KohÀrenz (Physik)

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KohÀrenz (Physik)

KohĂ€renz (v. lat.: cohaerere = zusammenhĂ€ngen) bezeichnet in der Physik eine Eigenschaft von Wellen, die stationĂ€re (ortsfeste und zeitlich stabile) Interferenzerscheinungen ermöglicht. Allgemeiner beschreibt die KohĂ€renz die Gesamtheit der Korrelationseigenschaften zwischen GrĂ¶ĂŸen eines Wellenfeldes.

Inhaltsverzeichnis

NĂ€here Beschreibung

Zeigerdiagramm mit Phasen und Phasendifferenz (schwarz) zweier WellenzĂŒge. Oben: kohĂ€rente WellenzĂŒge mit konstanter Phasendifferenz; Unten: inkohĂ€rente WellenzĂŒge ohne feste Phasenbeziehung.

In der Natur auftretende Wellen wie Lichtwellen, Schallwellen oder Wasserwellen, können, bedingt durch ihre Entstehungsgeschichte, sehr unterschiedliche Schwingungsmuster zeigen. Damit bei Überlagerungen bestimmter Teilwellen InterferenzphĂ€nomene beobachtet werden können, muss der Verlauf dieser Wellen bestimmte Bedingungen erfĂŒllen, die verallgemeinert mit KohĂ€renz zusammengefasst werden. Zwei Teilwellen sind kohĂ€rent, wenn sie zueinander eine feste Phasenbeziehung haben, im anderen Fall inkohĂ€rent.

links: rĂ€umlich und zeitliche kohĂ€rente Welle - die Phase ist sowohl in zeitlicher Richtung als auch in rĂ€umlicher Richtung ohne SprĂŒnge und vollkommen vorhersagbar. Mitte: ausschließlich rĂ€umliche (transversale) KohĂ€renz - entlang der Zeitachse springt die Phase der Welle unvorhersagbar. Rechts: ausschließlich zeitliche (longitudinale) KohĂ€renz - entlang der Raumachse springt die Phase der Welle unvorhersagbar.

Zwei Wellen können zueinander kohĂ€rent sein, wie oben dargestellt, und ein zeitlich stabiles Interferenzmuster erzeugen. Alle Teilwellen, die sich an einem festen Ort zu einer bestimmten (zeitlich gemittelten) IntensitĂ€t ĂŒberlagern (zum Beispiel auf einem Beobachtungsschirm), können sich entweder vollstĂ€ndig verstĂ€rken bzw. auslöschen (vollstĂ€ndige KohĂ€renz), ein wenig verstĂ€rken bzw. abschwĂ€chen (partielle KohĂ€renz) oder zu einer mittleren IntensitĂ€t ausgleichen (InkohĂ€renz).

Außerdem kann man die FĂ€lle einer zeitlichen und einer rĂ€umlichen KohĂ€renz unterscheiden, auch wenn in fast allen Experimenten beide Formen der KohĂ€renz vorhanden sein mĂŒssen. Zeitliche KohĂ€renz liegt vor, wenn entlang der Zeitachse (oft bildlich gleichgesetzt mit der Raumachse parallel zur Ausbreitungsrichtung) eine feste Phasendifferenz (ohne SprĂŒnge) besteht, rĂ€umliche KohĂ€renz liegt vor, wenn entlang einer Raumachse (oft reduziert auf die Raumachsen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) eine feste Phasendifferenz besteht.

Mathematische Darstellung

KohÀrenz und Korrelation

Die KohĂ€renz von Wellen kann anhand der Korrelationsfunktion quantifiziert werden[1]. Diese Funktion liefert ein Maß fĂŒr die Ähnlichkeit des zeitlichen Verlaufs zweier in Verbindung gebrachter Wellenamplituden.

