Kettenbruch

In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form

a + \cfrac{b}{c+\cfrac{d}{e+\cfrac{f}{\ddots}}}.

Ein Kettenbruch ist also ein gemischter Bruch der Form a + \frac{b}{x}, bei dem der Nenner x wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt.

Jede reelle Zahl kann als ein Kettenbruch mit ganzen Zahlen a,b,c,d,e,… ausgedrückt werden. Kettenbrüche können daher als Zahlensystem bezeichnet werden, wie das Dezimalsystem. Sie dienen jedoch in erster Linie nicht zum Rechnen, sondern werden dazu verwendet, Approximationsaufgaben zu lösen: So liefern sie in der Zahlentheorie Näherungen für reelle Zahlen, indem diese durch einen Bruch aus ganzen Zahlen ausgedrückt werden (Beispiel: π ist näherungsweise gleich 22/7) und in der numerischen Mathematik approximiert man durch sie Funktionen, ähnlich, wie dies auch mittels Potenzreihen erreicht wird.

Von besonderer Bedeutung sind reguläre Kettenbrüche. Bei dieser Form haben alle Zähler (b, d, …) den Wert 1. Ein regulärer Kettenbruch ist also durch die Folge a,c,e,… bestimmt, und man schreibt ihn platzsparend als [a;c,e,…]. In dieser Notation hat die Kreiszahl π die reguläre Kettenbruchentwicklung π = [3;7,15,1,292,1,…].

Kettenbrüche spielen zudem eine große Rolle in der Zahlentheorie. So zeigte zum Beispiel Joseph Liouville 1844 mit ihrer Hilfe, dass transzendente Zahlen existieren. Außer in der Zahlentheorie kommen Kettenbrüche ebenso in der Kryptographie, algebraischen Geometrie, Topologie, Funktionentheorie und numerischen Mathematik zur Anwendung.[1]

Joseph-Louis Lagrange gilt zusammen mit Leonhard Euler als der Begründer der Kettenbruchtheorie.

Inhaltsverzeichnis

Geschichte

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Regulärer Kettenbruch[2]
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Lamberts Kettenbruch für 4/π
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Lamberts Kettenbruch für den Tangens[3]

Kettenbrüche werden seit dem 16. Jahrhundert dazu verwendet, „gute Näherungsbrüche“ für irrationale Zahlen zu finden. Das bekannteste Beispiel ist die Näherung 22/7 für π.

Rafael Bombelli verwendete Kettenbrüche bereits 1579, um damit Quadratwurzeln zu berechnen. Im Jahr 1613 veröffentlichte Pietro Cataldi ein Buch, in dem unter anderem auch Kettenbrüche auftauchen. 1636 finden sich Kettenbrüche im Buch „Deliciae Physic-Mathematicae“ von Daniel Schwenter und ab 1655 in mehreren Büchern von John Wallis. Aus dem Bedürfnis heraus, Brüche mit großen Nennern sowie natürliche Konstanten zu approximieren, beschäftigte sich zunächst Christiaan Huygens im 17. Jahrhundert mit Kettenbrüchen. Er berechnete damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens ermittelte für die Bewegung des Saturns das Verhältnis

\frac{77\,708\,431}{2\,640\,858}= 29{,}425448\dots.

Der Kettenbruch hierfür beginnt mit [29;2,2,1,5,1,4,…]. Approximiert man dieses Verhältnis mit dem Näherungsbruch, der entsteht, wenn man nur die ersten vier Einträge verwendet, dann beträgt der Fehler[4] nur 0,003122, da

29 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1}}} = \cfrac{206}{7} = 29{,}428571\ldots.

In Leonhard Eulers Korrespondenz[5] treten Kettenbrüche hingegen zuerst in einem ganz anderen Zusammenhang auf, nämlich in Verbindung mit der Riccatischen Differentialgleichung. Bald jedoch interessierte sich Euler für Kettenbrüche um ihrer selbst willen. Er entdeckte nämlich die folgenden drei wichtigen Eigenschaften:

  1. Rationale Zahlen haben endliche Kettenbrüche (man rechnet sie mit Hilfe des euklidischen Algorithmus aus).
  2. Periodische Kettenbrüche stellen quadratische Irrationalzahlen dar; diese Aussage bewies Euler als Erster.
  3. Die Entwicklung jeder reellen Zahl in einen Kettenbruch liefert die besten rationalen Approximationen für diese Zahl.

Einige dieser Erkenntnisse hatte bereits Huygens gewonnen, dessen Arbeit Euler aber unbekannt war.[6] Eulers Arbeiten – und darauf aufbauend die von Joseph-Louis Lagrange[7] – begründeten die Theorie der Kettenbrüche.

Zur rationalen Approximation existiert neben dem Algorithmus von Euler auch ein Algorithmus von Lord William Brouncker. Euler zeigte um 1759, dass die beiden Algorithmen identisch sind. Johann Heinrich Lambert benutzte Kettenbrüche in seiner Arbeit von 1766 dazu, die Irrationalität von π zu zeigen. Seine Kettenbruchentwicklung der Tangensfunktion ist in der Abbildung rechts dargestellt.

Moritz Abraham Stern schuf 1832 die erste systematische Zusammenfassung der Theorie der Kettenbrüche.[8] Im 19. Jahrhundert entwickelte sich die Theorie rasch weiter und so veröffentlichte Oskar Perron im Jahre 1913 eine Zusammenfassung des Wissensstandes, die bis heute als ein Standardwerk gilt (Neuauflage 1954/57).

Weitere wichtige Anwendungen waren und sind: Beweise für die Irrationalität oder die Transzendenz spezieller Zahlen und die Ermittlung von Schaltjahren (da ein Jahr mit 365,24219 Tagen etwas kürzer als 365¼ Tage ist, bedarf es zusätzlich zum Schalttag alle vier Jahre einer weiteren Korrektur; die beste Wahl dafür lässt sich mit Kettenbrüchen begründen).

Definition

Begriff des Kettenbruchs

Ein (unendlicher) Kettenbruch ist ein fortgesetzter Bruch der Form

b_0+\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+\cfrac{a_4}{\;\,\ddots}}}}\quad oder (regulärer Fall) b_0+\cfrac{1}{b_1+\cfrac{1}{b_2+\cfrac{1}{b_3+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}}}

mit b_0 \in \Z und a_i, b_i \in \N.

