Komputistik


Komputistik

Computus bedeutet im allgemeinsten Sinne Rechnen mit Zeit.[1]

Aus Computus im Sinne von Rechnen (v. lat.: computus = "Berechnung") ist das Wort Computer entstanden.

Im engeren Sinne wird mit Computus oder Computistik das mittelalterliche Rechenverfahren zur Bestimmung des jährlich variierenden Osterdatums bezeichnet.

Computus-Tafel und Ewiger Kalender als Kreisscheibe, gültig für den Julianischen Kalender

Inhaltsverzeichnis

Der Computus als Oster-Rechnung

Hauptartikel: Osterdatum

Die Aufgabe lautet:
Zu finden ist der erste Sonntag nach dem Frühlings-Vollmond.

Die Bindung des Oster-Termins an den Frühlings-Vollmond ist ein Relikt aus den Anfängen der Christenheit, als diese noch den Jüdischen Solarkalender benutzte. Die Kreuzigung Jesu fand am 14. Tag des Jüdischen Monats Nisan statt, das war der Tag des Frühlings-Vollmonds. Haupt-Aufgabe der Oster-Rechnung ist, das in unserem Sonnenkalender (sowohl Julianischer als auch Gregorianischer Kalender) variable Datum des Frühlings-Vollmond im voraus anzugeben.

Der Todestag Jesu war ein Freitag (Karfreitag). Der Tag des Frühlings-Vollmonds eines beliebigen Jahres kann jeder Wochentag sein. Man hat sich geeinigt, das Osterfest auf den folgenden Sonntag zu verlegen (historisch der Tag der Auferstehung). Die Oster-Rechnung hat die Zusatz-Aufgabe, vom Tag des Frühlings-Vollmondes auf den folgenden Sonntag zu schließen.

Einzige Konstante ist der 21. März als Kalender-Tag des Frühlingsanfangs. Diese Fixierung ist eine ausreichende Näherung an den tatsächlichen, sich kaum verschiebenden Moment des Frühlingsanfangs.

Die von gelehrten Computisten (Astronomen und Mathematiker) errechneten künftigen Osterdaten wurden im Mittelalter als Ostertafeln herausgegeben. Arbeitsergebnis konnte auch ein Ewiger Kalender sein, mit dessen Hilfe sich der Ostersonntag eines Jahres individuell ermitteln ließ.

Von verschiedenen Berechnungs-Methoden setzte sich die im Patriarchat Alexandria (Ägypten, 3. Jahrhundert) erarbeitete durch. In ihr wird der 19-Jahre-Zyklus (Meton-Zyklus) benutzt, der genauer ist als zum Beispiel der in Rom ursprünglich angewendete 84-Jahre-Zyklus.

Sie wird als die Alexandrinisch-Dionysische Methode bezeichnet, weil sich der Römische Abt Dionysius Exiguus (6. Jahrhundert), der zunächst die Geburt Christi als Epoche (Anfang) der Christlichen Ära bestimmte, auch Verdienste für die Verbreitung dieser Methode im Abendlande erwarb. Der gelehrte englische Mönch Beda Venerabilis (8. Jahrhundert) hat sie in der gesamten christlichen Westkirche durchgesetzt und als erster einen vollständigen Osterzyklus damit angefertigt (für die Jahre 532 bis 1063).

Der Computus im Julianischen Kalender


Computus
julianisch 
EP GZ Datum SB
23 16 21. März  C
22  5 22. März  D
23. März  E
20 13 24. März  F
19  2 25. März  G
26. März  A
17 10 27. März  B
28. März  C
15 18 29. März  D
14  7 30. März  E
 31. März  F
12 15  1. April  G
11  4  2. April  A
 3. April  B
 9 12  4. April  C
 8  1  5. April  D
 6. April  E
 6  9  7. April  F
 8. April  G
 4 17  9. April  A
 3  6 10. April  B
11. April  C
 1 14 12. April  D
 0  3 13. April  E
14. April  F
28 11 15. April  G
16. April  A
26 19 17. April  B
25  8 18. April  C
19. April  D
20. April  E
21. April  F
22. April  G
23. April  A
24. April  B
25. April  C
Computus
gregorianisch
1900 bis 2199
EP GZv Datum SB
23 21. März  C
22 14 22. März  D
21  3 23. März  E
20 24. März  F
19 11 25. März  G
18 26. März  A
17 19 27. März  B
16  8 28. März  C
15 29. März  D
14 16 30. März  E
13  5  31. März  F
12  1. April  G
11 13  2. April  A
10  2  3. April  B
 9  4. April  C
 8 10  5. April  D
 7  6. April  E
 6 18  7. April  F
 5  7  8. April  G
 4  9. April  A
 3 15 10. April  B
 2  4 11. April  C
 1 12. April  D
 0 12 13. April  E
29  1 14. April  F
28 15. April  G
27  9 16. April  A
26 17. April  B
25 17 18. April  C
24  6 19. April  D
20. April  E
21. April  F
22. April  G
23. April  A
24. April  B
25. April  C