Die Funktion


\Gamma_{\mathrm A\mathrm B}(\tau) = \langle E(\mathbf r_{\mathrm A},t)E^*(\mathbf r_{\mathrm B},t+\tau) \rangle = \lim \limits_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int \limits_{-T/2}^{+T/2} {E(\mathbf r_{\mathrm A},t) E^*(\mathbf r_{\mathrm B},t+\tau) \textrm{d}t}

definiert zunĂ€chst die (komplexe) Kreuzkorrelationsfunktion zwischen den ZeitverlĂ€ufen zweier betrachteter Amplituden. Die beiden Amplituden werden an den Ortspunkten A und B der Welle E und bei einem Zeitunterschied von τ herausgegriffen und als Funktion der Zeit t verglichen.

Die Kontrastfunktion fĂŒr raumzeitliche KohĂ€renz, die durch


K_{\mathrm A\mathrm B}(\tau) = \left| \frac{2\Gamma_{\mathrm A\mathrm B}(\tau)}{\Gamma_{\mathrm A\mathrm A}(0)+\Gamma_{\mathrm B\mathrm B}(0)} \right|

gegeben ist, liefert nun direkt die StÀrke der KohÀrenz als Wert zwischen 0 und 1. Im Allgemeinen unterscheidet man drei FÀlle:

KAB(τ) = 1  vollstĂ€ndige KohĂ€renz
0 < KAB(τ) < 1  partielle KohĂ€renz
KAB(τ) = 0  vollstĂ€ndige InkohĂ€renz

Im Falle rein zeitlicher KohĂ€renz werden nur Korrelationen mit A=B betrachtet. Hier liefert die Kontrastfunktion fĂŒr zeitliche KohĂ€renz


K(\tau) = \left| \frac{\Gamma(\tau)}{\Gamma(0)} \right|

die StĂ€rke der zeitlichen KohĂ€renz in AbhĂ€ngigkeit des Zeitabstandes τ. K(τ) hat bei τ = 0 den maximalen Wert 1 und fĂ€llt je nach KohĂ€renz mehr oder weniger schnell auf 0 ab. Die KohĂ€renzzeit τc ist definiert als der Zeitabstand τ, bei dem die Kontrastfunktion auf 1/e abgefallen ist. Soll die KohĂ€renz zwischen verschiedenen Wellen berechnet werden, wird die Kreuzkorrelationsfunktion


\Gamma(\tau)=\langle E_1(t)E_2^*(t+\tau) \rangle

der Wellen E1 und E2 verwendet.

Im Falle rein rĂ€umlicher KohĂ€renz werden nur Korrelationen mit τ = 0 betrachtet. Hier liefert die Kontrastfunktion fĂŒr rĂ€umliche KohĂ€renz


K_{\mathrm A\mathrm B} = \left| \frac{2\Gamma_{\mathrm A\mathrm B}}{\Gamma_{\mathrm A\mathrm A}+\Gamma_{\mathrm B\mathrm B}} \right|

die StĂ€rke der rĂ€umlichen KohĂ€renz zwischen den Punkten A und B. Ein Volumen, in dem alle Punktepaare A, B einen Kontrast KAB > 1 / e aufweisen, bildet ein sogenanntes KohĂ€renzvolumen innerhalb dem rĂ€umliche KohĂ€renz vorliegt. Meistens wird unter dem Begriff rĂ€umliche KohĂ€renz nur die KohĂ€renz quer zur Ausbreitungsrichtung der Welle verstanden, was prĂ€ziser mit transversal rĂ€umlicher KohĂ€renz bezeichnet werden mĂŒsste. Die rĂ€umliche KohĂ€renz entlang der Ausbreitungsrichtung, also die longitudinal rĂ€umliche KohĂ€renz wird dagegen oft mit der zeitlichen KohĂ€renz gleichgesetzt, was nur nĂ€herungsweise korrekt ist.

