L. E. J. Brouwer

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L. E. J. Brouwer

Luitzen E. J. Brouwer (* 27. Februar 1881 in Overschie; ‚Ć 2. Dezember 1966 in Blaricum) war ein niederl√§ndischer Mathematiker. Er schuf grundlegende topologische Methoden und Begriffe und bewies bedeutende topologische S√§tze. Nach ihm ist der Brouwersche Fixpunktsatz benannt. Durch seine Begr√ľndung des Intuitionismus wurde er Protagonist im sogenannten Grundlagenstreit der Mathematik, der in den 1920er und 1930er Jahren seinen H√∂hepunkt fand.

Brouwers sp√§tere Arbeiten waren bahnbrechend f√ľr die Entwicklung der konstruktiven Mathematik. Formalisierungen seiner Anschauungen √ľber die Natur der Logik brachten die Disziplin der intuitionistischen Logik hervor. In seinen Schriften zur Philosophie der Mathematik besch√§ftigte er sich mit den Beziehungen zwischen Logik und Mathematik, besonders mit der Rolle von Existenzaussagen und der Verwendung des Prinzips des ausgeschlossenen Dritten in mathematischen Beweisen.

Inhaltsverzeichnis

Leben

Brouwer war der √§lteste dreier S√∂hne von Egbertus Luitzens Brouwer und Henderika Poutsma. Sein Vater war, wie einige Verwandte, Lehrer. Nach einigen Umz√ľgen und dem Schulbesuch in Hoorn und Haarlem erreichte der sechzehnj√§hrige Brouwer 1897 seinen Gymnasialabschluss und immatrikulierte an der Universit√§t Amsterdam. Im Zuge eines √úbertritts zur Remonstrantse Kerk im darauffolgenden Jahr ist ein idealistisches und solipsistisches religi√∂ses Credo Brouwers √ľberliefert.

An der Fakult√§t f√ľr Mathematik und Naturwissenschaften arbeiteten so bekannte Personen wie der Physiker Johannes Diederik Van der Waals und der Biologe Hugo de Vries. Die mathematischen Vorlesungen wurden haupts√§chlich von Diederik Johannes Korteweg gehalten. Korteweg, der sp√§ter auch Brouwers Dissertation akzeptieren sollte, bot ihm zwar Faszination, aber keine Inspiration. Er arbeitete in einem weiten Gebiet der angewandten Mathematik, haupts√§chlich f√ľr die Physik.

Unter den studentischen Bekanntschaften Brouwers sticht der Dichter Carel Adema van Scheltema hervor, mit dem Brouwer eine lebenslange Freundschaft verband. Brouwer selbst schrieb Gedichte und unterhielt stets literarische Interessen. Nach seiner Graduierung 1904 nahm er aufmerksam die seit kurzem propagierte Philosophie von G. J. P. Bolland zur Kenntnis, publizierte einige Artikel √ľber kulturelle philosophische Fragen und veranstaltete schlie√ülich 1905 in Delft eine Reihe von Vortr√§gen. Moralische und mystische Themen, Kontemplation, der Wegfall der Unschuld und die Sprache bilden ihren Inhalt; sie wurden unter dem Titel Leven, Kunst en Mystiek (Leben, Kunst und Mystik) herausgegeben.

Dissertation

Einfluss auf Brouwer √ľbte vor allem der Philosoph und Mathematiker Gerrit Mannoury aus. Der Privatdozent f√ľr die logischen Grundlagen der Mathematik sensibilisierte Brouwer f√ľr die neuen Entwicklungen der Mengenlehre und der logischen Notation von Giuseppe Peano und Bertrand Russell. Brouwer setzte sich damit ausf√ľhrlich in seiner Dissertation auseinander, die sich neben einem kleinen Teil aus mathematischen Resultaten ausschlie√ülich dem Unterschied von Logik und Mathematik widmet (Over de grondslagen der wiskunde, 1907; dt. √úber die Grundlagen der Mathematik).

1908 veröffentlichte Brouwer den Artikel De onbetrouwbaarheid der logische principes (dt. Die Unverlässlichkeit der logischen Prinzipien), wo er erstmals deutlich die Ablehnung des principium exclusii tertii formulierte. Er identifizierte dieses Prinzip auch mit dem Problem der Lösbarkeit eines jeden mathematischen Problems, was das Ziel des vom deutschen Mathematiker David Hilbert formulierten Programmes gewesen war.

Topologie

Der Besuch eines internationalen mathematischen Kongresses in Rom 1908 markiert den Beginn der eigentlichen topologischen Schaffensperiode in Brouwers Leben. Schon einige Jahre lang hatte er Arbeiten zur Geometrie ver√∂ffentlicht. Nun intensivierte sich diese Besch√§ftigung; die Grundlagen der Mathematik sollten erst sp√§ter wieder Ber√ľcksichtigung finden.