Vollmond-Datum, Mondzirkel

Zuerst ist der Tag des Frühlings-Vollmondes festzustellen. In einem Zyklus (Mondzirkel) von 19 Jahren (Meton-Periode) besteht eine feste Zuordnung des Vollmond-Datums zum Kalender-Jahr. Der Vollmond fällt auf 19 verschiedene Daten zwischen 21. März und 18. April. Die Zuordnung zwischen Kalenderjahr und einem der 19 Daten erfolgt mit der Hilfsgröße Goldene Zahl GZ. Sie wird aus der Jahreszahl j nach der

Definitions-Gleichung GZ = (j + 1) mod19 gebildet. Ergebnis: GZ = 0*), 1, ... , 17 oder 18.
*) Die Computisten schrieben anstatt der Null, die sie erst spät kennen lernten, den Teiler, hier 19.

Goldene Zahl und Vollmond-Datum werden paarweise in eine Tabelle geschrieben (zwei mittlere Spalten in der links stehenden Tabelle). Gemäß historischer Definition gehört zu GZ=1 der 5. April. Bei Erhöhung von GZ um 1 springt das Datum um 11 Tage zurück. Würde der 21. März unterschritten, so gilt das 19 Tage spätere Datum (siehe Lunisolarkalender). Nach 19 Jahren ist wieder GZ=1, Frühlings-Vollmond ist wieder am 5. April.

Exiguus wählte das Jahr 532 als das erste Jahr eines Mondzirkels. Er stellte Mond-Neulicht am 23. März fest. Der 14. Tag danach (23. März mit gezählt) war der 5. April, der gemäß damaliger Methode als Vollmond-Tag galt.[2]

Oster-Datum, Sonnenzirkel

Weil das Vollmond-Datum auf jeden Wochentag fallen kann, Ostern aber immer an einem Sonntag ist, muss das Datum des folgenden Sonntags festgestellt werden.

Die Wochentage verfrühen sich von Jahr zu Jahr um 1 Kalendertag, nach einem Schalttag nochmals um 1 Kalendertag. Die Zuordnung des Wochentages zu einem Datum wiederholt sich in einem Zyklus (Sonnenzirkel) von 28 Jahren ( =7·4 ; 7 Wochentage, 4-Jahre-Schaltperiode). Sie erhalten zunächst eine fortlaufende Nummer von 0 bis 27, den Sonnenzirkel SZ.
Definitionsgleichung: SZ = (j + 9) mod28; Ergebnis: SZ = 0*), 1, ... , 26 oder 27.
*) Die Computisten schrieben anstatt der Null, die sie erst spät kennen lernten, den Teiler, hier 28.

Kennzeichen ist der Sonntagsbuchstabe SB. Mit einem Buchstaben von A bis G lassen sich alle Tage des Jahres zyklisch bezeichnen (Beginn mit A am 1. Januar). Jedes Jahr wechselt die Zuordnung zwischen Buchstabe und Wochentag. Der Sonntagsbuchstabe ist der Wochentagsbuchstabe des ersten Sonntags im Jahr.

