Kreiszahl


Kreiszahl
Der griechische Buchstabe Pi
Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von π.

Die Kreiszahl π (Pi) ist eine mathematische Konstante. Ihr Wert inklusive der ersten fünf Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung lässt sich wie folgt darstellen:

\pi = 3{,}14159 \ldots

Die Kreiszahl beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Pi (π) bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρειαperipheria („Randbereich“) bzw. περίμετροςperimetros („Umfang“). Die Bezeichnung pi (π) erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum matheseos (Überblick über die Hauptwerke der [mathematischen] Wissenschaft. Oder: Eine neue Einführung in die Mathematik) des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones. Die Kreiszahl π wird auch Archimedes-Konstante und nach Ludolph van Ceulen Ludolphsche Zahl genannt.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Grunddaten

Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r) und Durchmesser (d)

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl π. Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als

  • das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität und Transzendenz

Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch dargestellt werden kann. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.

Tatsächlich ist die Zahl π sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten gibt, das in π eine Nullstelle hat. Dies wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da π eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung[1]

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit.[2]

(Anmerkung: Der angegebene Wert ist nicht π auf 100 Nachkommastellen gerundet. In der Zahlentheorie wird prinzipiell nicht gerundet, das ist nur bei konkreten physikalischen Messungen und ähnlichen Gebieten der angewandten Mathematik von Belang.)

Kettenbruchentwicklung

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da π irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von π keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern:

π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …]

Eine weitere Kettenbruchdarstellung von π ist[3]


\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}

Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich ist, sondern von deren Größe abhängig ist. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist diese Abweichung zur normalen euklidischen Geometrie vernachlässigbar klein, für Kreise mit großen Durchmessern muss die Abweichung jedoch berücksichtigt werden.

Bezeichnung mit dem mathematischen Symbol π

Der englische Mathematiker William Jones verwendete in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) als erster den griechischen Kleinbuchstaben π, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.[4]

Bereits einige Zeit früher verwendete der englische Mathematiker William Oughtred in seiner erstmals 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio die Bezeichnung \tfrac{\pi}{\delta}, um das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) auszudrücken, d. h. \tfrac{\pi}{\delta}= 3{,}1415...[5] Dieselben Bezeichnungen verwendete um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. David Gregory verwendete \tfrac{\pi}{\rho} (1697) für das Verhältnis von Umfang zu Radius.[6]

Leonhard Euler verwendete erstmals 1737 den griechischen Kleinbuchstaben π für die Kreiszahl, nachdem er zuvor p verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd

Kaum eine andere Zahl hat die Menschen in ihrer Geschichte mehr beschäftigt und fasziniert als die Kreiszahl π. Schon vor den Griechen suchten Menschen nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obwohl die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen Mathematiker Archimedes um 250 v. Chr., die Zahl mathematisch zu bestimmen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an π phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. Sollten Räder beschlagen werden, war es wichtig zu wissen, welchen Umfang der Beschlag haben musste. Sollte eine Säule mit einem Kranz geschmückt werden, war der Umfang des Kranzes zu bestimmen. Sollte ein Fass mit Wein gefüllt werden, interessierten sich unsere Vorfahren für das nötige Volumen.

Dabei beziehen sich die ältesten Überlieferungen immer auf konkrete Objekte; ob die mathematische Gesetzmäßigkeit erkannt wurde, ist unklar. So ließ der Bibel zufolge König Salomo durch den Kupferschmied Hiram von Tyrus für den israelitischen Tempel ein rundes Wasserbecken herstellen:

„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“

1 Kön 7,23 EU

Somit lässt sich für das beschriebene Objekt ein Verhältnis von Umfang zu Durchmesser mit dem Wert 3 folgern. Man kann annehmen, dass eine ungenaue Messung oder Überlieferung von Umfang und Durchmesser vorliegt.