Die Schrift Zur Analysis Situs (1910) bezog sich ganz auf die Entwicklungen der damaligen mengentheoretischen Topologie. Brouwer erg√§nzte und verbesserte die Arbeiten von Arthur Moritz Sch√∂nflies, zu denen er etliche Gegenbeispiele angeben konnte. Er hatte zuvor schon √ľber Lie-Gruppen und Vektorfelder auf Fl√§chen publiziert. Dies wiederum f√ľhrte ihn zur Entdeckung des Abbildungsgrades. Er bewies den Satz von der Gebietsinvarianz und verallgemeinerte den jordanschen Kurvensatz auf n Dimensionen. Er kl√§rte auch den Begriff der Dimension auf. Daneben entwickelte er die Methode der simplizialen Approximation. Sein bekanntestes Resultat ist der brouwersche Fixpunktsatz.

Zahlreiche dieser Arbeiten wurden in der deutschen Zeitschrift Mathematische Annalen gedruckt. Der wichtigste Herausgeber war David Hilbert, der als wichtigster Mathematiker der damaligen Epoche gilt und mit dem Brouwer ein freundschaftliches Verhältnis aufnahm.

Intuitionismus

1912 wurde Brouwer Ordinarius an der Universit√§t Amsterdam. Seine Antrittsvorlesung nahm wieder Gedanken aus seiner Dissertation auf. Er referierte √ľber Intuitionismus und Formalismus und setzte sich gegen den st√§rker werdenden Trend zur Formalisierung. Insbesondere griff er die Axiomatisierung der Mengenlehre von Ernst Zermelo an. 1914 wurde Brouwer zu einem Mitherausgeber der Mathematischen Annalen bestellt; deshalb und auch wegen seiner Lehrt√§tigkeit kam es zu einer Stagnation von Brouwers Forschung. Er wandte sich einem philosophischen Kreis zu, der Signifik, die von Lady Victora Welby gegr√ľndet worden war. Spiritus Rector der Gesellschaft war Mannoury, Brouwers Freund und Lehrer. Die Signifik strebte eine umfassende Sprachreform an, die jedoch nicht zustandekam.

In der Zeit des ersten Weltkrieges gestaltete Brouwer eine Mengenlehre nach intuitionistischen Prinzipien. Seine Begr√ľndung der Mengenlehre unabh√§ngig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten (1918) ist eine technische Arbeit, frei von der Polemik seiner Dissertation, und versucht, auf einer konstruktiven Basis die Analysis zu begr√ľnden; weitere derartige Arbeiten folgen und bauen auf dieser Studie auf.

Hermann Weyl hatte √§hnliche Versuche unternommen, das Kontinuum anders als mit den von Richard Dedekind eingef√ľhrten Schnitten zu begr√ľnden. Weyl nahm Brouwers Schriften begeistert auf und verteidigte Brouwers konstruktive Basis. Vornehmlich Weyls Betreiben entfachte den Grundlagenstreit in der Mathematik. In einem √§u√üerst provokativen und einflussreichen Artikel (√úber die neue Grundlagenkrise der Mathematik, 1921) machte er Brouwers Ideen einem breiten Publikum bekannt.

Grundlagenstreit

Hilbert war √ľber diese Entwicklung alarmiert, er f√ľhlte sich allerdings weiter angespornt, die logischen Grundlagen der Mathematik zu kl√§ren. Er entwickelte seine Beweistheorie und best√§tigte seine Ansichten √ľber Axiomatisierung und Grundlegung in der Logik, wo das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten selbstverst√§ndlich benutzt wurde und Konstruierbarkeit f√ľr eine Existenzannahme nicht ausschlaggebend war (vorausgesetzt war nur die Konsistenz der Axiome).

Brouwer war in den 1920er Jahren √ľber weite Strecken damit besch√§ftigt, klassische Resultate der Mathematik neu zu beweisen und intuitionistisch umzuformulieren; er entwarf eine neue Funktionentheorie. Andererseits hatte ihm die internationale Wissenschaftspolitik nach dem Krieg, die Gr√ľndung des Conseil International de Recherches und die Union Math√©matique Internationale, Z√ľndstoff bereitet; Brouwer hatte fr√ľh und erfolglos versucht, ihren Boykott gegen deutsche Wissenschaftler aufzuheben. Als nun Jahre sp√§ter (1928) von diesen Gesellschaften ein internationaler Kongress in Bologna abgehalten wurde, rief Brouwer die nun eingeladenen Deutschen ihrerseits zum Boykott auf. Von Hilbert, der an der Konferenz teilnahm, wurde dies als unzul√§ssige Einmischung in deutsche Angelegenheiten und als Schaden f√ľr die Wissenschaft angesehen.