Vielstrahlinterferenz

Die gezeigte mathematische Definition der KohĂ€renz beschreibt nur die Korrelation zwischen zwei Punkten einer Welle. In vielen Anwendungen mĂŒssen sich jedoch sehr viele Teilwellen zu einem gemeinsamen Interferenzmuster ĂŒberlagern. Dabei ist die paarweise KohĂ€renz der Teilwellen allein nicht hinreichend. Der KohĂ€renzbegriff muss hierfĂŒr erweitert werden.

Im Beispiel eines Beugungsgitters, bei dem eine sehr große Zahl von Teilwellen interferieren muss, genĂŒgt die paarweise rĂ€umliche KohĂ€renz noch nicht, um scharfe Beugungsspektren sichtbar werden zu lassen. ZusĂ€tzlich muss eine simultane Korrelation zwischen den Phasen aller Teilwellen vorliegen, damit die paarweise interferenzfĂ€higen Teilstrahlen in einem gemeinsamen Beugungsmaximum auf dem Schirm zur Deckung kommen. Anschaulich bedeutet diese zusĂ€tzliche Bedingung, dass ebene Wellenfronten auf das ebene Gitter treffen mĂŒssen. Zwei weitere Beispiele fĂŒr Vielstrahlinterferenz sind die Braggreflexion und das Fabry-Perot-Interferometer.

FĂŒr eine vollstĂ€ndige mathematische Definition der VielstrahlkohĂ€renz mĂŒssen also neben der PaarkohĂ€renz weitere Bedingungen an das Wellenfeld gestellt werden. Der Begriff KohĂ€renz kann in der Literatur je nach Anwendung sehr unterschiedlich verwendet werden. In der Regel wird die KohĂ€renz als InterfererenzfĂ€higkeit bezĂŒglich der konkreten Anwendung verstanden. Die mathematische Darstellung der KohĂ€renz kann entsprechend unterschiedlich ausfallen.

KohÀrenz in der klassischen Optik

In der klassischen Optik wird KohĂ€renz mit der InterferenzfĂ€higkeit von Licht in direkten Zusammenhang gebracht. Der Kontrast des Interferenzmusters ist ein Maß fĂŒr die KohĂ€renz des Lichts. Insbesondere in der Optik spielen die beiden SpezialfĂ€lle der rĂ€umlichen und zeitlichen KohĂ€renz eine große Rolle.

KohÀrenz und Kontrast eines Interferogramms

In der Optik bedeutet KohĂ€renz die InterferenzfĂ€higkeit bezĂŒglich eines bestimmten Experimentes und wird mit dem Kontrast V des Interferenzmusters, der maximal 1 (vollstĂ€ndig kohĂ€rentes Licht) und minimal 0 (vollstĂ€ndig inkohĂ€rentes Licht) sein kann, in Verbindung gebracht. Das Interferenzmuster zweier Lichtquellen ist abhĂ€ngig von ihrer komplexen gegenseitigen KohĂ€renzfunktion \Gamma = \left\langle E_1 E^*_2\right\rangle bzw. dem komplexen gegenseitigen KohĂ€renzgrad \gamma = \frac{\Gamma}{\sqrt{I_1I_2}}, bzw. vom Kontrast V=\frac{2I_1I_2}{I_1+I_2}\left|\gamma\right|


I = I_1 + I_2 + 2 Re\{\Gamma\} 
= I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}Re\{\gamma\}

FĂŒr Zweistrahlinterferenz einer Welle E_1=E(\vec{r}_1,t_1) mit ihrer rĂ€umlich und zeitlich verschobenen Kopie E_2=E(\vec{r}_2,t_2) ergibt sich die bekannte Zweistrahlinterferenzformel I=I_0\left(1+V\cos(\Delta\Phi)\right)

Zeitliche KohÀrenz

Interferenz zweier zeitlich getrennter Punkte einer Welle

Licht entsteht aus diskontinuierlichen Emissionsakten, die Photonen-WellenzĂŒge aussenden. Diese WellenzĂŒge sind jeweils mit einem regelmĂ€ĂŸig oszillierenden Feld verbunden, das willkĂŒrlich seine Phase verĂ€ndert. "Dieses Intervall, in dem die Lichtwelle eine Sinusschwingung darstellt, ist ein Maß fĂŒr ihre zeitliche KohĂ€renz."[2] Die KohĂ€renzzeit ist somit durch das durchschnittliche Zeitintervall definiert, indem die Lichtwelle in einer vorhersagbaren Weise schwingt. Mit der KohĂ€renzzeit steigt auch die zeitliche KohĂ€renz einer Licht emittierenden Quelle.