Den Wert 3 nutzte man auch im alten China. Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert  \left( \tfrac{16}{9} \right)^2 \approx 3{,}1604 . Als Näherung für π benutzten die Babylonier 3 oder auch 3+\tfrac{1}{8}=3{,}125. In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert  \left( \tfrac{26}{15} \right)^2 \approx 3{,}0044  für π . Der indische Mathematiker Aryabhata bestimmte im 6. Jahrhundert den Wert der Kreiszahl für damalige Verhältnisse sehr genau auf 3,1416.

Archimedes von Syrakus

Die Summe der Flächen der grauen „Möndchen“ entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Für Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von π nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob π also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen seit dem Satz des Pythagoras mit der Irrationalität von \sqrt2 die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen wie die Möndchen des Hippokrates.

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von π beweisen, auch wenn die Mathematiker dies schon lange vermutet hatten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken

Archimedes versuchte wie auch andere Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für π zu gewinnen. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, das jeweilige Verhältnis ergibt also in beiden Fällen die gleiche Größe (die Kreiszahl). Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als  3+ \tfrac{10}{70}  sein müsse, jedoch größer als  3+ \tfrac{10}{71} :

 3{,}1408450 \approx 3 + \tfrac{10}{71} <\pi< 3 + \tfrac{10}{70} \approx 3{,}1428571

Nach Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

 3 + \tfrac{9552}{67441} < \pi < 3 + \tfrac{10835}{62351}

Wilbur Knorr korrigiert zu:

 3 + \tfrac{8915}{62991} < \pi < 3 + \tfrac{9552}{67441}       (3,1415281 < π < 3,1416349)
Archimedes pi.svg

Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an π erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704, später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,14159. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chong-Zhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 < π < 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch  \tfrac{355}{113} (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von π), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. Der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi berechnete bereits 1427 mit einem 3·228-Eck π auf 16 Stellen genau.

Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von π zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen 262-Eck fort. Der Name ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge eingeschriebener 2n-Ecke annäherte. Daraus leitete er als erster eine geschlossene Formel für π in Form eines unendlichen Produktes ab:

\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \dots = \frac2{\pi}
John Wallis, 16161703

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt:

 \frac21 \cdot \frac23 \cdot \frac43 \cdot \frac45 \cdot \frac65 \cdot \frac67 \cdot \frac87 \cdot \frac89 \cdot \dots = \frac{\pi}2 .

Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

\frac4{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\textstyle \frac{ 3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{\;\,\ddots}}}}}
Gottfried Wilhelm Leibniz. Porträt von B. Chr. Francke, um 1700

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} \mp \cdots = \frac{\pi}{4}.

Siehe: Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen \arctan 1 = \tfrac{\pi}4 auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:

 \arctan \theta = \frac{\theta^1}{1} - \frac{\theta^3}{3} + \frac{\theta^5}{5} - \frac{\theta^7}{7} \pm \cdots

Sie war Grundlage vieler Approximationen von π in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von π. Seine Gleichung

 4\arctan\frac15 - \arctan\frac1{239} = \frac{\pi}4

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich im reellen nur mühsam über das Arctan-Additionstheorem gewinnen. Direkt geht es durch Betrachtung der Argumente der komplexen Zahlen:

 (5+i)^{4} \cdot (239 - i) = 114244+114244 i .
Leonhard Euler, 17071783, Pastell v. Emanuel Handmann, 1753

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande π bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (s. auch riemannsche ζ-Funktion):

\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots=\zeta(2) = \frac{\pi^2}6,\quad\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\quad\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}, \quad \cdots
\frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\frac1{9^2}+\cdots= \frac{\pi^2}8
\frac{1}{2\cdot3\cdot4} - \frac{1}{4\cdot5\cdot6} + \frac{1}{6\cdot7\cdot8} \mp \cdots = \frac{\pi - 3}{4}

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\textstyle \frac{5^2} {11+\textstyle \frac{6^2}{\;\,\ddots}}}}}}

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von π eignet.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung  \tfrac{22}{7} \approx 3{,}142857 und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber π beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend.

Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch  \tfrac{355}{113} \approx 3{,}1415929 , immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für π ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von π entsprechen, z. B.:

 \frac{22}{7} = [3;7],\quad \frac{355}{113} = [3;7,15,1] 

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten für π dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders Srinivasa Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:

\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \cdot\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4 n)! \cdot (1103+26390 n)}{(n!)^{4} \cdot 396^{4 n}}

Solche effizienteren Verfahren, deren Implementation allerdings Langzahlarithmetik benötigt, sind Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz.[7]

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung

BBP-Reihen

1996 entdeckte David Harold Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neuartige Reihendarstellung (BBP-Reihe) für π:

\pi = \sum_{k=0}^{\infty}\frac1{16^k}\left(\frac4{8k+1} - \frac2{8k+4} - \frac1{8k+5} - \frac1{8k+6}\right)

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) erlaubt es auf einfache Weise, die n-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer 2er-Potenzbasis von π zu berechnen, ohne dass zuvor die n − 1 vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.[8] Baileys Website, enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen.

Später wurden für π weitere BBP-Reihen gefunden:

\begin{align}
\pi &= \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} + \tfrac4{8k+4} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \tfrac14\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac1{16^k}\left(\tfrac8{8k+1} + \tfrac8{8k+2} + \tfrac4{8k+3} - \tfrac2{8k+5} - \tfrac2{8k+6} - \tfrac1{8k+7}\right)
 \\ &= \;\;\sum_{k=0}^{\infty}\tfrac{(-1)^k}{4^k}\left(\tfrac2{4k+1} + \tfrac2{4k+2} + \tfrac1{4k+3}\right)
\end{align}

Berechnung mittels Flächenformel

In ein Quadrat eingeschriebener Kreis für die Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass π in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius r lautet

AK = πr2,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge 2r errechnet sich als

AQ = (2r)2.

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

\frac{A_K}{A_Q} = \frac{\pi r^2}{(2r)^2} = \frac{\pi}{4}.

Damit lässt sich π als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: \pi=4\,\frac{A_K}{A_Q}.

Programm

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der π näherungsweise berechnet werden kann.

Viertelkreis, mit Flächenraster 10×10 angenähert

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von π hängt von der Gitterweite ab und wird mittels r kontrolliert. Mit r = 10 erhält man z. B. 3,16 und mit r = 100 bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon r = 10000 zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

r = 10000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = r ^ 2
for i = 0 to r-1
  x = i + 0.5
  for j = 0 to r-1
    y = j + 0.5
    if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
      kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe 4*kreistreffer / quadrattreffer { 3.14159388 }

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes r marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung

Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird.

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von π ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich  \tfrac{\pi}{4}.

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von π lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:

public static double approximiere_pi(int tropfenzahl) {
  double pi = 0;
  int innerhalb = 0;
  int gesamt = tropfenzahl;
 
  while (tropfenzahl > 0) { // generiere Tropfen und addiere je nach Zugehörigkeit
    double dotx = Math.random();
    double doty = Math.random();
 
    if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) {
      // Punkt liegt innerhalb des Kreises
      innerhalb++;
    } else {
      // Punkt liegt außerhalb des Kreises
    }
 
    tropfenzahl--;
  }
 
  pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
  return pi;
}

Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem und stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon, der sie 1727 im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer gewissen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt dabei als Schnittpunkt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von π. Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von \pi \approx 3{,}159.

Geometrische Näherungskonstruktion

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl π gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Dies ist also eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

Formeln, Anwendungen, offene Fragen

Formeln, die π enthalten

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von π als Kreiszahl unmittelbar hervor.

  • Umfang eines Kreises mit Radius r: U = 2πr
  • Fläche eines Kreises mit Radius r: A = πr2
  • Volumen einer Kugel mit Radius r: V = \tfrac43\pi r^3
  • Oberfläche einer Kugel mit Radius r: AO = 4πr2
  • Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe a: V = r2πa
  • Volumen eines durch die Rotation des Graphen y = f(x) um die x-Achse definierten Rotationskörpers mit den Grenzen a und b: V = \pi \int_a^b f(x)^2 \mathrm{d}x

Formeln der Analysis

π spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

Diese Identität als Kombination der Kreiszahl π, der ebenfalls transzendenten eulerschen Zahl e, der Imaginären Einheit i und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der „schönsten mathematischen Formeln“ angesehen.