Kurz darauf lie√ü Hilbert wegen dieser Aff√§re und vor allem den Differenzen √ľber die Grundlagen Brouwer von der Herausgeberschaft der Mathematischen Annalen entfernen. Dieser √ľberraschende Schlag (der nicht nur von Einstein, sondern auch von anderen abgelehnt wurde) brach das einst freundschaftliche Verh√§ltnis zwischen den beiden Mathematikern. Brouwer selbst f√ľhrte ihn darauf zur√ľck, dass er einem fr√ľheren Ruf (1919) nach G√∂ttingen, dem Sitz des Hilbertkreises, nicht gefolgt war.

Die Diskussion um die Grundlagen der Mathematik wurde indes von anderer Seite intensiv fortgef√ľhrt. Hesseling[1] spricht von √ľber 250 Arbeiten, die in den zwanziger und drei√üiger Jahren auf die Auseinandersetzung reagierten.

1930 bis 1966

√Ėffentliche Vorlesungen in den Jahren 1927 und 1928 in Berlin respektive Wien waren vorerst die letzten beiden gro√üen √∂ffentlichen Auftritte. Nach dem Eklat um die Mathematischen Annalen war Brouwer in der mathematischen √Ėffentlichkeit nicht pr√§sent und publizierte kaum. Er engagierte sich in der Lokalpolitik und besch√§ftigte sich mit dem Fehlschlag einer privaten Investition.

Die Jahre nach dem Zweiten Weltkrieg waren gekennzeichnet durch Differenzen Brouwers in Amsterdam. Die von ihm gegr√ľndete Zeitschrift Compositio Mathematica wurde seinem Einfluss entzogen, ein Forschungszentrum unabh√§ngig von ihm gegr√ľndet. Arend Heyting trat schlie√ülich seine mathematische Nachfolge an. Brouwer war 1951 emeritiert worden.

Vortragsreisen f√ľhrten Brouwer in die USA, nach Kanada und S√ľdafrika. Er gab in Europa verschiedene Vorlesungen, hervorzuheben ist die l√§ngere Serie in Cambridge. Die sp√§teren Publikationen brachten keine wesentlichen neuen Resultate, kreisen jedoch um den Begriff des kreativen Subjekts und weisen einen solipsistischen Eindruck auf.

Brouwer starb 1966, sieben Jahre nach dem Tod seiner Frau Lize Brouwer-de Holl, in Blaricum bei einem Verkehrsunfall. Sie hatten keine Kinder.

Brouwer war Mitglied zahlreicher wissenschaftlicher Gesellschaften (u. a. der Royal Society of London), Ehrendoktorate verliehen ihm der Universitäten Oslo (1936) und Cambridge (1955).

Brouwers Intuitionismus

Philosophie

Brouwer lehnte akademisch betriebene Philosophie ab. Vielfach dr√ľckt er sich gegen philosophisches Vern√ľnfteln aus; er besa√ü eine Skepsis gegen professionelle Philosophen wie G. J. P. Bolland und versuchte, die Integration des Faches Philosophie in den naturwissenschaftlichen Lehrplan zu verhindern.[2] Schon in Leven, Kunst en Mystiek mokiert er sich √ľber vorgebliche Kl√§rungen der Epistemologie.

Dennoch ging seinen Versuchen, Mathematik auf Intuition zu gr√ľnden, und dem Misstrauen gegen√ľber Grundlegung in der Logik eine ausgedehnte philosophische Reflexion voraus. Brouwers Philosophie ist subjektivistisch und setzt mit einer Erw√§gung der mentalen Konstitution des Menschen ein. Erst graduell entwickelte Brouwer eine ausgereifte Sicht; was rudiment√§r in fr√ľhen √úberlieferungen erhalten ist, wird sp√§ter pr√§zise.

Brouwers Philosophie besch√§ftigt sich mit den mentalen Funktionen des Subjekts. Die dadurch gewonnene Sichtweise wird nicht nur auf die Grundlegung der Mathematik, sondern auch auf das Leben angewandt. In fr√ľheren Schriften ergeben sich dadurch moralische Untert√∂ne.

Erfahrungen von transzendentaler Wahrheit, die Wiedervereinigung der Welt mit dem Selbst, das Streben nach einem freien Leben, Abkehr von √∂konomischen Kategorien, die Freiheit im Inneren, Abfall des Menschen von der nat√ľrlichen Ordnung und Brouwers Ansichten √ľber die sprachliche √Ąu√üerung mystischer Erfahrungen etwa in der Kunst bilden den thematischen Block von Leven, Kunst en Mystiek. Als philosophisches Argument wurde das Buch kaum wahrgenommen. Trotzdem lassen sich Spuren der sp√§teren Differenzierungen darin bemerken.