Die Brüche \frac{a_i}{b_i} bzw. \frac{1}{b_i} werden Teilbrüche genannt, ai heißt der i-te Teilzähler und bi der i-te Teilnenner.[9] Ein Kettenbruch, der sich nach einem Teilbruch \frac{a_i}{b_i} nicht weiter fortsetzt, ist ein endlicher Kettenbruch.

Eine formellere Definition findet man im Abschnitt Darstellung als Iteration von Abbildungen.

Reguläre Kettenbrüche sind in der Zahlentheorie der bei weitem wichtigste Kettenbruch-Typ. Bei der Approximation von (reellen oder komplexen) Funktionen verwendet man auch Kettenbrüche mit Unbekannten, siehe zum Beispiel den Lambertschen-Kettenbruch für die Tangensfunktion im Abschnitt „Geschichte“. Manchmal benötigt man einen endlichen regulären Kettenbruch, bei dem der letzte Eintrag bn eine reelle (nicht-ganze) Zahl ist. Dies ermöglicht zum Beispiel die Schreibweise   φ = [1;φ] = [1;1,φ]   usw. für die goldene Zahl. Auch werden bisweilen allgemeine Kettenbrüche mit a_i \in \Z benutzt.

Notation

Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist

b_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots

In Anlehnung an die Summen- und Produktzeichen Σ und Π führte Gauß hierfür auch die folgende Schreibweise ein:

b_0+\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}\,.

Ein regulärer Kettenbruch wird meist in der folgenden Weise geschrieben:[10]

[b_0;b_1,b_2,\ldots]\,.

Die Notation für endliche Kettenbrüche ist dementsprechend

b_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \cdots + \frac{a_n|}{|b_n}\,, \quad b_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i}\,,\quad [b_0;b_1,\ldots,b_n]\,.

Darstellung als Iteration von Abbildungen

Man kann einen Kettenbruch auch als eine Iteration von Möbiustransformationen

T_i: \mathbb{R}\cup\{\infty\}\to\mathbb{R}\cup\{\infty\}

darstellen (das liefert eine formellere Definition als oben). Hierfür setzt man T_i(x)=\frac{a_i}{b_i+x} und erhält

b_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathbf{K}}} \frac{a_i}{b_i} := b_0+T_1 \circ \cdots \circ T_{n-1} \circ T_n(0).

Endliche Kettenbrüche

Endliche Kettenbrüche und ihre Näherungsbrüche

Von nun an betrachten wir ausschließlich reguläre Kettenbrüche. Bricht man den Kettenbruch [b0;b1,…,bN] nach dem n-ten Glied ab n \le N, so heißt

\frac{p_n}{q_n}=[b_0;b_1,\ldots,b_n]

sein n-ter Näherungsbruch (oder auch n-te Konvergente). Die ersten Näherungsbrüche lauten offenbar

\frac{p_0}{q_0} = \frac{b_0}{1}, \quad \frac{p_1}{q_1} = \frac{b_0 b_1 + 1}{b_1}, \quad \frac{p_2}{q_2} = \frac{b_0 b_1 b_2 + b_0 + b_2}{b_1 b_2 + 1}.

Bei dem Beispiel 41/29 = [1;2,2,2,2] sind das die Brüche 1/1, 3/2, 7/5. Der dritte Näherungsbruch lautet 17/12 und der vierte ist gleich 41/29, also identisch zum Ausgangsbruch.

Mit vollständiger Induktion beweist man das Bildungsgesetz für die Näherungsbrüche (pn und qn werden pro forma auch für n=−1,−2 definiert, damit die Formeln ab n=0 stimmen):

p_n =b_n p_{n-1}+p_{n-2}\, p_{-1}=1\, p_{-2}=0\,
q_{n}=b_n q_{n-1}+q_{n-2}\, q_{-1}=0\, q_{-2}=1\,

sowie die Beziehung

q_n p_{n-1} - p_n q_{n-1} = (-1)^n\,.

Daraus folgt, dass Näherungsbrüche stets in gekürzter Form vorliegen (wenn pn und qn beide durch eine natürliche Zahl > 1 teilbar wären, dann müsste auch die rechte Seite durch diese Zahl teilbar sein, was aber nicht der Fall ist). Dividiert man durch qnqn − 1, so folgt:

\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}-\frac{p_n}{q_n} = \frac{(-1)^n}{q_n q_{n-1}}. 

 

 (1)

 

Beispielsweise hat man für den zweiten und dritten Näherungsbruch von 41/29 die Beziehung

\frac{7}{5}-\frac{17}{12} = \frac{(-1)^3}{60} = \frac{-1}{60}.

Auf ähnliche Weise zeigt man

q_n p_{n-2} - p_n q_{n-2} = (-1)^{n-1}b_n \,

und

\frac{p_{n-2}}{q_{n-2}}-\frac{p_n}{q_n} = \frac{(-1)^{n-1}b_n}{q_n q_{n-2}}. 

 

 (2)

 

Diese Formeln sind grundlegend für die weiter unten besprochenen Konvergenzfragen bei unendlichen Kettenbrüchen.

Matrixdarstellung

Das Bildungsgesetz für die Näherungsbrüche lässt sich auch elegant in Matrixform schreiben. Man erhält dann (wieder mit vollständiger Induktion zu beweisen):

\begin{pmatrix} b_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\cdots
\begin{pmatrix} b_n & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_n & p_{n-1} \\ q_n & q_{n-1} \end{pmatrix}.

Da die Determinante jeder der Matrizen auf der linken Seite −1 beträgt, folgt sofort:

p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n+1},\,

und Multiplikation mit −1 zeigt erneut die oben angegebene Gleichung.

Durch Transposition der Matrizen folgt nun (da die Transposition die Reihenfolge der Matrizen umkehrt), dass [b_n; b_{n-1},\ldots,b_0] = \frac{p_n}{p_{n-1}} sowie [b_n; b_{n-1},\ldots,b_1] = \frac{q_n}{q_{n-1}} gelten.