Formeln der Zahlentheorie

Formeln der Physik

In der Physik spielt π neben

  • der Kreisbewegung: ω = 2πf (Winkelgeschwindigkeit gleich mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort π über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

Außerdem

Anwendungen, Nutzen heutiger Berechnungen

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften wie etwa im Ingenieurbau sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist.

Es genügen beispielsweise zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit

  • bei einem Radius von 30 Metern: vier Dezimalstellen von π,
  • beim Erdradius: zehn Dezimalstellen,
  • bei einem Radius mit dem Abstand Erde-Sonne: 15 Dezimalstellen.

Wie viele Stellen sind wohl erforderlich, um den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis mit der größten vorstellbaren Genauigkeit zu berechnen? Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa 1,3·1010 a) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa 300.000 km·s-1 oder 9,46·1015 m·a-1) ergibt, also rund 1,3·1026 m. Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa 8,17·1026 m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Länge von etwa 10-35 m. Der Kreis besteht also aus 8,17·1061 Planck-Längen. Um ihn aus dem gegebenen Radius (vorausgesetzt, dieser wäre auf eine Planck-Länge genau bekannt) mit der Genauigkeit von einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 62 Dezimalstellen von π ausreichen.

Der derzeitige Rekord (Stand: August 2010) an numerischen Berechnungen liegt bei etwa 5 Billionen Dezimalstellen. Ein praktischer Nutzen dieser Rechnungen liegt in der Möglichkeit, die Computer-Hardware und -Software zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von π führen.

Offene Frage der Normalität

Eine zurzeit besonders aktuelle mathematische Frage bezüglich π ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie dies die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.

In letzter Konsequenz würde dies beispielsweise bedeuten, dass die Kreiszahl alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss. Siehe auch das Infinite-Monkey-Theorem.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben angegebenen Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Ableitungen belegt, dass die Normalität von π zur Basis 2 (wie auch die von verschiedenen anderen Konstanten) auf eine bestehende Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann. Für weitere Details dazu siehe die Webseite von Bailey.[9]

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von π auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl π entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl π tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als π ab.

Sonstiges

Rekorde und Kuriositäten

Pi-Bodenmosaik am Eingang des Mathematikgebäudes der TU-Berlin
  • Freunde der Zahl π gedenken zum einen am 14. März der Kreiszahl mit dem Pi-Tag wegen der amerikanischen Datumsnotation 3/14. Zum anderen wird ein π-Näherungstag am 22. Juli gefeiert, mit dem die Näherung 22/7 von Archimedes geehrt werden soll.
  • Aus Sternstunden der modernen Mathematik von Keith Devlin: Ein weiteres Beispiel, in dem π überraschend eine Rolle spielt, ist das folgende: Wenn man ein Streichholz auf ein Brett wirft, das durch parallele, jeweils eine Streichholzlänge voneinander entfernte Linien unterteilt ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Streichholz so fällt, dass es eine Linie schneidet, genau 2 / π. Dabei handelt es sich um eine Variante des weiter oben beschriebenen Nadelwurfversuchs.
  • Im Jahre 1897 wurden im US-Bundesstaat Indiana mit dem Indiana-Pi-Bill-Gesetzentwurf (“for an act introducing a new mathematical truth”) für die Zahl π per Gesetz 4 bzw. 3,2 vorgeschlagen. Der Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin war sicher, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben. Er schlug der Regierung den Handel vor, auf alle Tantiemen aus der Anwendung seiner Entdeckung in der mathematischen Aus- und Weiterbildung zu verzichten, wenn seine Entdeckung zum Gesetz erhoben würde. Erst nach der Aufklärung durch einen „gestandenen“ Mathematiker, der von dem Gesetzesvorhaben zufällig in der Zeitung las, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus (Landtag) bereits einstimmig beschlossenen Entwurf auf unbestimmte Zeit. Das Guinness-Buch der Rekorde kennt diese Geschichte etwas anders: „Der ungenaueste Wert von π. Im Jahre 1897 verabschiedete die Generalversammlung von Indiana ein Gesetz (Bill Nr. 246), nach dem der Wert von π de jure vier ist.“
  • 1853 publizierte William Shanks seine Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von π, alle per Hand berechnet. 92 Jahre später, im Jahre 1945, wurde entdeckt, dass die letzten 180 Stellen falsch waren. (Siehe auch die Tabelle unten, die etwas andere Jahreszahlen angibt.)
  • Die Versionsnummer des Textsatzprogramms TeX von Donald Knuth wird entgegen den üblichen Konventionen der Software-Entwicklung seit den 1990ern so inkrementiert, dass sie sich langsam π annähert. Die aktuelle Version aus dem Jahr 2008 trägt die Nummer 3,1415926.
  • Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können.
  • Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 pünktlich um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 freiwillige Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Organisiert wurde der Weltrekord vom Mathematikum in Gießen.