Sonntagsbuchstabe SB eines Jahres
erster Sonntag im Jahr am 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Januar
    Sonntagsbuchstabe SB A B C D E F G

In einem Jahr ohne Schalttag mit SB=A ist am 1. Januar Sonntag, aber auch am 26. März, am 2. April, ... und am 23. April . In einem Jahr mit SB=C ist am 3. Januar Sonntag, aber auch am 21. März, am 28. März, ... und am 25. April. Dem entsprechend sind die Kalender-Daten in der links stehenden Computus-Tabelle mit den Sonntagsbuchstaben versehen (letzte Spalte). In einem Jahr mit einem bestimmten Sonntagsbuchstaben haben alle Kalendertage Sonntag, hinter denen dieser Buchstabe steht. Die Zuordnung zum Sonnenzirkel SZ zeigt folgende Aufstellung.

Sonntagsbuchstabe SB als Funktion des Sonnenzirkels SZ, Julianisch
SZ  0  1*  2  3  4  5*  6  7  8  9* 10 11 12 13*
SB A F E D C A G F E C B A G E
SZ 14  15  16  17* 18  19  20  21* 22  23  24  25* 26  27 
SB D C B G F E D B A G F D C B

*) Alle 4 Jahre verschiebt sich der Sonntagsbuchstabe SB um 2 Buchstaben im Alphabet
(zweite Verschiebung nach dem Schalttag).

Gebrauch der Julianischen Computus-Tabelle

1. Berechnet werden die Goldene Zahl GZ und der Sonnenzirkel SZ.
2. Mit dem Wert für SZ findet man in der Aufstellung SB von SZ den Sonntagsbuchstaben SB.
3. Mit dem Wert für GZ findet man in der Computus-Tabelle das Vollmond-Datum (zwischen 21. März und 18. April).
4. Mit dem Buchstaben für SB findet man das 1 bis 7 Tage spätere Oster-Datum (Oster-Sonntag).

Beispiel: Jahr 1580
GZ = (1580+1)mod19 = 4;  SZ = (1580+9)mod28 = 21 → SB = B
Frühlings-Vollmond am 2. April; Oster-Sonntag am 3. April

Der Computus im Gregorianischen Kalender

Reform-Gründe

Für die Festlegung des Osterdatums ist der Julianische Kalender ein Lunisolarkalender. Die Zählungen von Mond-Monaten einerseits und Sonnen-Jahren andererseits werden in guter Näherung über den Mondzirkel (Meton-Periode) gegenseitig angepasst. Folgende Gleichung wird verwendet:

235 m = 19 j       (m = Mond-Monat (Lunation) = 29,53059 d ; j = Sonnen-Jahr = 365,24219 d ; d = Tag)

Im Julianischen Kalender werden dem Mondzirkel 6.939,75 Tage zugeordnet.
Setzt man die genauen Werte für m und j ein, ist der Mondzirkel entweder 6.939,6887 d (235 · 29,53059 d) oder 6.939,6016 d (19 · 365,24219 d) lang.
Das zeigt,

  • dass das Julianische Kalenderjahr etwa 0,0078 Tage zu lang ist (Ungenauigkeit 1) und
  • dass 235 Mond-Monate etwa 0,0613 Tage kürzer als 19 Kalender-Jahre (Ungenauigkeit 2) sind.
    Das ist 1 Tag in etwa 310 Jahren. Der im alten Rom angewendete 84-Jahre-Zyklus schneidet schlechter ab: Bei ihm entsprechen sich 84 Julianische Kalender-Jahre zu 30.681 Tagen und 1.039 Mond-Monate zu 30.682,28 Tagen. Das ist 1 Tag Differenz in etwa 66 Jahren, fast das 5-Fache im Vergleich zur 19-Jahre-Periode. Damit ist gezeigt, dass die 84-Jahre-Methode zu Recht von der Alexandrinisch-Dionysischen Methode verdrägt wurde.

Die beiden Ungenauigkeiten führten dazu, dass das Kalenderjahr nach einigen Jahrhunderten nicht mehr mit den Jahreszeiten übereinstimmte, und dass die Oster-Rechnung zu falschen Terminen führte.