Beispiel: Die Näherungsbrüche von [1;1,2,3] = \frac{17}{10} lauten 1/1, 2/1, 5/3 und 17/10. Es gilt

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 5 \\ 10 & 3 \end{pmatrix}

und man bekommt [3;2,1,1] = \frac{17}{5} sowie [3;2,1] = \frac{10}{3}.[11]

Endliche Kettenbrüche und der euklidische Algorithmus

Geometrische Veranschaulichung von 17/10 = [1;1,2,3]

Die Umwandlung einer rationalen Zahl in einen Kettenbruch erfolgt mit Hilfe des euklidischen Algorithmus.

Als Beispiel rechnen wir für \frac{17}{10} = [1;1,2,3] wie folgt:

\begin{align}
17 &= 1 \cdot 10 + 7 \\
10 &= 1 \cdot 7 + 3 \\
 7 &= 2 \cdot 3 + 1 \\
 3 &= 3 \cdot 1
\end{align}

siehe dazu auch den Abschnitt Kettenbruchzerlegung im Artikel über den euklidischen Algorithmus. In der Abbildung ist dieses Verfahren veranschaulicht. Aus der folgenden Gleichungskette ist ersichtlich, dass die Kettenbruchentwicklung durch wiederholtes Einsetzen der Gleichungen des euklidischen Algorithmus entsteht:

\frac{17}{10}=1+\dfrac{7}{10}=1+\dfrac{\ \ 1\ \ }{\dfrac{10}{7}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{7}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{7}{3}}}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}}}

Das graphische Verfahren kann so erläutert werden: man beginnt mit einem 17x10 großen Rechteck. Darin bringt man so viele Quadrate der Seitenlänge 10 unter, wie möglich (in diesem Beispiel geht das nur einmal). Es bleibt nun ein 10x7 großes Rechteck unbedeckt, auf das man die Überlegung weiter anwendet. Die Anzahl der jeweils verwendeten Quadrate sind dabei die Teilnenner des Kettenbruchs.[12]

Unendliche Kettenbrüche

Unendliche Kettenbrüche: Konvergenz und Näherungsbrüche

Die Näherungsbrüche mit geradem Index bilden eine steigende Folge, solche mit ungeradem Index eine fallende Folge. Beide konvergieren gegen α.

Für eine (unendliche) Folge b_0,b_1,\ldots ist der Kettenbruch [b_0;b_1,\ldots] nur dann definiert, wenn die Folge der Näherungsbrüche (pn / qn)n konvergiert. In diesem Fall hat der unendliche Kettenbruch [b_0;b_1,\ldots] den Wert \lim_{n \to \infty}[b_0;b_1,\ldots,b_n].

Da wir uns auf reguläre Kettenbrüche beschränken, gilt: Jeder unendliche Kettenbruch konvergiert.[13]

Das erkennt man folgendermaßen: die Folge der Näherungsbrüche mit geraden Indizes, also p_0/q_0, p_2/q_2, \ldots ist aufgrund Gleichung (2) monoton steigend, während die Folge mit ungeraden Indizes p_1/q_1, p_3/q_3, \ldots monoton fallend ist, siehe Abbildung. Da außerdem jeder ungerade Näherungsbruch größer ist als jeder gerade, sind beide Folgen monoton und beschränkt und konvergieren daher. Ihre beiden Grenzwerte sind aber aufgrund Gleichung (1) gleich (da die qn beliebig groß werden, geht die Differenz gegen 0).

Wir betrachten nun \alpha=[b_0;b_1,\ldots].

Aus den oben angegebenen Formeln lässt sich die Differenz zwischen α und dem n-ten Näherungsbruch abschätzen:

\frac{b_{n+2}}{q_n q_{n+2}} < \left|\alpha-\frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n q_{n+1}}. 

 

 (3)

 

Als Beispiel für Gleichung (3) betrachten wir den Kettenbruch der Quadratwurzel von 2. Wir zeigen später im Abschnitt Periodische Kettenbrüche, dass \sqrt{2}=[1;2,2,\ldots]. Die ersten Näherungsbrüche dieses unendlichen Kettenbruchs sind 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, und Gleichung (3) besagt in diesem Fall für n=2:

\frac{2}{5 \cdot 29} < \left|\sqrt{2}-\frac{7}{5}\right| < \frac{1}{5 \cdot 12}.

Klar ist nun, dass jede rationale Zahl einen endlichen Kettenbruch hat und dass jeder endliche Kettenbruch eine rationale Zahl darstellt. Diese Darstellung ist nicht eindeutig, da man das Ende des Kettenbruchs auf zwei Arten schreiben kann, ohne den Wert zu verändern: man kann zwischen den Darstellungen [\ldots,b_n+1] und [\ldots,b_n,1] wechseln. Jede irrationale Zahl hat aber eine eindeutige Darstellung:

Satz (Rationale und irrationale Zahlen, Eindeutigkeit der Darstellung):

Jede reelle Zahl kann als (regulärer) Kettenbruch dargestellt werden. Für irrationale Zahlen ist die Kettenbruchdarstellung unendlich und eindeutig. Rationale Zahlen entsprechen endlichen Kettenbrüchen und jede rationale Zahl hat genau zwei Kettenbruchdarstellungen.

Der Beweis für die Aussage, dass jeder unendliche Kettenbruch eine irrationale Zahl darstellt, ist nicht schwer: wir betrachten \alpha=[b_0;b_1,\ldots] und nehmen an, dass α = c / d rational wäre. Dann gilt

0 < \left|\frac{c}{d}-\frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n q_{n+1}} und Multiplikation mit d und qn ergibt 0 < |c q_n - d p_n| < \frac{d}{q_{n+1}}.

Da die qn + 1 für wachsendes n beliebig groß werden und die Zahl zwischen den Betragsstrichen stets eine ganze Zahl ist, liefert das einen Widerspruch. Somit ist α nicht rational.