Film, Musik, Kultur und Literatur

  • 1966 nannte Alfred Hitchcock eine Gruppe von DDR-Fluchthelfern in seinem Film Der zerrissene Vorhang (1966) Pi.
  • 1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl π spielt für die spannende und im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle.
Pi in der Wiener Opernpassage
  • 1998 veröffentlichte Darren Aronofsky (Requiem for a Dream) den Film „Pi“ (1998), in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als „Maximilian Cohen“) die Weltformel aus π herausfiltern möchte.
  • Auf dem 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.
  • Im Jahr 2005 benannte sich der bis dahin als „Prinz Porno“ bekannte deutsche Rapper Friedrich Kautz wegen Verwechselungen in Zusammenhang mit seinem Künstlernamen und seiner Stil-Richtung in Prinz Pi um. Seither gilt das Pi-Symbol auch als sein Markenzeichen.
  • Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi in der Wiener Opernpassage widmet sich unter anderem der Kreiszahl.
  • Im Film Nachts im Museum 2 (2009) ist die Kreiszahl die Kombination für die Tafel des Ahkmenrah. Die Kombination wird mithilfe von Wackelkopf-Einsteins gelöst und öffnet in dem Film das Tor zur Unterwelt.
  • Die progressive Deathcore-Band After the Burial hat auf ihrem Debütalbum Forging A Future Self das Lied Pi (The Mercury God Of Infinity) veröffentlicht. Es besteht aus einem Akustikgitarrensolo, auf das ein Breakdown folgt, dessen Rhythmus an die ersten 110 Stellen der Kreiszahl angelehnt ist.[10]

Pi-Sport

Hauptartikel: Pi-Sport

Aus dem Lernen von Pi ist ein Sport geworden. Das Memorieren der Zahl Pi gilt als beste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Der Chinese Chao Lu ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 67.890 Nachkommastellen, welche er am 20. November 2005 fehlerfrei in einer Zeit von 24 Stunden und 4 Minuten aufsagte. Er wird sowohl vom Guinness Book of Records als auch von der Pi World Ranking List als Rekordhalter geführt.

Der inoffizielle Weltrekord im Memorieren von Pi liegt inzwischen (Stand Oktober 2006) bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält Jan Harms mit 9.140 Stellen. Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach Geschmack des Gedächtniskünstlers, seinen Begabungen und der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen.

Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme, dazu Pi-Sport#Merkregeln.

Entwicklung der Nachkommastellen von π

Den derzeitigen Rekord (Stand: Januar 2010) der Berechnung von π hält der in Paris lebende Softwareentwickler Fabrice Bellard mit 2.699.999.990.000 (rund 2,7 Billionen) Stellen.[11] Für die Berechnung benutze Bellard einen handelsüblichen Core-i7-PC. Die Berechnung dauerte insgesamt 131 Tage. 103 Tage für Binärdarstellung, 13 Tage Rechenzeit für eine Plausibilitätsprüfung, 12 Tage in die Umrechnung in die Dezimalform und drei weitere Tage zum Verifizieren, damit man von einem korrekten Ergebnis mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit ausgehen kann.[12]