In der Selbstreflexion, in der Mystik, erlebe man die Freiheit. Die √§u√üere Realit√§t wird dagegen als traurige Welt abgeschw√§cht. Brouwer √§u√üerst sich kritisch gegen√ľber der Sprache, die als Mittel des Ausdrucks der inneren Realit√§t schwerlich in Frage kommt. Gleichl√§ufig mit der Sprache ist der Intellekt. Er bewirkt auch den Abfall des Menschen. Die urspr√ľngliche Kondition des Menschen sei durch Zivilisation (begr√ľndet durch den Intellekt) besch√§digt worden; die Kultur scheint als Spezialfall einer menschlichen S√ľndigkeit auf. ‚ÄĒ Durchwegs erhebt Brouwer die kritische Stimme gegen die Annahme einer allgemeing√ľltigen und unabh√§ngigen Realit√§t, welche die Menschen und ihren Intellekt aneinander binde. Von einer solchen Realit√§t stammt auch nicht die Bedeutung der Sprache. Die Sprache kann erst in Anbetracht des jeweiligen Willens verstanden werden und ist Ausdruck einer inneren Realit√§t. Das Werk ist zu einem Teil eine Reaktion auf den Hegelianer G. J. P. Bolland. Es sollte eine Gegendarstellung zu dessen rhetorisch flammenden Auftritten sein.

Einige Schriften Brouwers, darunter auch solche zur intuitionistischen Mathematik haben einen moralisierenden oder pessimistischen Anklang; er spricht dabei auch von S√ľnde oder S√ľndhaftigkeit. Brouwers Bezeichnung ‚ÄěS√ľnde‚Äú l√§sst sich jedoch als Bewusstseinszustand des Zentralisierens und Ver√§u√üerlichens beschreiben: S√ľnde deutet den √úbergang der freien, ungerichteten Kontemplation im Selbst zur Konzentration auf ganz bestimmte Aspekte sowie die Verlagerung der erfahrenen Konzepte in ein unabh√§ngiges √Ąu√üeres an. In einer kurzen privaten Note nannte er Mathematik, ihre Anwendung und die Intuition der Zeit (siehe unten) als s√ľndhaft.[3]

In späteren Schriften unterschied Brouwer drei Phasen des Bewusstseins:[4]

  1. die naive Phase, die mit der Schaffung der Welt der Sinnesempfindungen entsteht
  2. die isolierte kausale Phase der wissenschaftlichen Aktivität
  3. die soziale Phase des sozialen Handlungs und der Sprache

Das Bewusstsein der naiven Phase empf√§ngt in der Stille spontan Empfindungen. Es verkn√ľpft sie nicht, dazwischen bleibt Stille. Reaktionen auf diese Empfindungen sind direkt, spontan. Es gibt keine Aktivit√§t des Willens.

Im Gefolge des Wechsels der Empfindungen beginnt das Bewusstsein, eine Sensation als vergangen zur√ľckzuhalten und Vergangenes vom Gegenw√§rtigen zu unterscheiden. Das Bewusstsein erhebt sich also √ľber den Wechsel der beiden Empfindungen und wird Geist. (Im Niederl√§ndischen schreibt Brouwer daf√ľr das englische mind.).

Das Bewusstsein identifiziert nun verschiedene Sensationen und deren Komplexe, um eine Aufeinanderfolge zu kreieren. Spezialfälle solch einer aufeinanderfolgenden geistigen Wahrnehmung sind Dinge und Kausalfolgen.

In der zweiten Phase werden Dinge bereits erkannt. Ein √úbergang vom Geist zum Willen passiert, wenn Objekte der Sensation so gesehen werden, dass sie kausal aufeinander folgen. Dies ist der Akt des Intellekts und kennzeichnet die wissenschaftliche Betrachtungsweise, Brouwer nennt es auch die mathematische Sicht.

Der √úbergang zum freien Willen, zum handelnden Menschen erfolgt durch den Vorgang, mit dem ein Wechsel der Eindr√ľcke durch Handeln bewusst erlangt wird: die zielgerichtete Handlung. Die dritte und soziale Phase umfasst nun alle Ph√§nomene, in denen der Wille selbst in seiner Richtung ge√§ndert wird: etwa durch Befehl oder Suggestion. Gesetze beziehen daraus ihre Wirkung.. Sprache stellt f√ľr Brouwer urspr√ľnglich nichts anderes dar als die √úbertragung des Willens auf andere. Ausgehend von einfachen Gesten und primitiven Lauten brachte die Entwicklung der menschlichen Gesellschaft eine ausgefeiltere Sprache mit sich, die auch als Ged√§chtnishilfe Verwendung findet.