Unendliche Kettenbrüche und der verallgemeinerte euklidische Algorithmus

Für irrationale Zahlen α wird eine Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus verwendet. Dieser funktioniert auch für rationale Zahlen; wir prüfen deshalb in jedem Schritt, ob der Algorithmus abbricht:

  1. Ist α keine ganze Zahl, so setzt man b_0 = \lfloor\alpha\rfloor (Ganzteil von α) und α1 auf das Inverse des Rests, also α1 = 1 / (α − b0).
  2. Falls α1 nicht ganz ist, dann setzt man b_1 = \lfloor\alpha_1\rfloor und α2 = 1 / (α1b1).

Dieses Verfahren wird fortgesetzt bis man ein ganzzahliges αn erhält (das geschieht natürlich nur dann, wenn der Startwert rational ist). Bei einem irrationalen α bricht das Verfahren nicht ab. Die Zahlen αn werden vollständige Quotienten genannt. Es gilt

\alpha = [b_0;b_1,\ldots,b_n,\alpha_{n+1}].

Ähnlich wie das Bildungsgesetz für die Näherungsbrüche beweist man:

\alpha = \frac{p_n \cdot \alpha_{n+1} + p_{n-1}}{q_n \cdot \alpha_{n+1} + q_{n-1}}. 

 

 (4)

 

Beispiele: Wir berechnen die Kettenbruchentwicklung von π bis zur zweiten Stelle:

\alpha_0 = \pi\, also b_0 = 3\,,
\alpha_1 = 1/(\pi - 3) = 7{,}0625\ldots also b_1 = 7\,,
\alpha_2 = 1/0{,}0625\ldots = 15{,}996\ldots also b_2 = 15\,.

Sie lautet also [3;7,15,\ldots]. Weitere Stellen gibt es im Artikel Kreiszahl, ein Muster wurde jedoch bislang in der regulären Kettenbruchentwicklung von π nicht entdeckt.

Im Gegensatz dazu findet man ein klares Muster im Kettenbruch der eulerschen Zahl e:

e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\ldots].

Bei der dritten Wurzel von 2 gibt es wiederum kein Muster:

\sqrt[3]{2} = [1;3,1,5,1,1,4,1,1,8,1,14,\ldots].

Als Beispiel für die Verwendung von Gleichung (4) betrachte man die aufeinanderfolgenden Näherungsbrüche 17/12 und 41/29 von \sqrt{2}=[1;\overline{2}].

Da die vollständigen Quotienten für n>0 gleich [2;\overline{2}]=1+\sqrt{2} sind, gilt:

\sqrt{2}=\frac{41\cdot (1+\sqrt{2}) +  17}{29 \cdot (1+\sqrt{2}) + 12}.

Wie im Abschnitt „Geschichte“ erwähnt, fand Euler heraus, dass periodische Kettenbrüche (so wie bei der Quadratwurzel von 2 oder bei der goldenen Zahl) quadratischen Irrationalzahlen entsprechen, und Lagrange zeigte später, dass alle diese Zahlen periodische Kettenbrüche haben. Diesem Thema ist der nächste Abschnitt gewidmet.

Periodische Kettenbrüche

Kettenbruch der Quadratwurzel von 13 in Eulers De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo von 1767

Bei der Dezimaldarstellung reeller Zahlen entsprechen periodische Darstellungen den rationalen Zahlen. Man unterscheidet rein-periodische Dezimalbrüche, z.B. 1/3 = 0,33333..., und solche mit einer Vorperiode, wie bei 1/6 = 0,16666...

Bei Kettenbrüchen spielen periodische Darstellungen ebenfalls eine besondere Rolle. Wie Euler und Lagrange herausfanden, entsprechen sie den quadratischen Irrationalzahlen (irrationale Lösungen quadratischer Gleichungen mit rationalen Koeffizienten). Insbesondere sind die Kettenbrüche derjenigen reellen Zahlen, die nicht rational oder quadratische Irrationalzahlen sind, nicht-periodisch.

Ein Kettenbruch wird periodisch genannt, wenn es Zahlen n, k gibt, so dass für die Teilnenner bj + k = bj für alle j \geq n + 1 gilt. Das minimale k mit dieser Eigenschaft nennt man die Periode des Kettenbruchs[14], der dann in der Form

x = [b_0;b_1,\ldots,b_n,\overline{b_{n+1},\ldots,b_{n+k}}]

geschrieben wird. Ist auch n minimal gewählt, heißt die Folge b_0, \ldots, b_n die Vorperiode und n+1 ihre Länge.

Satz von Euler-Lagrange

Satz: Jeder periodische Kettenbruch ist eine quadratische Irrationalzahl und umgekehrt.

Der erste Teil des Satzes ist einfacher zu beweisen und stammt von Euler, während die Umkehrung schwieriger ist und erst später von Lagrange bewiesen wurde.[15]

Beispiele

a) Sei x = [1;\overline{1}]. Dann gilt x = 1+\frac{1}{x}, also ist x Wurzel der quadratischen Gleichung x^2-x-1 \!\, =0, woraus x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} folgt (da die andere Nullstelle negativ ist). Daher ist x die goldene Zahl (siehe auch den Artikel Goldener Schnitt).

b) Sei x = [1;\overline{2}]. Wir betrachten y \!\, =x-1. Dann ist y = \frac{1}{2 + y}, woraus y^2+2y \!\, =1 und y+1 = \pm\sqrt{2} folgt. Da y \!\, >0 gilt, muss y+1= \sqrt{2} sein. Daher gilt x=\sqrt{2}.

c) Sei x = [1;\overline{1,2}]. Wir betrachten y \!\, =x-1. Dann ist y = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + y}}, also y= \frac{2+y}{3+y}, woraus y^2+2y+1 \!\, =3 und y+1 = \pm\sqrt{3} folgt. Da y \!\, >0 gilt, muss y+1= \sqrt{3} sein. Daher gilt x=\sqrt{3}.

d) Eine besondere Form periodischer unendlicher Kettenbrüche haben die sogenannten „noblen Zahlen“: ihre Kettenbruchentwicklung endet stets mit [\ldots,\overline{1}]. Die goldene Zahl ist das wichtigste Beispiel einer noblen Zahl.

e) Die Kettenbrüche von Quadratwurzeln natürlicher Zahlen haben eine erstaunliche Symmetrie: für Nicht-Quadratzahlen d gilt:

\sqrt{d} = [b_0;\overline{b_1,b_2,\dots,b_2,b_1,2b_0}].\,

Die Vorperiode hat also stets Länge 1, der periodische Block besteht aus einem Palindrom und wird beendet mit 2b0. Beispiele dafür sind außer den Wurzeln von 2 und 3:

\sqrt{7} = [2;\overline{1,1,1,4}]\, und \sqrt{14} = [3;\overline{1,2,1,6}].

