisförmig. Die Halbkugelform ist wichtig, damit es keine rückwärts laufende Welle ergibt, welche mit der ursprünglichen Welle zur Entstehung einer stehenden Welle führen würde.

Brechung einer ebenen Wellenfront nach dem huygensschen Prinzip

Die sich weiter ausbreitende Wellenfront ergibt sich als die äußere Einhüllende der Elementarwellen, da sich die Elementarwellen im selben Medium und mit gleicher Geschwindigkeit ausbreiten wie die ursprüngliche Welle. Bei unterschiedlichen Medien ändert sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit und damit auch die Ausbreitungsrichtung der Welle, was sich als Brechung bemerkbar macht. Am Rand eines Hindernisses (z. B. Spalt) führt das huygenssche Prinzip zur Beugung.

Huygens konnte mit seiner Theorie die Beugung und Brechung von Licht erklären, was allerdings auch mit der Korpuskeltheorie von Newton möglich war. Erst als die Lichtgeschwindigkeiten in zwei unterschiedlichen Medien bestimmt werden konnten, konnte entschieden werden, welche der beiden Theorien zutreffend ist. Als Ausbreitungsmedium der Lichtwellen postulierte Huygens den Äther. Dieser wird seit der allgemeinen Akzeptanz der 1905 publizierten speziellen Relativitätstheorie Albert Einsteins und der Quantenmechanik nicht mehr als physikalisches Konzept benötigt.

Eine auftreffende Wellenfront erzeugt kreisförmige Elementarwellen um den jeweiligen Auftreffpunkt, deren Radius sich proportional zur Zeit vergrößert. In den folgenden Bildern sieht man, wie die ersten Kreise angewachsen sind, während der aktuelle Auftreffpunkt nach rechts wandert. Die Tangente an die Kreise stellen eine neue Wellenfront dar, welche die reflektierende Ebene nach rechts oben verlässt. Die Winkel zwischen Wellenfront und Ebene sind gleich.

Huygens-Prinzip in der Mathematik

In der Mathematik findet das Huygens-Prinzip in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Anwendung. Es besagt, dass Wellengleichungen eine hintere Wellenfront in den Räumen \mathbb R^n für n \geq 3 besitzen. Man spricht von der Existenz einer hinteren Wellenfront, wenn man auf einem Intervall [a,b] die Ausgangsdaten stört und sich diese Störung nicht auf die Lösung der Wellengleichung für hinreichend großes t auswirkt.

Erklärung des Huygens-Prinzip an der einfachen Wellengleichung utt − Δu = 0

Als Anfangsdaten (für t = 0) gilt:

\begin{align}
u(x,0) &= \phi(x) \\
u_t(x,0) &= \psi(x)
\end{align}

mit t \in \mathbb R als Zeitvariable und x \in \mathbb R^n als Ortsvariable.


Der Fall n = 1

Nach der d'Alembertschen Lösungsformel gilt für u = u(x,t):


   u(x,t) = \tfrac 12 (\phi (x-t) + \phi (x+t)) + \tfrac12 \int_{x-t}^{x+t} \psi(s) \mathrm ds

Stören wir das Anfangsdatum φ im Intervall [a,b], dann erkennt man anhand der obigen Formel, dass für den Punkt x_0 \in [a,b] die Störung zum Zeitpunkt t = T > max(x0a,bx0) keinen Einfluss mehr hat, denn die Anfangsdaten ϕ(xT) und ϕ(x + T) wurden nicht gestört. → Für φ gilt das Huygens-Prinzip.

Sei \psi \neq 0 und man störe das Anfangsdatum ψ in [a,b]. Dann wird man feststellen, dass für jeden Zeitpunkt T die Störung noch Auswirkungen auf die Lösungen u(x,T) hat, denn man integriert über das "Störintervall":

 u(x,T) = \tfrac12 \int_{x-T}^{x+T} \psi(s) \mathrm ds = \tfrac12 \int_a^b \psi(s) \mathrm ds

Fazit: Im Eindimensionalen gilt das Huygens-Prinzip im allgemeinen nicht, sondern es gilt nur für das Anfangsdatum φ.


Der Fall n = 2
Veranschaulichung der Integration über das Störgebiet im R^2

Die allgemeine Lösungsformel für den zweidimensionalen Fall (nach der Abstiegsmethode) lautet:

\begin{align}
 u(x,t) &= u(x_1, x_2, t) \\
 &= \frac{1}{2\pi} \int_{B(x,t)} \frac{\psi(y)}{\sqrt { t^2 - |y-x|^2}} \mathrm dy \\
 &\quad+ \frac{1}{2\pi} \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \int_{B(x,t)} \frac{\phi(y)}{\sqrt{t^2 - |x-y|^2}} \mathrm dy \Bigr) 
\end{align}

B(x,t) bezeichnet die (ausgefüllte) Kreisscheibe mit Mittelpunkt x und Radius t.

Anhand dieser Formel sieht man sofort, dass das Huygens-Prinzip nicht gilt. Denn stört man die Anfangsdaten ϕ oder ψ in einem Rechteck R = [a,b]×[c,d] dann wirkt sich die Störung auch noch zu jeden Zeitpunkt t = T für alle Punkte x_0 \in R aus, denn die Kreisscheibe B(x,t) beinhaltet für diese Punkte x0 das Rechteck R. Also wird wieder über gestörten Daten integriert.


Der Fall n = 3
Veranschaulichung der Integration über die Kugeloberfläche, die das Störgebiet umschließt, im R^3

Nach der Kirchhoffschen Formel lautet die Lösung für die Wellengleichung:

\begin{align}
u(x,t) &= u(x_1,x_2,x_3,t) \\
 &= \frac{1}{4\pi t} \int_{S(x,t)} \psi(y) \mathrm d\sigma_t(y) \\
 &\quad+ \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \frac{1}{4 \pi t} \int_{S(x,t)} \phi(y) \mathrm d\sigma_t(y) \Bigr)
\end{align}

S(x,t) bezeichnet die Kugeloberfläche der Kugel mit Zentrum x und Radius t. dσt(y) bezeichnet das Oberflächenelement der Kugel.

Mithilfe dieser Formel erkennt man sofort, dass im 3-d Fall das Huygens-Prinzip gilt. Werden die Anfangsdaten ϕ oder ψ auf einem Quader Q = [a,b]×[c,d]×[e,f] gestört, dann wirkt sich diese Störung nicht auf die Lösung für die Punkte x0Q für große t>T aus. Man muss nur t so groß wählen, dass die Kugeloberfläche den Quader komplett umschließt und somit nicht mehr über die gestörten Daten Q integriert wird. Offensichtlich muss

T > \max\bigl( \max  (x^0_1 - a, b - x^0_1),\,\max  (x^0_2 - c, d - x^0_2),\,\max (x^0_3 - e, f - x^0_3) \bigr)

gelten.

Fazit: In unserem täglichen Lebensraum gilt das Huygens-Prinzip.

Weblinks

 Commons: huygenssches Prinzip – Album mit Bildern und/oder Videos und Audiodateien

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