Philosophie der Mathematik

Brouwers Dissertation Over de grondslagen der wiskunde (1907) legt das Grundelement dar, das ihm als Basis f√ľr alle weiteren Schriften zur Philosophie der Mathematik dienen sollte. Es handelt sich um die Ur-Intuition der Zeit.

Durch die Ur-Intuition der Zeit versucht Brouwer zu einem genetischen Verst√§ndnis der Mathematik in der Erfahrung zu gelangen. Letztlich bedeutet f√ľr Brouwer Mathematik nichts als eine exakte T√§tigkeit des Geistes, vor aller Sprache, die aus mentalen Konstruktionen besteht. Die M√∂glichkeit geistiger Konstruktionen wird durch die Ur-Intuition der Zeit gew√§hrleistet.

The primordial phenomenon is no more than the intuition of time, in which repetition of ‚Äėthing-in-time and again thing‚Äô is possible, but in which (and this is a phenomenon outside mathematics) a sensation can fall apart in component qualities, so that a single moment can be lived-through as a sequence of qualitatively different things.[5]

Der Vorgang ist nichts anders als die oben beschriebene Verkn√ľpfung zweier Empfindungen im Bewusstsein. Im Bewusstsein entsteht eine Zweiheit, die zwei Entit√§ten sowie die Verbindung dazwischen beinhaltet. Durch dieses dem Menschen eigene Verm√∂gen k√∂nnen Dinge, Kausalfolgen, Relationen in der Natur gesehen werden. Sinnesreize werden durch die eigentlich mathematische Ur-Intuition der Zeit Perzeptionen.[6] Jedes wissenschaftliche Experiment gr√ľnde sich auch in dieser Intuition der Zweiheit.

Ungleich Immanuel Kant betont Brouwer, dass die Intuition der Zeit keine permanente Eigenschaft der menschlichen Denkungsart ist, sondern erst durch ein Ereignis vermittelt wird, von dem an das Bewusstsein frei zu handeln vermag. In der naiven Phase zuvor werden weder Dinge noch Kausalität erkannt.

Weiters fallen in der Ur-Intuition die Eigenschaften diskret und kontinuierlich nicht auseinander: sie sind ineinander integriert und k√∂nnen nicht gegenseitig ausgezeichnet werden. Dies unterscheidet Brouwer besonders von Henri Bergson, der sich um eine Differenzierung des Diskreten (als einzelnen Zeitpunkten) vom Kontinuierlichen bem√ľht.

Wissenschaftliche messbare Zeit ist f√ľr Brouwer ein abgeleitetes Ph√§nomen. Zahl und Ma√ü sind f√ľr ihn vorerst isoliert. Bei der Ur-Intuition der Zeit geht es ihm nur um die Zweiheit, die aus einer Zeitabfolge gesch√∂pft werden kann.

Konstruktion

Die Ur-Intuition Brouwers bezeichnet die Grundlage des Verstandesverm√∂gens. Das Bewusstsein kann durch den Inhalt der Sinnesreize und die mathematische Intuition Dinge schaffen und so die √§u√üere Welt gleichsam konstruieren (Ver√§u√üerlichung). Zweitens aber kann der Geist neue, k√ľnstliche Entit√§ten schaffen, indem er blo√ü Elemente verkn√ľpft, die ausschlie√ülich in der Ur-Intuition bestehen. Dies ist reine Mathematik und unabh√§ngig von Erfahrung. Konstruktive Elemente, die von der Ur-Intuition stammen, sind etwa: Einheit, Kontinuum, Wiederholung.

Mathematisches Denken besteht f√ľr Brouwer in dieser Konstruktion (niederl√§ndisch gebouw, Geb√§ude), die auf Elemente der Ur-Intuition beschr√§nkt ist. Mathematisch existieren die so hergestellten Objekte. Der Vorgang der Konstruktion ist aber an das individuelle Bewusstsein gebunden; Aufzeichnungen dieses Vorganges in einem symbolischen Medium k√∂nnen ihn nicht ersetzen. Sie eignen sich etwa zur Exposition. Brouwer war h√∂chst skeptisch, selbst in seinen Schriften spezielle Symbole zu verwenden.