Der Kettenbruch der Quadratwurzeln von 13 in einem Werk von Euler über die Pellsche Gleichung ist rechts abgebildet.[16]

Pellsche Gleichung

Periodische Kettenbrüche werden zur Lösung der Pellschen Gleichung x^2-d\cdot y^2=\pm 1 verwendet.

Hauptartikel: Pellsche Gleichung

Beste Näherungen

Zwei Möglichkeiten bester Näherung

In der Einleitung wurde erwähnt, dass die Bestimmung von „guten Näherungsbrüchen“ eine wichtige Anwendung von Kettenbrüchen ist. Es gilt nämlich, dass jeder Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl eine besonders gute rationale Näherung dieser Zahl ist.

Da man jede irrationale Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren kann, gibt es keine absolute beste Näherung an eine irrationale Zahl. Man unterscheidet statt dessen zwei Arten von „Rekordnäherungen“:

Definition: Ein Bruch a/b ist eine beste Näherung 1. Art für die reelle Zahl α, wenn für alle Brüche c/d mit d ≤ b und a/b ≠ c/d gilt:

\left|\alpha-\frac{a}{b}\right| < \left|\alpha-\frac{c}{d}\right|.

Einen besseren Näherungsbruch kann man also nur bekommen, wenn man größere Nenner als b erlaubt.

(Der Einfachheit halber beschränken wir uns auf positive reelle Zahlen und betrachten daher nur natürliche Zahlen a,b,c,d als Zähler und Nenner.) Weiter:

Ein Bruch a/b ist eine beste Näherung 2. Art für die reelle Zahl α, wenn für alle Brüche c/d mit d ≤ b und a/b ≠ c/d gilt:

\left|b \cdot \alpha - a\right| < \left|d \cdot \alpha - c\right|.

Beide Begriffe bester Näherung werden – je nach Anwendung – gebraucht.

Die stärkere Bedingung ist die zweite: angenommen es gibt einen Bruch c/d mit d ≤ b und \left|\alpha-\frac{c}{d}\right| \le \left|\alpha-\frac{a}{b}\right|, dann liefert die Multiplikation mit d ≤ b die Ungleichung \left|d \cdot \alpha - c\right| \le \left|b \cdot \alpha - a\right|. Das zeigt, dass ein Bruch, der nicht beste Näherung der 1. Art ist, auch keine beste Näherung 2. Art sein kann. Daraus folgt, dass jede beste Näherung 2. Art ebenso eine beste Näherung 1. Art ist.

Beispiel: Wir betrachten 17/10 = [1;1,2,3]. Die Näherungsbrüche p1/q1, p2/q2, p3/q3 lauten 2/1, 5/3 und 17/10 und sie bilden die vollständige Liste der besten Näherungen 2. Art. Es gibt jedoch weitere beste Näherungen 1. Art, nämlich 3/2 und 12/7. Dieses Thema wird in den nächsten beiden Abschnitten behandelt.

Näherungsbrüche sind beste Näherungen

Die Nützlichkeit der Näherungsbrüche zeigt sich in folgendem Satz:

Satz (Lagrange[17]): Für jede reelle Zahl gilt: jeder Näherungsbruch pn/qn mit n>0 ist eine beste Näherung 2. Art (und daher auch eine beste Näherung 1. Art).

Für einen 0-ten Näherungsbruch gilt dies nicht immer, da dieser beispielsweise bei 17/10 den Wert 1 hat, aber die ganze Zahl 2 eine bessere Näherung mit Nenner 1 darstellt.[18]

Man kann diesen Satz im Fall von besten Näherungen 2. Art umkehren:

Satz:[19] Jede beste Näherung 2. Art einer reellen Zahl ist ein Näherungsbruch ihrer Kettenbruchentwicklung.

Für Näherungen 1. Art gilt dies jedoch nicht, wie oben im Beispiel 17/10 dargestellt. Man kann jedoch die zusätzlich auftretenden Brüche charakterisieren: sie entstehen als Medianten (Farey-Summen) von Näherungsbrüchen und werden Nebennäherungsbrüche genannt. Näheres dazu im nächsten Abschnitt.

Nebennäherungsbrüche in Lagranges „Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques“ aus dem Jahr 1770 (Seite 567)

Beispiel: Angenommen, man sucht die kleinste natürliche Zahl q, für die der Abstand von q \cdot \sqrt{2} von der nächstgelegenen ganzen Zahl kleiner als 1/1000 ist. Aufgrund des letzten Satzes muss q in der Folge der Näherungsbruch-Nenner qn von \sqrt{2}=[1;2,2,\ldots] enthalten sein. Die ersten Nenner lauten, wie schon oben ausgerechnet, 1, 2, 5, 12, 29. Sie genügen aufgrund der periodischen Teilnenner der Rekursion   qn = 2·qn−1 + qn−2 (eine Lucas-Folge). Der Näherungsbruch p7/q7 ist gleich 577/408 und es gilt 408 \cdot \sqrt{2} = 576{,}99913, so dass der Abstand zu 577 kleiner als die geforderte Genauigkeit ist. Das gesuchte q ist also gleich 408, da die Genauigkeit von 1/1000 für p6/q6 nicht erreicht ist.

Die gleiche Frage für die goldene Zahl φ führt zur Überprüfung von fn·φ für Elemente fn der Fibonacci-Folge und man erhält als Ergebnis q = 610.

Approximation von oben und unten, Nebennäherungsbrüche

Schon 1770 hatte sich Lagrange mit dem Thema beschäftigt, welche Näherungen 1. Art zusätzlich zu den Näherungsbrüchen auftreten (siehe Abbildung rechts). Er wurde zu den „fractions secondaires“ geführt, die im Deutschen Nebennäherungsbrüche genannt werden.