Korrektur der aufgelaufenen Kalender-Abweichungen

aus Ungenauigkeit 1:

Wegen des zu langen Kalender-Jahres waren bis zur Reform im Jahr 1582 fast 2 Wochen Verspätung gegenüber den Jahreszeiten entstanden. Man ließ 10 Tage im Kalender ausfallen (dem 4. Oktober 1582 folgte unmittelbar der 15. Oktober). Damit war die Situation zur Zeit des Konzils von Nicäa wieder hergestellt. Der anfänglich am 23.März (Julius Cäsar, 44 v. Chr. [3] ) stattfindende Frühlingsanfang, hatte sich damals (325 n.Chr.) auf den 21.März verschoben, der vom Konzil als fixes Datum für die Oster-Rechnung festgelegt wurde.
Kontroll-Rechnung: (1582-325)·0,0078 = 9,8 Tage.

aus Ungenauigkeit 2:

Bei der Einrichtung des Computus war die Ungenauigkeit zwischen dem tatsächlichen Mondzirkel und seiner im Kalender berücksichtigten Länge nicht bekannt (oder wurde ignoriert). Zur Zeit der Reformation wusste man genau, dass Ostern nicht nur wegen des zu langen Kalender-Jahres, sondern auch wegen des ungenauen Mondzirkels nicht richtig ermittelt wurde. Der wegen letzterem aufgelaufene Fehler betrug 3 Tage. Um diese Differenz wurden die Vollmonde im Kalender auf früher verschoben. Beispiel: GZ=1, Verschiebung des Frühlings-Vollmondes vom 5. auf den 2.April → 12.April, nachdem 10 Tage übersprungen waren.

Die Maßnahme deckte sich auch annähernd mit der Bestimmung des Frühlings-Vollmondes und der Synchronisation des Computus mit diesem Datum im Jahre 532 durch Dionysius Exiguus.
Kontrollrechnung: (1582-532)·0,0613 /19 = 3,4 Tage.

Korrektur des Kalender-Jahres

Der Fehler zwischen dem Julianischen Kalender-Jahr und dem Sonnen-Jahr betrug 0,0078 Tage. Er wurde auf 0,0003 Tage verkleinert, indem man im neuen (Gregorianischen) Kalender 3 Schalttage in einem Zeitraum von 400 Jahren weglässt. Der Restfehler ist unbedeutend, denn er summiert sich erst in etwa 3220 Jahren zu 1 Tag.

Korrekturen des Vollmond-Datums

Der Frühlings-Vollmond wird fortan auch mit dem Mondzirkel bestimmt. Er muss aber gelegentlich verschoben werden. Ein Grund sind die nicht gesetzten 3 Schalttage (Sonnengleichung), der zweite Grund ist die Korrektur infolge der Ungenauigkeit 2 (Mondgleichung).

Sonnen(an)gleichung:

Das Mond-Datum ist bei Fehlen eines Schalttages um 1 Tag auf später zu verschieben (gilt auch in allen Folgejahren bis zur nächsten Korrektur).

Mond(an)gleichung:

Wenn sich der Fehler wegen der Ungenauigkeit 2 auf einen 1 Tag summiert hat, ist das Mond-Datum um 1 Tag auf früher zu verschieben (gilt auch in allen Folgejahren bis zur nächsten Korrektur). Die Reform-Kommission hat dafür 8 Säkular-Jahre in einem Zeitraum von 2.500 Jahren bestimmt (im Durchschnitt alle 312,5Jahre).
Kontrollrechnung: 19 / 0,0613 = 310 Jahre.
Der Korrektur-Zyklus begann im Jahre 1800 und wird im Jahre 2100 fortgesetzt. Zwischen dem Jahre 3900 und dem Beginn des nächsten Zyklus im Jahre 4300 beträgt der Sprung 4 Jahrhunderte.

Gesamt(an)gleichung:

Die beiden Korrekturen haben gegensätzliches Vorzeichen. Die Sonnen(an)gleichung ist die wirksamere von beiden. Im Durchschnitt findet eine Verschiebung auf später alle 232,5 Jahre statt.