Einzelne Wellenpakete gleicher Frequenz und unterschiedlicher Phase. Das Summensignal ergibt eine KohĂ€renzzeit in der GrĂ¶ĂŸenordnung, die der Dauer der einzelnen Wellenpakete entspricht.

Zeitliche KohĂ€renz ist dann nötig, wenn die Welle zu einer zeitlich verschobenen Kopie ihrer selbst kohĂ€rent sein soll. Das ist beispielsweise dann der Fall, wenn in einem Michelson-Interferometer die WeglĂ€ngen im Objekt- und Referenzarm unterschiedliche LĂ€ngen aufweisen. Die Zeit, nach der sich relativ die Phasenlage oder Amplitude signifikant verĂ€ndert hat (so dass die Korrelation in entscheidendem Maße abnimmt) ist als die KohĂ€renzzeit τc definiert. Bei Δt = 0 ist die KohĂ€renz noch perfekt, sie hat sich aber nach der Zeit Δt = τc entscheidend verringert. Die KohĂ€renzlĂ€nge lc ist als die Entfernung definiert, die die Welle innerhalb der KohĂ€renzzeit zurĂŒcklegt.

Wiener-Chintschin-Theorem

Bei einer Lichtquelle wird die zeitliche KohĂ€renz durch die spektrale Zusammensetzung des Lichts bestimmt. Licht einer monochromatischen Lichtquelle ist zeitlich vollstĂ€ndig kohĂ€rent. Licht, das sich aus verschiedenen WellenlĂ€ngen zusammensetzt (z. B. wegen Dopplerverbreiterung), ist – je nach Art der Zusammensetzung – partiell kohĂ€rent oder inkohĂ€rent. Dieser Zusammenhang wird durch das Wiener-Chintschin-Theorem beschrieben, das besagt, dass der KohĂ€renzgrad (als Autokorrelationsfunktion der FeldstĂ€rke) der normierten Fouriertransformation des Lichtspektrums entspricht. Die KohĂ€renzlĂ€nge des Lichts ist als der Punkt definiert, an dem der KohĂ€renzgrad auf 1 / e abgefallen ist.

Zeitliche KohÀrenz

Den Zusammenhang zwischen dem Spektrum der Lichtquelle und der zeitlichen KohÀrenz kann man sich am Beispiel des Michelson-Interferometers veranschaulichen. Bei verkipptem Referenzspiegel ist der WeglÀngenunterschied beider Strahlen linear von der Kipprichtung abhÀngig. Entspricht der WeglÀngenunterschied einem ganzzahligen Vielfachen der WellenlÀnge, so interferieren die Strahlen konstruktiv, und das Interferenzmuster hat ein Maximum. Bei monochromatischem Licht ist ein Streifenmuster auf dem Schirm sichtbar.

Besteht das Licht aus verschiedenen WellenlĂ€ngen, so sind die einzelnen Streifenmuster zu einander verschoben. Die Streifen sind umso breiter, je grĂ¶ĂŸer die WellenlĂ€nge ist. Bei der Überlagerung der Streifenmuster auf einem Beobachtungsschirm löschen sich die Streifen an manchen Orten gegenseitig aus oder verstĂ€rken sich gegenseitig (partielle KohĂ€renz). Die Wiederkehr des Kontrasts ist im Bild der endlich langen WellenzĂŒge nicht erklĂ€rbar.