Es handelt sich um Medianten benachbarter Näherungsbrüche:

Definition: Für zwei positive Brüche a/b, c/d mit a/b < c/d heißt (a+c)/(b+d) der Mediant (oder die Farey-Summe) der beiden Brüche (eine Addition, wie man sie normalerweise nicht durchführen sollte!). Der Mediant hat die einfach zu zeigende Eigenschaft, dass a/b < (a + c)/(b + d) < c/d.

Aufgrund dieser Eigenschaft kann man die Bildung des Medianten wiederholt ausführen (iterieren) und bekommt Brüche der Form

\frac{a + r\cdot c}{b + r \cdot d},

die eine aufsteigende Folge bilden. Für die folgende Definition der Nebennäherungsbrüche werden also iterierte Medianten benachbarter Näherungsbrüche gebildet:

Definition: Die zu einem Kettenbruch gehörenden Brüche

\frac{p_{n,r}}{q_{n,r}}=\frac{r \cdot p_{n+1} + p_n}{r \cdot q_{n+1} + q_n}, \, r=1,\ldots,b_{n+2}-1

heißen Nebennäherungsbrüche. Sie liegen zwischen dem n-ten und dem n+2-ten Näherungsbruch. Für gerades n bilden sie eine steigende Folge und für ungerades n eine fallende Folge.

Anmerkung: im besonderen Fall n=−1 verwendet man p−1 = 1, q−1 = 0 und erhält eine fallende Folge, die größer ist als p1/q1.

Satz: (Lagrange 1798[20]) Jede beste Näherung 1. Art einer reellen Zahl ist ein Näherungsbruch oder ein Nebennäherungsbruch ihrer Kettenbruchentwicklung.

Eine Charakterisierung der Menge der Näherungsbrüche und Nebennäherungsbrüche kann man wie folgt erhalten:

Satz: (Lagrange 1798[21]) Für jede reelle Zahl α gilt:

a) Jeder Bruch, der zwischen α und einem Näherungs- oder Nebennäherungsbruch liegt, hat einen größeren Nenner als dieser.

b) Ist umgekehrt ein Bruch a/b von der Art, dass jeder Bruch, der zwischen α und a/b liegt, einen Nenner größer als b hat, dann ist a/b ein Näherungs- oder Nebennäherungsbruch.

In anderen Worten: betrachtet man nur approximierende Brüche größer als α (oder umgekehrt kleiner als α), so sind die Rekordnäherungen vollständig durch die Menge der Näherungs- oder Nebennäherungsbrüche beschrieben.[22]

(Neben-)Näherungsbrüche von π (Erläuterung im Text)

In der Definition der besten Näherung 1. Art werden aber die Approximationen von oben und unten gleichzeitig betrachtet. Die Analyse dieser Situation (Verfeinerung des vorletzten Satzes) ergibt:

Satz:[23] Es sei m=bn+2−1 die Anzahl der Nebennäherungsbrüche zwischen dem n-ten und dem n+2-ten Näherungsbruch. Dann gilt: ist m gerade, so ergibt die zweite Hälfte der Nebennäherungsbrüche beste Näherungen 1. Art, die erste Hälfte aber nicht. Das gleiche gilt – mit Ausnahme des mittleren Elements –, wenn m ungerade ist. Für den mittleren Bruch gibt es eine kompliziertere Bedingung, die wir hier nicht angeben.

Beispiele

a) Wir betrachten das einfache Beispiel [1;5,2]=13/11. Die Näherungsbrüche sind 1/1, 6/5 und 13/11. Die Nebennäherungsbrüche für n=−1 sind 2/1, 3/2, 4/3, 5/4 (größer als 6/5) und für n=0 ist es der Bruch 7/6 (zwischen 1/1 und 13/11).

b) Für die Kreiszahl π=[3;7,15,1,292,…] lauten die ersten Näherungsbrüche 3/1, 22/7, 333/106 und 355/113. Die Nebennäherungsbrüche sind für n=−1 die Brüche 4/1, 7/2, 10/3, 13/4, 16/5, 19/6. Sie bilden eine fallende Folge und die letzten drei sind beste Näherungen 1. Art. (Die ersten drei sind weiter entfernt von π als der Näherungsbruch p0/q0 = 3/1). Für n=0 findet man die Nebennäherungsbrüche 25/8, 47/15, 69/22, 91/29, 113/36, 135/43, 157/50, 179/57, 201/64, 223/71, 245/78, 267/85, 289/92, 311/99. Diese 14 Brüche bilden eine steigende Folge und die letzten sieben sind beste Näherungen 1. Art.

In der Abbildung rechts sind diese (Neben-)Näherungsbrüche illustriert: auf der y-Achse ist log 10 | π − p / q | gegen q auf der x-Achse abgetragen. Außer den Näherungen von unten (rot) und von oben (blau) enthält die Graphik noch die Schranke   1 / (√5 · q²), deren Bedeutung im nächsten Abschnitt klar wird.[24] Gut zu sehen ist, dass nur die zweite Hälfte der Nebennäherungsbrüche für n = 0 eine bessere Näherung liefert als 22/7. Außerdem sieht man, dass die Näherung durch 355/113 außergewöhnlich gut ist (Grund dafür: der nächste Teilnenner ist mit 292 sehr groß).

Vier Sätze über quadratische Approximierbarkeit

In diesem Abschnitt stellen wir Ergebnisse vor, die zum Thema Diophantische Approximation überleiten. Vertiefte Sätze findet man daher im

Hauptartikel: Diophantische Approximation

Aus Gleichung (3) folgt wegen qn + 1 > qn: für jede irrationale Zahl α gibt es unendlich viele Brüche a/b mit[25]

\left|\alpha-\frac{a}{b}\right| < \frac{1}{b^2}.

Umgekehrt gilt für jede reelle Zahl α:

Satz (Legendre[26]): Erfüllt ein Bruch a/b die Ungleichung \left|\alpha-\frac{a}{b}\right| < \frac{1}{2b^2}, so ist a/b ein Näherungsbruch von α.

Diese Ungleichung wird jedoch nicht von jedem Näherungsbruch erfüllt. Es gilt aber:

Satz (Vahlen, 1895[27]): Von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen der reellen Zahl α erfüllt mindestens einer die Ungleichung

\left|\alpha-\frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{2\,q_n^2}.