Brouwer grenzt dabei dreierlei voneinander ab:[7]

  • Wissen, das aus erster Hand gewonnen und individuell erfasst wird
  • seine Aufzeichnung in einem symbolischen, physikalisches Medium, als Ged√§chtnishilfe
  • die interpersonelle Kommunikation dieser Symbole und die Aufzeichnung des kollektiven Wissens

Die intuitive Konstruktion selbst ist nicht sprachlich, sondern bleibt eine mentale Realit√§t, auf die Ur-Intuition der Zeit gegr√ľndet. Jegliche Analyse des Wissens sollte nach Brouwer auf den ersten Punkt gerichtet bleiben.

Hier setzt Brouwers scharfe Kritik an den damals g√§ngigen Philosophien der Mathematik ein. Nirgends wurde die Sprache deutlich von der Mathematik getrennt. Selbst der Intuitionismus der franz√∂sischen Mathematiker Henri Poincar√©, √Čmile Borel und Henri Lebesgue, die in Opposition zum Logizismus und Formalismus auftraten, brachte keine so scharfe Differenzierung. Im Vergleich zu Brouwer verwenden sie den Begriff der Intuition vage und bauten darauf keine systematische Theorie. Insbesondere schien die Intuition nur f√ľr das Postulat der nat√ľrlichen Reihe ganzer Zahlen auszureichen, nicht aber f√ľr die reellen Zahlen, deren Dedekind‚Äôsche Einf√ľhrung Brouwer f√ľr eine blo√ü sprachlich festgesetzte Sache hielt. Brouwer nannte sp√§ter seine Trennung von Mathematik und mathematischer Sprache ‚Äědie erste Handlung des Intuitionismus‚Äú.

Anwendung der Mathematik

Im Beginn sei die Mathematik aus dem Sprung vom Mittel zum Zweck, in der dritten Phase des Bewusstseins also, ausgegangen. Eine bewusste Handlung baut auf der vorherigen Entdeckung einer Regularit√§t auf. Greift man selbst in das Geschehen ein, erh√§lt man allerdings durch ein gewisses Mittel nicht exakt den gesetzten Zweck. Im Gefolge der nun einsetzenden Verfeinerung der Mittel entdeckt man in einem konzentrierten Bereich noch mehr Regularit√§ten. Endlich kann auch ein Bereich der Ph√§nomenen ausgesondert werden, die unabh√§ngig von anderen intellektuell behandelt werden k√∂nnen: Mathematik. Diese Regularit√§ten (oder Kausalfolgen) k√∂nnen √ľberall dort angewendet werden, wo auch nat√ľrlich eine solche Regularit√§t gesehen wird. Im Versuch, die Schritte zu verfeinern und Regularit√§t zu isolieren, kann man sich auch virtueller Kausalfolgen bedienen, die m√∂glicherweise zuletzt einfacher umgestaltet werden k√∂nnen und auch in konkreten F√§llen wieder passen. Ein Beispiel sei die euklidische Geometrie, die aus solchen virtuellen Kausalfolgen besteht.

Naturwissenschaften wiederum finden ihren Ursprung ausschlie√ülich in der Anwendung der Mathematik. Die kantischen Ansichten von der A-priorit√§t von Zeit und Raum diskutierend, bemerkt Brouwer, dass man ‚Äď als unabh√§ngig von Erfahrung ‚Äď wohl die ganze Mathematik (auch euklidische und nicht-euklidische Geometrie) als a-priorisch verstehen m√ľsse. Andererseits gebe es nur eines, woraus die Mathematik konstruiert werde und was sie auch mit den Naturwissenschaften verbindet, n√§mlich die Ur-Intuition der Zeit. Deshalb k√∂nne man gleichwohl behaupten, dass letztlich das einzige a-priorische Element in der Wissenschaft die Zeit ist. Brouwer verwirft in seiner Dissertation im Anschluss die kantischen Raumargumente.

Durch den strengen Sinn, in dem Brouwer die Intuition versteht, ist auch klar, dass damit keinesfalls ein ‚Äěvages Gef√ľhl‚Äú bezeichnet wird. Aus seinen Darlegungen zum Raum wird klar, dass im Gegensatz zur etymologischen Konnotation sich hinter Brouwers Intuition auch keine visuelle oder r√§umliche Metapher verbirgt. Schlie√ülich versteht er darunter auch nicht eine offensichtliche Wahrheit, sondern eben das blo√üe Verm√∂gen, ausgehend von einer Zweiheit, eine Regularit√§t zu gewahren.