Zeitliche KohÀrenz als Fouriertransformierte des Spektrums der Lichtquelle

Berechnet man nach dem Wiener-Chintschin-Theorem die KohĂ€renzfunktion fĂŒr den Fall eines Lasers mit einem gaußförmigen Spektrum (Bandbreite FWHM = Δλ, SchwerpunktwellenlĂ€nge λ), so erhĂ€lt man eine gaußförmige KohĂ€renzfunktion mit der KohĂ€renzlĂ€nge l_c=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}.

Aus der Fouriertransformation folgt direkt, dass – je nach Form des Spektrums (im obigen Fall des gaußförmigen Spektrums beispielsweise nicht, wohl aber z.B. fĂŒr eine Schwebung, bei der die Autokorrelationsfunktion periodisch ist) – auch fĂŒr grĂ¶ĂŸere WeglĂ€ngenunterschiede als lc wieder eine hohe KohĂ€renz erreicht werden kann. Diese Eigenschaft der KohĂ€renz lĂ€sst sich im anschaulichen Bild der endlich langen WellenzĂŒge (s.u.) nicht erklĂ€ren.

Anschauliche ErklĂ€rung der zeitlichen KohĂ€renz durch endliche WellenzĂŒge

„NatĂŒrliches“ Licht entsteht, wenn ein Elektron in einem Atom von einem angeregten in einen weniger angeregten Zustand ĂŒbergeht. Beim Zerfall des angeregten Zustandes schwingt in semiklassischer Vorstellung das Elektron eine gewisse Zeit. WĂ€hrend dieser Zeit (= Lebensdauer) wird es ein Photon emittieren (gedĂ€mpfte Schwingung). Typische Lebensdauern solcher atomarer Prozesse sind  \tau = 10 \, \mathrm{ns} (= KohĂ€renzzeit). Dieses fĂŒhrt zu Wellenpaketen mit LĂ€ngen von  l_c = c \tau \approx 3 \, \mathrm{m} (= KohĂ€renzlĂ€nge) mit einer FrequenzunschĂ€rfe  \Delta f= \frac{1}{\tau} von etwa 20 MHz.

Das resultierende Licht setzt sich additiv aus Wellenpaketen zusammen, die von vielen unterschiedlichen Atomen ausgesandt wurden und sich in der Phase und auch in der Frequenz unterscheiden. Da die Atome meist in thermischer Bewegung sind, zeigt das von solchen Atomen emittierte Licht Dopplerverbreiterung, bei starker gegenseitiger Wechselwirkung (z. B. StĂ¶ĂŸe) der Atome auch Druckverbreiterung. Beide Effekte verkĂŒrzen die KohĂ€renzzeit bzw. -lĂ€nge des emittierten Lichts erheblich.

Das Modell der endlichen WellenzĂŒge kann nicht alle Aspekte der zeitlichen KohĂ€renz erklĂ€ren! Es dient daher nur als Hilfsvorstellung in sehr einfachen FĂ€llen.

RÀumliche KohÀrenz

Interferenz zweier Punkte entlang einer Welle

Soll die Welle mit einer rĂ€umlich verschobenen Kopie ihrer Selbst interferieren, ist rĂ€umliche KohĂ€renz nötig. Dieses ist beispielsweise im youngschen Doppelspaltversuch der Fall: Hier werden durch die beiden Spalte zwei Punkte aus der einfallenden Welle herausgegriffen, und zur Interferenz gebracht. Wie weit diese beiden Punkte auseinander liegen dĂŒrfen, beschreibt die Ausdehnung des Gebiets der rĂ€umlichen KohĂ€renz.