Auswirkung der neuen Schalt-Regelung auf den Sonntagsbuchstaben

Bei jeder Sonnen(an)gleichung (ausfallender Schalttag) ändert sich die Zuordnung zwischen Sonnenzirkel SZ und Sonntagsbuchstaben SB im Gregorianischen Kalender. Für die Jahre von 1900 bis 2099 gilt folgende Aufstellung:

Sonntagsbuchstabe SB als Funktion des Sonnenzirkels SZ,
Gregorianisch: 1900 bis 2099
SZ  0  1*  2  3  4  5*  6  7  8  9* 10 11 12 13*
SB G E D C B G F E D B A G F D
SZ 14  15  16  17* 18  19  20  21* 22  23  24  25* 26  27 
SB C B A F E D C A G F E C B A

*) Alle 4 Jahre verschiebt sich der Sonntagsbuchstabe SB um 2 Buchstaben im Alphabet
(zweite Verschiebung nach dem Schalttag).

Von 2100 bis 2199 gilt wegen des 2100 nicht eingefügten Schalttages eine neue Tabelle (alle SB um eine Stelle verschoben: zu SZ=0 gehört SB=A usw.).

Gebrauch der Gregorianischen Computus-Tabelle, 1900 bis 2199

1. Berechnet werden die Goldene Zahl GZ und der Sonnenzirkel SZ.
2. Mit dem Wert für SZ findet man in der Aufstellung SB von SZ den Sonntagsbuchstaben SB.
3. Mit dem Wert für GZ findet man in der Computus-Tabelle das Vollmond-Datum (zwischen 21. März und 18. April).
    Wird der 19. April ermittelt, tritt eine Ausnahmeregel in Kraft (siehe unten).
4. Mit dem Buchstaben für SB findet man das 1 bis 7 Tage spätere Oster-Datum (Oster-Sonntag).

Beispiel: Jahr 2009
GZ = (2009+1)mod19 = 15; SZ = (2009+9)mod28 = 2 → SB = D
Frühlings-Vollmond am 10. April; Oster-Sonntag am 12. April

Ausnahme-Regeln im Gregorianischen Kalender

Im Julianischen Kalender waren die 19 im Mondzirkel enthaltenen Vollmond-Daten fix. Durch die Verschiebungen im Gregorianischen Kalender sind über lange Dauer alle 30 Daten (Dauer einer Lunation, aufgerundet; voller Monat) zwischen dem 21.März und dem 19.April möglich. Früher war die späteste Ostergrenze der 18. April, spätester Ostersonntag der 25. April. Jetzt kann sich aus der Rechnung auch der 19. April als spätester Frühlings-Vollmond ergeben. Spätester Oster-Sonntag könnte der 26. April sein. Die Reform-Kommission wollte den Skeptikern des neuen Kalenders entgegen kommen und schloss durch Ausnahme-Regelung die Ausdehnung bis zum 26. April aus.

Regeln:[4]

  1. Ergibt sich für den Frühlings-Vollmond der 19. April (z.Zt. mit GZ=6), und ist dieser ein Sonntag, so wird die Ostergrenze auf den 18. April vorverschoben. Ostersonntag ist dann der 19. April.
  2. Wird der 18. April mit einem GZ>11 (z.Zt. mit GZ=17) ermittelt, und ist dieser ein Sonntag, so wird die Ostergrenze auf den 17. April vorverschoben. Ostersonntag ist dann der 18. April.
    Damit wird verhindert, dass innerhalb eines Mondzirkels von 19 Jahren Ostern zweimal auf den gleichen Termin fällt. Das kam im Julianischen Kalender nicht vor.

Beispiel für 1. Regel: Jahr 1981
GZ=6; SZ=2 → SB=D → Ostergrenze: Sonntag, 19. April → Ostern am 19. April (korrigierte Grenze: 18. April)

Beispiel für 2. Regel: Jahr 1954
GZ=17, SZ=3 → SB=C → Ostergrenze: Sonntag, 18. April → Ostern ohne Korrektur am 25. April (mit korrigierter Grenze = 17. April → 18. April)
Im Jahr 1943, d.h. weniger als 19 Jahre früher, war Ostern bereits am 25. April.
GZ=6; SZ=20 → SB=C → Ostergrenze: Sonntag, 19. April → Ostern am 25. April

Die Epakte

Die ursprüngliche fixe Zuordnung zwischen Goldener Zahl GZ und Frühlings-Vollmond ist verloren gegangen. Man muss GZ parallel zu den (An)gleichungen verschieben. Das ist in der oben rechts stehenden Gregorianischen Computus-Tabelle geschehen. Sie gilt für den Zeitraum zwischen 1900 und 2199. Im Vergleich zu den ursprünglichen Goldenen Zahlen GZ (linke Tabelle) stehen die verschobenen Zahlen GZv 9 Tage später.
Kontrollrechnung: +7 (Verschiebung 1582) +3 (Sonnen(an)gleichungen 1700, 1800 und 1900) -1 (Mond(an)gleichung 1800) = +9.