Sprache

Der Intuitionismus Brouwers h√§lt Sprache und Gedanken urspr√ľnglich f√ľr getrennt. Der subjektive Gedanke geht der Sprache voraus. Diese wiederum ist anf√§nglich ein rein soziales Ph√§nomen, verwendet, um Handlungen anderer zu beeinflussen. Die W√∂rter, die dabei Dingen beigelegt werden, beziehen sich nicht auf eine Realit√§t im √Ąu√üeren, sondern auf die Erfahrung des Subjekts. Sie sind daher nicht unabh√§ngig von der ‚Äěkausalen‚Äú Aufmerksamkeit. Das Verstehen eines Wortes ist insofern ein Reflex, der allerdings seinen Ursprung in der Ur-Intuition der Zeit besitzt.

Auch wenn die Sprache ein urspr√ľnglich soziales Ph√§nomen ist, um den Willen anderer zu beeinflussen, findet es sich aus Gewohnheit auch im einzelnen Subjekt selbst: Die Sprache spielt dabei eine Rolle im reflektierenden Denken oder als mnemotechnische Hilfe. Die Sprache ist ebenso das Mittel, gedankliche Konstruktionen mitzuteilen; in dieser Hinsicht ist die Sprache aber defekt und instabil. Der Nachvollzug eines Gedankens, seine Verifikation in einem anderen Subjekt kann etwa zu unterschiedlichen Ergebnissen f√ľhren. Rationale Erw√§gungen jedoch (beispielsweise mathematische) sind, zumindest hypothetisch, gleich strukturiert, und √ľber diese Schnittstelle ist gegenseitiges Verst√§ndnis m√∂glich. Im √úbrigen w√§re Exaktheit nur in Einsamkeit und mit unbeschr√§nktem Ged√§chtnis m√∂glich.

Brouwers fr√ľhes Werk Leven, Kunst en Mystiek polemisiert gegen das √ľbertriebene Vertrauen in die Sprache in philosophischen Abhandlungen; l√§cherlich sei auch die Anwendung der Sprache dort, wo keine √úbereinstimmung des Willens gegeben sei.

Brouwer schloss sich sp√§ter dem Signifischen Kreis um Gerrit Mannoury an. Die Mitglieder zielten darauf ab, durch Verbesserungen der Sprache mehr Verst√§ndnis der Menschen untereinander herbeizuf√ľhren. Dabei sollte die zeitliche Entwicklung der Sprache von primitiven Lauten bis zu anspruchsvollem Niveau mitber√ľcksichtigt werden. Brouwer selbst wollte einerseits W√∂rter kreieren, die den westlichen Gesellschaften spirituelle Werte vermittelten, andererseits aufzeigen, wo diese Werte nur scheinbar in Worten aufscheinen, die f√ľr andere Ideale stehen. Zu diesen Vorhaben kam es nicht.

Ebenso wie sich die Sprache nicht auf eine Welt von Objekten unabh√§ngig von der pers√∂nlichen Erfahrung bezieht, so bezieht sich Wahrheit nicht auf eine √§u√üerliche Realit√§t. Wahrheit wird vielmehr ebenso vom Subjekt erfahren und bedeutet nichts anderes als Pr√§senz von Sinn. So besteht die Wahrheit einer √Ąu√üerung in nichts anderem als in der Tatsache, dass ihr Inhalt dem Bewusstsein des Subjekts erschienen ist. Deshalb sind auch Erwartungen von zuk√ľnftiger Erfahrung oder Aussagen √ľber die Erfahrung anderer nur wahr, insofern es Antizipationen oder Hypothesen sind. Durch einen Satz wird nur Wahrheit √ľbermittelt, wenn die Wahrheit auch erfahren wird.

Logik

Seit der Arbeit an seiner Dissertation versuchte Brouwer, einen originären Beitrag zu den Grundlagen der Mathematik zu bringen. Durch seinen Lehrer Gerrit Mannoury war er auf die Tendenz zur Axiomatisierung und Formalisierung aufmerksam gemacht worden. Im Anschluss an Gottlob Frege wurde die Logik als Disziplin weiterentwickelt. Giuseppe Peano und Bertrand Russell schufen eine neue symbolische Notation, Georg Cantor schuf die Mengenlehre, Ernst Zermelo axiomatisierte sie und bewies den Wohlordnungssatz.

Man war zur Auffassung gekommen, dass die neu entdeckte Logik die Grundlage der Mathematik darstelle. Hilbert axiomatisierte die Geometrie und gr√ľndete sie auf gewisse S√§tze, in denen ihre Grundbegriffe in gewissen Relationen standen. Er definierte sie nicht mehr explizit und lie√ü die zugrundeliegende Interpretation offen. Einige Jahre sp√§ter, nachdem die Axiomatisierung auch anderswo erfolgreich angewendet werden konnte, rief er auf, die ganze Mathematik axiomatisch zu fundieren. Damit den dadurch entstehenden Theorien Sicherheit innewohne, sollte in einem umfangreichen Programm die Widerspruchsfreiheit der wichtigen Axiomensysteme auf besondere Weise erwiesen werden.