Insbesondere gibt es auch hier für irrationales α unendlich viele Brüche mit dieser Eigenschaft.

Bezieht man drei Näherungsbrüche in die Auswahl ein, so gilt sogar:

Satz (Émile Borel, 1903[28]): Von jeweils drei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen der reellen Zahl α erfüllt mindestens einer die Ungleichung

\left|\alpha-\frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}\, q_n^2}.

Insbesondere gibt es für irrationales α unendlich viele Brüche mit dieser Eigenschaft.

Man könnte angesichts dieser Ergebnisse vermuten, dass man die Bedingung durch Einbeziehen von vier oder mehr aufeinanderfolgende Näherungsbrüche weiter verschärfen kann. Dies ist nicht der Fall:

Satz (Hurwitz, 1891[29]): Sei φ = [1;1,...] die goldene Zahl. Dann gibt es für jede reelle Zahl c mit c < 1/\sqrt{5} nur endliche viele Brüche a/b mit

\left|\varphi-\frac{a}{b}\right| < \frac{c}{b^2}.

Eigenschaften fast aller irrationaler Zahlen

Chintschin-Konstante

Beispiele für die Konvergenz gegen die Chintschin-Konstante:
Rot: Die Kreiszahl π
Blau: Die Euler-Mascheroni-Konstante γ
Grün: Die dritte Wurzel aus 2 (\sqrt[3]2)
Die schwarze Linie ist die Chintschin-Konstante.
Keine Konvergenz gegen die Chintschin-Konstante gibt es offenbar für
Rot: Die Eulersche Zahl e
Blau: Die Wurzel aus 2 (\sqrt2)
Grün: Die Wurzel aus 3 (\sqrt3)
Die schwarze Linie ist die Chintschin-Konstante.

Die sogenannte metrische Kettenbruchtheorie beschäftigt sich mit Eigenschaften, die typische reelle Zahlen haben. Sie geht auf den gleichnamigen Artikel von Alexander Chintschin in der Zeitschrift Compositio Mathematica aus dem Jahr 1935 zurück,[30] aber auch Gauß beschäftigte sich schon mit ähnlichen Themen.[31] Typisch ist hier im maßtheoretischen Sinn zu verstehen: Man formuliert Eigenschaften, die, bis auf eine Nullmenge, alle reellen Zahlen besitzen. In diesem Fall sagt man, dass fast alle reelle Zahlen diese Eigenschaft haben. In den folgenden Formeln bezeichnet log  den natürlichen Logarithmus.

Das Ergebnis von Chintschin lautet: für fast alle reellen Zahlen konvergiert

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{b_1 b_2 \dots b_n}

gegen die Konstante

\prod_{r=1}^\infty \left(1+\frac{1}{r(r+2)}\right)^\frac{\log r}{\log 2} = 2{,}685452001\dots.

Das geometrische Mittel der Teilnenner fast jeder reellen Zahl konvergiert also gegen eine feste Konstante. Zu den Ausnahmen gehören u. a. alle rationalen Zahlen, da sie ja nur endlich viele Teilnenner besitzen – aber sie bilden eben auch nur eine Nullmenge der reellen Zahlen.

Es ist nicht bekannt, ob diese sogenannte Chintschin-Konstante rational, algebraisch irrational oder transzendent ist.

Die Kettenbruchentwicklungen von Zahlen, für die der Grenzwert nicht existiert oder ungleich der Chintschin-Konstante ist, sind meist besonders regelmäßig. Beispiele hierfür sind die Quadratwurzel von 2 (periodische Kettenbruchentwicklung), die Eulersche Zahl e (Muster wurde weiter oben erwähnt) und ihr Quadrat e² = [7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,…].

Vergleich von Kettenbruchdarstellung und Dezimaldarstellung

Hauptartikel: Satz von Lochs

Der Satz von Lochs besagt folgendes: für fast jede reelle Zahl zwischen 0 und 1 bekommt man auf lange Sicht für jedes weitere Glied eines Kettenbruchs \tfrac{\pi^2}{6\log 2\log 10} \approx 1.03064-viele gültige Dezimalstellen. Damit ist die Darstellung mit Kettenbrüchen (für fast alle Zahlen) nur leicht effizienter als die Dezimaldarstellung. Die Lochs-Konstante ist mit der Lévy-Konstante \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{q_n} = e^\frac{\pi^2}{12\cdot \log 2} verwandt (sie ist das Doppelte des Zehner-Logarithmus der Lévy-Konstante).

Siehe auch

Verwandte Gebiete in der Zahlentheorie:

Farey-Folge
Kettenbruchmethode

Symbolische Dynamik:

Sturmsches Wort[32]

Numerische Anwendungen:

Padé-Approximation
Sturmsche Kette

Literatur

  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Teubner, 1. Auflage in einem Band 1913 (im Internet-Archiv: [2]), 2. Auflage 1929, 3. Auflage in zwei Bänden, Band 1: Elementare Kettenbrüche 1954, Band 2: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche 1957
  • Oskar Perron: Irrationalzahlen, Göschens Lehrbücherei Band 1, Walter de Gruyter, Berlin Leipzig 1921 (im Internet-Archiv: [3]), 2. Auflage 1939, 3. Auflage 1947
  • Alexander J. Chintschin: Kettenbrüche. Teubner, Leipzig 1956, oder Continued Fractions, Dover Publications, 1997 (russ. Original 1935)
  • G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, 2005 (1. Auflage 1938)
  • Hubert Stanley Wall: Analytic theory of continued fractions. Van Nostrand, New York, 1948
  • Ivan M. Niven, Herbert S. Zuckerman: Einführung in die Zahlentheorie. 2 Bände, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1976 (engl. Original: Wiley 1960)
  • Carl Douglas Olds: Continued fractions. (New Mathematical Library 9) Mathematical Association of America, 1963
  • Claude Brezinski: History of Continued Fractions and Padé Approximants. Springer, Berlin, 1991
  • Andrew M. Rockett, Peter Szüsz: Continued fractions. World Scientific, 1992
  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage, Springer, 2002