Beide Computus-Tabellen beginnen mit der Epakte EP, die schon im Mittelalter bekannt war, aber erst durch die Reform zu häufiger Anwendung kam. Sie ist beliebt, weil sie sich im Gegensatz zur Goldenen Zahl kontinuierlich ändert. In den Korrektur-Jahren wird die Epakte um ±1 geändert. Man nennt das in Anlehnung an die physische Verschiebung der Goldenen Zahlen (Verschiebung der GZv-Spalte in einer Gregorianischen Computus-Tabelle) Epakten-Verschiebung. Bei Verschiebung des Mond-Datums auf später verringert sich die Epakte und umgekehrt. Der Jahres-Wert der Epakte wird in astronomischen Jahrbüchern neben dem Wert der Goldenen Zahl angegeben. Es ist aber ... zu beachten, dass auch bei der Epaktentheorie die goldene Zahl nicht entbehrt werden kann.[5]

Die Epakten-Reihe enthält wie die der Goldenen Zahlen 19 Werte. Sie geht von EP=29 bis EP=0, wobei zu jeder Gregorianischen Zeit 11 andere Lücken existieren. Die Julianische Reihe ist fix, in ihr fehlt unter anderen EP=29. (siehe links stehende Computus-Tabelle, erste Spalte).

Nach Definition ist die Epakte eines Jahres das Alter des Mondes am letzten Tag des Vorjahres. Gezählt wird ab Neulicht.
Zum Beispiel: Vollmond am 1. Januar (Alter 14 Tage), EP=13.

Der Computus in den Gauß'schen Osterformeln

Hauptartikel: Gaußsche Osterformel

Carl Friedrich Gauß (1777 bis 1855) hat den Algorithmus der Oster-Rechnung, den Computus, mit den Mitteln neuzeitlicher Mathematik dargestellt. Er wollte ... mit seiner Regel ganz bewusst ein praktisches Hilfsmittel an die Hand geben, das ohne die Kenntnis des in ihr komprimiert und verschleiert enthaltenen computus von jedermann angewendet werden kann.[6] Vorher war der Computus ... besondere Kunst ... , war zeitweise ... das einzige Kapitel Mathematik der Universitätsausbildung ... und hat trotz ... angeblicher Komplikation der Menschheit weit mehr genützt als geschadet.[7]

Anmerkungen und Einzelnachweise

  1. Arnold Borst: Computus - Zeit und Zahl in der Geschichte Europas, Berlin, 2004
  2. Heinz Zemanek: Kalender und Chronologie, München, 1900, Seite 45
  3. Heinz Zemanek: Kalender und Chronologie, München, 1900, Seite 29
  4. Joseph Bach: Die Osterfest-Berechnung in alter und neuer Zeit, Strassburg 1907, Seite 34 und 35 [1]
  5. Joseph Bach: Die Osterfest-Berechnung in alter und neuer Zeit, Strassburg 1907, Seite 36 [2]
  6. Alfons Graßl: Die Gaußsche Osterregel und ihre Grundlagen, in Sterne und Weltraum, 4 (1993)
  7. Heinz Zemanek: Kalender und Chronologie, München, 1900, ISBN 3-486-20927-2, Seite 35 und 45

Literatur

  • Joseph Bach: Die Osterfest-Berechnung in alter und neuer Zeit, Beitrag in Jahresberichte des Bischhöflichen Gymnasiums Strassburg, Strassburg 1907, [3]
  • Arno Borst: Computus - Zeit und Zahl in der Geschichte Europas, Berlin, 2000, ISBN 3-8031-2492-1
  • Alfons Graßl: Die Gaußsche Osterregel und ihre Grundlagen, in Sterne und Weltraum, 4 (1993)
  • Heinz Zemanek: Kalender und Chronologie, München, 1900, ISBN 3-486-20927-2

Weblinks


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