Van-Cittert-Zernike-Theorem

Komplexer KohĂ€renzgrad als Fouriertransformierte der IntenstiĂ€tsverteilung der Lichtquelle fĂŒr eine runde Lichtquelle

Bei einer ausgedehnten Lichtquelle mit statistischer Phasenverteilung, d. h. zutreffend fĂŒr LED, GlĂŒhbirne und Gasentladungslampe aber nicht fĂŒr Laser, wird die rĂ€umliche KohĂ€renz durch die Ausdehnung und die Form der Lichtquelle bestimmt. Dabei geht es mehr um die Winkelausdehnung als um die tatsĂ€chliche Ausdehnung, so dass die rĂ€umliche KohĂ€renz daher mit steigender Entfernung zunimmt. Eine Punktlichtquelle hat auch bei geringem Abstand eine vollstĂ€ndige rĂ€umliche KohĂ€renz. Dieser Zusammenhang wird durch das Van-Cittert-Zernike-Theorem – nach Pieter Hendrik van Cittert (1889–?) und Frits Zernike – beschrieben, das besagt, dass der komplexe KohĂ€renzgrad der normierten Fouriertransformierten der IntensitĂ€tsverteilung der Lichtquelle entspricht (Bedingungen: kleine Ausdehnungen der Lichtquelle und des Beobachtungsgebiets, ausreichend großer Beobachtungsabstand). FĂŒr eine kreisförmige Lichtquelle fĂ€llt die rĂ€umliche KohĂ€renz schnell ab und erreicht bei 1,22λz / 2ρ ihr Minimum in AbhĂ€ngigkeit vom Abstand z des Beobachtungsschirms von der Lichtquelle. Danach ist die KohĂ€renz nicht verloren, sondern kommt fĂŒr grĂ¶ĂŸere AbstĂ€nde (in sehr schwacher Form) wieder.

Verlust der rÀumlichen KohÀrenz bei einer ausgedehnten Lichtquelle im Doppelspalt-Versuch

Den Zusammenhang zwischen Ausdehnung der Lichtquelle und rĂ€umlicher KohĂ€renz kann man sich am Beispiel des Doppelspalt-Interferenzversuchs veranschaulichen. Am Beobachtungsschirm entsteht abhĂ€ngig von den Laufzeitunterschieden der beiden Strahlen ein Interferenzmuster. HierfĂŒr ist eine ausreichend hohe zeitliche KohĂ€renz der Lichtstrahlen nötig. FĂŒr den Punkt des Beobachtungsschirms, der zwischen den beiden Spalten liegt, haben die Lichtstrahlen keine Laufzeitdifferenz. Hier hat das Interferenzmuster das nullte Maximum. Bei einer ausgedehnten Lichtquelle ist der Punkt mit Laufzeitdifferenz gleich null fĂŒr jeden Punkt der Lichtquelle leicht verschoben. Die einzelnen Interferenzmuster verwischen sich je nach GrĂ¶ĂŸe der Lichtquelle gegenseitig.

Erzeugung von kohÀrentem Licht

KohÀrenz ist keine Eigenschaft einer Lichtquelle, sondern der Lichtstrahlen, da sich die InterferenzfÀhigkeit des Lichts bei seiner Ausbreitung Àndern kann.

Wenn man rĂ€umlich nicht-kohĂ€rentes Licht durch einen sehr schmalen Spalt sendet, verhĂ€lt sich das Licht dahinter, als wĂ€re der Spalt eine Punktlichtquelle (in einer Dimension), die Elementarwellen aussendet (siehe Huygenssches Prinzip). Die GrĂ¶ĂŸe des rĂ€umlichen KohĂ€renzgebiets ist im Fall eines einfachen Spaltes indirekt proportional zur SpaltgrĂ¶ĂŸe (van-Cittert-Zernike-Theorem, Verdetsche KohĂ€renzbedingung). Mit zunehmendem Abstand zur Lichtquelle nimmt die Winkelausdehnung der Lichtquelle ab und damit die rĂ€umliche KohĂ€renz zu.

Die zeitliche KohÀrenz des Lichts kann erhöht werden, indem man einen WellenlÀngenfilter einsetzt, der das Spektrum der Lichtquelle begrenzt.