Mathematiker Jahr Dezimalstellen Methode
Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind) ca. 17. Jahrhundert v. Chr. 1 nur beispielhaft
Archimedes ca. 250 v. Chr. 2 96-Eck
Liu Hui nach 263 5 3072-Eck
Zu Chong-Zhi ca. 480 6
Dschamschid Masʿud al-Kaschi ca. 1427 15 3\cdot2^{28}-Eck
Ludolph van Ceulen 1596 20
Ludolph van Ceulen 1610 35 262-Eck
Jurij Vega 1794 126
William Shanks 1874 527
Levi B. Smith, John W. Wrench 1949 1.120
Daniel Shanks, John W. Wrench 1961 100.265
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura 1982 16.777.206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo 1987 134.217.700
David und Gregory Chudnovsky 1989 1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi 1997 51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi 1999 206.158.430.000
Yasumasa Kanada 2002 1.241.100.000.000 Berechnung: π = 48arctan(1 / 49) + 128arctan(1 / 57) − 20arctan(1 / 239) + 48arctan(1 / 110443)
Verifikation: π = 176arctan(1 / 57) + 28arctan(1 / 239) − 48arctan(1 / 682) + 96arctan(1 / 12943)[13]
Daisuke Takahashi 2009 2.576.980.370.000 Gauß-Legendre-Algorithmus
Fabrice Bellard 2010 2.699.999.990.000 Chudnovsky-Algorithmus
Shigeru Kondo, Alexander Yee[14] 2010 5.000.000.000.000 Berechnung: Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes Formel und Bellards Formel

Alternative Kreiszahl τ

Der amerikanische Mathematiker Bob Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins „The Mathematical Intelligencer“ vor, für π, statt wie bisher den Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend ) als grundlegende Konstante zu verwenden.[15] Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor 2 vor der Kreiszahl auftauche. Ein weiteres Argument ist die Tatsache, dass τ im Bogenmaß einen Vollwinkel darstellt, statt wie π einen halben Winkel, wodurch τ weniger willkürlich wirkt. Eine neu normierte Kreiszahl [16], für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben τ (Tau) vorschlugen,[17] würde diese Formeln verkürzen. Nach dieser Konvention gilt dann \tau = 2\pi \Leftrightarrow \pi = \frac{\tau}{2}. Der Vorschlag hat sich bislang nicht durchgesetzt.

Einzelnachweise

  1. pi to 10,000 digits. Peter Alfeld, Department of Mathematics, University of Utah; Eine Aufstellung der ersten 10 Millionen Stellen findet sich auf pibel.de
  2. siehe z. B. Test mit den ersten 100 Millionen Stellen, siehe http://www.physorg.com/pdf3886.pdf
  3. Siehe Euler's continued fraction formula: A continued fraction for π in der englischsprachigen Wikipedia.
  4. William Jones: Synopsis Palmariorum Matheseos: Or, a New Introduction to the Mathematics. Containing the Principles of Arithmetic & Geometry. Demonstrated, in a Short and Easie Method; with Their Application to the most Useful Parts thereof: As, Resolving of Equations, Infinite Series, Making the Logarithms; Interest, Simple and Compound; The Chief Properties of the Conic Sections; Mensuration of Surfaces and Solids; The Fundamental Precepts of Perspective; Trigonometry; The Laws of Motion apply'd to Mechanic Powers, Gunnery, &c. Design'd for the Benefit, and adapted to the Capacities of Beginners. London: Matthews, 1706, S. 243 noch: „1/2 Periphery (π)“ mit Angabe des Verhältnis von halbem Umfang zu Radius bzw. Umfang zu Durchmesser auf 100 Nachkommastellen genau; S. 263 dann: „3.14159, &c. = π. […] Whence in the Circle, any one of these three, [area] a, [circumference] c, [diameter] d, being given, the other two are found, as, d = c ÷ π = (a ÷ 1/4 π)1/2, c = d × π = (a × 4π)1/2, a = 1/4 π × d2 = c2 ÷ 4π.“
  5. William Oughtred: Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio. 1663. In: Clavis Mathematicae. Lichfield, Oxford 1667, S. 201–214, hier S. 203.
  6. Vgl. David Eugene Smith: History of Mathematics. Band 2. Dover, New York 1953, S. 312 (The Symbol π).
  7. Siehe: Borwein, Pi and the AGM
  8. Besonders offensichtlich ist das für die Hexadezimaldarstellung.
  9. Webseite von Bailey
  10. Das Lied auf YouTube mit Erklärung des Rhythmus in der Videobeschreibung, verfasst von einem der Gitarristen
  11. Pi Computation Record Pressemitteilung auf Bellards Website
  12. Pi-Berechnungsrekord auf handelsüblichem PC Meldung vom 8. Januar 2010 18:54
  13. Yasumasa Kanada: Current publisized world record of pi calculation is as in the followings. In: Kanada Laboratory home page. 20. Oktober 2005, abgerufen am 1. Mai 2010 (englisch).
  14. Computer-Tüftler haben Pi auf fünf Billionen Ziffern berechnet
  15. Bob Palais, “π is wrong!”, The Mathematical Intelligencer Springer-Verlag New York Volume 23, Number 3, 2001, pp. 7-8. Online verfügbar: PDF, 144Kb
  16. Spiegel online, abgerufen am 29. Juni 2011
  17. Tauday / The Tau Manifesto, abgerufen am 16. April 2011. Bob Palais selbst schlug zunächst ein doppeltes π vor, siehe Homepage von Bob Palais an der University of Utah, abgerufen am 15. April 2011