Einzelnachweise

  1. Zur Anwendung in der Kryptographie siehe z. B. das Buch „Solving the Pell Equation“ von M. Jacobson und Hugh C. Williams und zur algebraischen Geometrie den Artikel The geometry of continued fractions and the topology of surface singularities von Patrick Popescu-Pampu, [1], in dem auch die geometrische Darstellung von H. J. S. Smith (1876) und Felix Klein (1895) und die Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche erläutert werden (diese ähneln regulären Kettenbrüchen, wobei hier statt Addition die Subtraktion verwendet wird. Der Bruch 5/3 wird so beispielsweise als 2 − 1/3 geschrieben.) Für die Anwendung in der Funktionentheorie siehe das Buch von H. S. Wall.
  2. Dass dieser Kettenbruch gleich der Quadratwurzel von 2 ist, wird im Abschnitt Periodische Kettenbrüche gezeigt.
  3. Lamberts Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion, siehe dafür Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage, Springer, 1992, Seite 122.
  4. Die Angabe des relativen Fehlers ist hier nicht sinnvoll, da sich die Approximationseigenschaften einer Zahl nicht durch Addition von ganzen Zahlen ändern.
  5. Leonhard Euler und Chr. Goldbach, Briefwechsel
  6. André Weil: Number Theory. Birkhäuser Verlag, Boston 1984, ISBN 0817645659.
  7. Winfried Scharlau, Hans Opolka: Von Fermat bis Minkowski. Springer, 1980, ISBN 3540100865.
  8. Moritz Abraham Stern: Theorie der Kettenbrüche und ihre Anwendung. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Volume 1833, Issue 10, 1833, S. 1–22, doi:10.1515/crll.1833.10.1. Es gibt auch eine Zusammenfassung mehrerer Artikel dieser Zeitschrift in Buchform aus dem Jahr 1834.
  9. In der älteren Literatur werden ai und bi oft vertauscht, so dass die Teilnenner ai heißen.
  10. Außer den hier angegebenen Schreibweisen gibt es noch b_0+{1 \over b_1+{}} {1 \over b_2+{}} {1 \over b_3+{}}\cdots (z. B. in Conway/Guy: The book of numbers. Springer, 1996), \langle b_0,b_1,b_2,b_3,\ldots \rangle (z.B. im Buch von Niven/Zuckerman) sowie b_0 + /\!/b_1,b_2,b_3,\ldots/\!/ (z.B. in Donald Knuth: The Art of Computer Programming (Band 2), Addison Wesley, 1997).
  11. Siehe Alf van der Poorten: Symmetry and folding of continued fractions, Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 14 (2), 603–611 (2002).
  12. Für eine aktuelle Verwendung dieser Veranschaulichung siehe Dusa McDuff: Symplectic embeddings and continued fractions: a survey, Japanese Journal of Mathematics, 4(2), 2009.
  13. Das wäre zum Beispiel nicht der Fall, wenn als Teilnenner beliebige positive reelle Zahlen zugelassen wären. In diesem Fall gilt: der Kettenbruch [b_0;b_1,\ldots] konvergiert genau dann, wenn die Summe \sum_{i=0}^\infty b_i divergiert.
  14. vgl. Wüstholz, Seite 92
  15. Joseph-Louis Lagrange: Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, Œuvres complètes, tome 2, 581–652 (1770)
  16. Als Quelle siehe Eulers De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo. Ganz unten erkennt man auch die Zahl 61. Die Kettenbruchentwicklung ihrer Quadratwurzel hat Periode 11: \sqrt{61}=[7;\overline{1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14}] und Euler rechnet sie als nächstes Beispiel aus. Einige Seiten später findet man eine komplette Liste der periodischen Kettenbrüche für d bis 120.
  17. Siehe Chintschin, Satz 17.
  18. Es gibt noch einen Ausnahmefall für rationale Zahlen α, der aber vermieden werden kann, wenn man nur solche Kettenbrüche erlaubt, deren letzter Teilnenner > 1 ist. Es handelt sich um α = b0+1/2. Diese kann man als [b0;2] oder als [b0;1,1] schreiben. Im letzten Fall ist p1/q1 = b0+1 und dieser Näherungsbruch hat den gleichen Abstand zu α wie der 0-te Näherungsbruch = b0. Siehe Hardy/Wright, Seite 194.
  19. Siehe Chintschin, Satz 16.
  20. Siehe Chintschin, Satz 15.
  21. Siehe Perron (1913), 2. Kapitel, Sätze 20 und 21.
  22. Siehe hierfür zum Beispiel die Aufgaben zu Kapitel 7.5 im Buch von Niven/Zuckerman.
  23. Siehe Perron (1913), 2. Kapitel, Satz 22.
  24. Genauer formuliert müsste man natürlich sagen, dass die Graphik zusätzlich noch den Logarithmus dieser Schranke enthält.
  25. Siehe auch die ähnliche Aussage im Artikel Dirichletscher Approximationssatz.
  26. Legendre: „Essai sur la théorie des nombres“ (1798). In der Auflage von 1808 findet sich der Beweis auf Seite 21.
  27. Siehe Perron (1913), 2. Kapitel, Satz 14.
  28. Siehe Perron (1913), 2. Kapitel, Satz 15.
  29. Zum Beweis siehe zum Beispiel Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Bibliographisches Institut 1989, Seite 99.
  30. A. Khintchine: Metrische Kettenbruchprobleme (29. März 1934), Compositio Mathematica 1, 1935, S. 361–382
  31. Der Satz von Gauß-Kusmin betrifft die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilnenner reeller Zahlen (R. O. Kusmin, 1928, außerdem Paul Lévy, 1929). Es gilt nämlich für alle natürlichen Zahlen k: Das Maß von M_n(k)=\{x\in[0,1]|\text{n-ter Teilnenner von x ist gleich k}\} konvergiert für n \to \infty gegen -\log_2\left[ 1-\frac{1}{(k+1)^2}\right]. Für k=1 beträgt der Grenzwert ungefähr 41%, für k=2 ungefähr 17%. Siehe hierzu das Buch von Chintschin und das Skript von Jörn Steuding.
  32. Siehe en:Sturmian word

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