Die Wahl der Lichtquelle ist daher entscheidend fĂŒr die KohĂ€renz. Leuchtstoffröhren, GlĂŒhlampen und Gasentladungslampen sind rĂ€umlich ausgedehnte Lichtquellen (rĂ€umlich inkohĂ€rent), die weißes Licht einer großen Menge verschiedener Frequenzen (zeitlich inkohĂ€rent) erzeugen. Durch Lochblenden und WellenlĂ€ngenfilter kann daraus rĂ€umlich und zeitlich kohĂ€rentes Licht erzeugt werden, jedoch wird dabei die verbleibende IntensitĂ€t des Lichts stark reduziert, so dass dieses Verfahren wenig praktikabel ist.

Laserlicht dagegen gilt als das am besten erzeugbare monochromatische Licht ĂŒberhaupt und hat die grĂ¶ĂŸte KohĂ€renzlĂ€nge (bis zu mehreren Kilometern). Ein Helium-Neon-Laser kann beispielsweise Licht mit KohĂ€renzlĂ€ngen von ĂŒber 1 km produzieren. Allerdings sind nicht alle Laser monochromatisch (z. B. Titan-Saphir-Laser Δλ â‰ˆ 2 nm – 70 nm). LEDs sind weniger monochromatisch (Δλ â‰ˆ 300 nm) und haben deshalb kĂŒrzere KohĂ€renzzeiten als die meisten monochromatischen Laser. Da ein Laser ĂŒber seine gesamte Apertur dieselbe Phase hat, besitzt Laserlicht zudem eine sehr hohe rĂ€umliche KohĂ€renz.

Messung der KohÀrenz

Zeitliche KohÀrenz

Man kann die KohĂ€renzzeit bzw. KohĂ€renzlĂ€nge einer Lichtwelle bestimmen, indem man diese in zwei Teilstrahlen aufteilt und sie spĂ€ter wieder vereint – etwa in einem Michelson-Interferometer oder Mach-Zehnder-Interferometer. Man sieht Interferenzerscheinungen in einer solchen Anordnung nur dann, wenn der Laufzeitunterschied bzw. der Wegunterschied zwischen den Teilwellen kleiner bleibt als die KohĂ€renzzeit bzw. KohĂ€renzlĂ€nge der von den Atomen ausgesandten WellenzĂŒgen.

Auch aus der Messung des Spektrums lÀsst sich durch Fouriertransformation die zeitliche KohÀrenz bestimmen. Umgekehrt kann auch das Spektrum einer Lichtquelle bestimmt werden, indem der Interferenz-Kontrast in einem Michelson-Interferometer gemessen wird, wÀhrend der WeglÀngenunterschied variiert wird (FTIR-Spektrometer).

RÀumliche KohÀrenz

Ähnlich wie im Fall der zeitlichen KohĂ€renz kann die rĂ€umliche KohĂ€renz durch Messung des Kontrastes eines Interferenzmusters bestimmt werden, wenn ein Interferometer eingesetzt wird, das empfindlich auf die rĂ€umliche KohĂ€renz ist (Verwandte des Doppelspaltaufbaus). Bei der Stellarinterferometrie wird durch Messung des Kontrasts ĂŒber die rĂ€umliche KohĂ€renz die Winkelausdehnung von Sternen bestimmt.

KohÀrente vs. inkohÀrente Superposition in Quantenmechanik und statistischer Physik