Literatur

  • Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66258-8 (mit CD-ROM, 1. Auflage 1998 - ohne CD-ROM ISBN 3-540-63419-3).
  • Petr Beckmann: A History of π. St. Martin's Press, New York City 1976, ISBN 978-0312381851 (englisch).
  • Ehrhard Behrends (Hrsg.): Π [Pi] und Co. Kaleidoskop der Mathematik. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2.
  • David Blatner: Π [Pi]. Magie einer Zahl. In: rororo Sachbuch. rororo 61176, Reinbek bei Hamburg 2001 (Originaltitel: The Joy of Π [pi], übersetzt von Hainer Kober), ISBN 3-499-61176-7.
  • Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. In: Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advan. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1998, ISBN 0-471-31515-X (englisch).
  • Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. In: rororo-Sachbuch. rororo 6692, Reinbek bei Hamburg 1974 / 1982, ISBN 3-499-16692-5.
  • Jean-Paul Delahaye: Π [Pi]. Die Story. Birkhäuser, Basel 1999, ISBN 3-7643-6056-9.
  • Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. berühmte Probleme und neue Lösungen. 2. Auflage. dtv-Taschenbuch 4591, München 1992 (Originaltitel: Mathematics, übersetzt von Doris Gerstner), ISBN 3-423-04591-4 (Lizenz des Birkhäuser-Verlags, Basel).
  • Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. In: Das moderne Sachbuch. 8., überarbeitete Auflage. Band 41, Ullstein, Berlin 1965 (ohne ISBN, früherer Titel: Du und der Zauber der Zahlen).
  • Karel Markowski: Die Berechnung der Zahl Π [(Pi)] aus Sinus- und Tangens-Intervallen. 1. Auflage. Trigon, Potsdam 2007, ISBN 978-3-9810752-1-2.
  • Jakow Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962.
  • Jürgen Petigk: Dreieckige Kreise oder wie man Π [Pi] mit einer Nadel bestimmen kann. Mathematische Rätsel, Training fürs Gehirn. Komet, Köln 2007, ISBN 978-3-89836-694-6 (1998 als Mathematik in der Freizeit bei Aulis-Verlag Deubner, Köln erschienen, ISBN 3-7614-1997-X).
  • Karl Helmut Schmidt: Π [Pi]. Geschichte und Algorithmen einer Zahl. Books on Demand GmbH, Norderstedt [2001], ISBN 3-8311-0809-9.
  • Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. Beck, München 1990, ISBN 3-406-02535-8 (Sonderausgabe in einem Band, 1990 auch als dtv-Taschenbuch 4398 / 4399, ISBN 3-423-04398-9 - Band 1 und ISBN 3-423-04399-7 - Band 1).

Weblinks

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