Mit kohĂ€renter Superposition der ZustĂ€nde (Superposition der Feldamplituden) hat man es auch in der Quantenmechanik zu tun, obwohl der Zusammenhang mit den MessgrĂ¶ĂŸen kompliziert ist: Ein quantenmechanischer Zustandsvektor |\psi\rangle, interpretiert als Ensemble von Wahrscheinlichkeitsamplituden (genauer: deren Dichten), die durch eine komplexwertige Ortsfunktion \psi (\mathbf r) dargestellt werden, kann in einer beliebigen Orthonormalbasis \{\varphi_i,\,i=1,2,\dots ,\infty \} mit komplexen Konstanten ci linear superponiert werden, obwohl die Messwahrscheinlichkeiten selbst quadratisch von ψ abhĂ€ngen (z. B. gilt fĂŒr die Aufenthaltwahrscheinlichkeit w(dV) in einem kleinen Volumen dV die folgende Aussage: w(dV)=|\psi (\mathbf r) |^2dV). Die lineare Superponierbarkeit besagt, dass zugleich \textstyle |\psi\rangle=\sum_{i=1}^\infty c_i|\varphi_i\rangle\, gilt, also \textstyle w(dV)=\sum_{i,k} c_i^*c_k \,\varphi_i(\mathbf r)^*\,\varphi_k(\mathbf r)dV\,. (Der Index * kennzeichnet bei den Physikern die konjugiert-komplexe GrĂ¶ĂŸe.) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit hĂ€ngt also quadratisch (genauer: bilinear) von den c_i\, ab, obwohl die ZustĂ€nde selbst linear (d.i. kohĂ€rent) superponiert werden. Die hier besprochenen Aspekte werden beim Quantencomputer ausgenutzt.

Allgemein ist der quantenmechanische Erwartungswert einer MessgrĂ¶ĂŸe A, die durch einen selbstadjungierten Operator \hat A reprĂ€sentiert wird, durch folgende Formel gegeben (wobei die AusdrĂŒcke in spitzen Klammern das quantenmechanische Skalarprodukt bedeuten, worauf an dieser Stelle nicht eingegangen werden kann):   \overline{A}=\langle \psi |\hat A\psi\rangle \,. Obwohl dieser Ausdruck nichtlinear von ψ abhĂ€ngt, ist die kohĂ€rente Superponierbarkeit der ZustĂ€nde das Wesentliche: auch die nichtdiagonalen Elemente, i\ne k\,, geben einen signifikanten Beitrag zum Resultat.

Dagegen ist in der statistischen Physik, einschließlich der Quantenstatistik, die Mittelung von vornherein inkohĂ€rent (Superposition von FeldintensitĂ€ten). Hier wird mit Wahrscheinlichkeiten pi angenommen, dass sich der quantenmechanische Zustand des Systems im Zustand |\psi_i\rangle befindet. Die statistischen Erwartungswerte sind dementsprechend

\overline{A}=\sum\limits_i\,p_i\,\langle\psi_i|\hat A\psi_i\rangle\,,

mit p_i\ge 0 und \sum_i p_i=1\,.

Es werden also eigentlich nicht die ZustĂ€nde, sondern die Erwartungswerte selbst, d.h. die „IntensitĂ€ten“, superponiert und Nichtdiagonalelemente treten nicht auf. Die zugehörige Entropie - eine wichtige physikalische und informationstheoretische GrĂ¶ĂŸe - verschwindet folglich nicht. (Dagegen sind quantenmechanische ZustĂ€nde „rein“ im folgenden Sinne: \psi \equiv \psi_1, d.h. p_1=1\,,\,\,p_i=0 fĂŒr i\ge 2\,. Die Entropie verschwindet jetzt.)

Statistische Methoden, auf denen z. B. die SignalverstĂ€rkung am Ende einer Glasfaser beruht, sind also schĂ€dlich fĂŒr die KohĂ€renz, was u.a. zur Reichweitenbegrenzung der Quantenkryptographie fĂŒhrt, die gegenwĂ€rtig nur auf AbstĂ€nden bis zu ca. 100 km durchgefĂŒhrt werden kann, wĂ€hrend die Methoden der klassischen Informatik in ihrer Reichweite praktisch unbegrenzt sind.

Quellen

  1. ↑ Die mathematische Definition folgt dem Lehrbuch KohĂ€rente Optik von W. Lauterborn (siehe Literatur).
  2. ↑ Eugene Hecht: Optik. 4., ĂŒberarbeitete Auflage Auflage. 2005, S. 631.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

 Commons: Coherence â€“ Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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