Die Ideen dazu waren schon zur Zeit bekannt, als Brouwer Over de grondlsagen der wiskunde schrieb.[8] Brouwer unterzog die entsprechende Arbeit Hilberts einer Analyse und kam zur Auffassung, der Großteil sei ein unmathematischer unbewusster Akt.[9] Brouwers Zergliederung ergibt acht Stufen, er erkennt drei Systeme der Mathematik darin, die einmal mit, dann ohne Sprache auftreten. Folgendes Schema erhellt seinen Grundgedanken und beschreibt den Übergang von Mathematik erster Ordnung zur Mathematik zweiter Ordnung:[10]

  1. Aufzeichnung mathematischer Konstruktionen (Sprache der Mathematik)
  2. Wahrnehmung einer Struktur darin, bewusste Verwendung dieser Struktur (klassische Logik)
  3. Isolation von Symbolen und Struktur, Abstraktion vom mathematischen Inhalt, formale Konstruktionen (formale Logik)

Dies ist die Stufe, die Peano erreicht hat. Hilbert, der vermittels seiner Beweistheorie mit finiten Methoden die Widerspruchsfreiheit etablieren wollte, hätte sich, wie Brouwer analysiert, auf der dritten Stufe befunden. Hilberts Programm wurde aufgrund der Resultate von Kurt Gödel als unplausibel aufgegeben.

F√ľr Brouwer besteht die Mathematik nur aus der ersten Stufe: mentale Konstruktionen vor jeder Sprache. Die Widerspruchsfreiheit, welche durch das Hilbertprogramm etabliert werden sollte, tat er als ein blo√ü sprachliches Ph√§nomen ab, sie habe daher keine mathematische Relevanz. Das tats√§chliche Problem machte Brouwer darin aus, dass eine rein sprachliche Argumentation keine mentale Konstruktion zur Verf√ľgung stellt. Zu diesen Ph√§nomenen rechnete er die ‚Äěpathologischen Geometrien Hilberts‚Äú, die ‚Äělogischen Konstruktionen, ganz gewiss diejenigen von Bolyai, m√∂glicherweise auch Lobatcheffsky‚Äú, Cantors transfinite Zahlen und Dedekind-Schnitte.[11]

Die logische Sprache selbst n√§mlich bezieht sich nicht immer unmittelbar auf eine gleich strukturierte mentale Konstruktion. Es kann etwa vorkommen, dass auch dort, wo in die mathematische Konstruktion die Relation vom Teil zum Ganzen (die beispielsweise in Brouwers intuitionistischer Mengenlehre als das Grundph√§nomen auftritt) nicht eingeht, beim w√∂rtlichen Ausdruck die echte Relation gegen die Relation Teil-Ganzes getauscht wird. (Brouwer hat hier den Syllogismus im Auge.) Solche Ph√§nomene m√∂gen aufgrund der langen Tradition der logischen Ausdr√ľcke aufkommen; gleichwohl w√§re eine andere Sprache der Verst√§ndigung bei der gleichen Organisation des Intellekts m√∂glich und eine Frage der Kultur.[12]

Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Regularit√§ten der Sprache, die die Mathematik begleitet, wie sie von Aristoteles aufgegriffen und klassifiziert wurden sind f√ľr Brouwer blo√üe Muster; sie geben nicht notwendig eine urspr√ľngliche Konstruktion an. Umgekehrt allerdings l√§sst sich auf jede mathematische Konstruktion etwa das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten anwenden und f√ľhrt niemals zu einer Kontradiktion. In der Arbeit De onbetrouwbaarheid der logische principes (1908) legte Brouwer dar, warum man keinen Grund habe, das Prinzip f√ľr wahr zu halten.

Brouwer verwendete hierzu Existenzaussagen wie: ‚ÄěEs gibt in der Dezimalentwicklung von ő† eine Folge 012‚Ķ9.‚Äú Laut Brouwer best√ľnde kein Grund, hier das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten f√ľr wahr zu halten, da man keine M√∂glichkeit ins Auge fassen k√∂nnte, dies zu √ľberpr√ľfen. Brouwer hielt das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten √§quivalent mit der Behauptung, dass jedes mathematische Problem l√∂sbar sei. Weitere ‚Äěschwache Gegenbeispiele‚Äú, die auf damals ungel√∂sten Problemen beruhen, sind im Brouwer-Eintrag der Stanford Encyclopedia of Philosophy angegeben. Sp√§ter ersetzte Brouwer tats√§chlich die Dichotomie von wahr und falsch in die vier M√∂glichkeiten: dass die Aussage als wahr oder falsch bewiesen ist, weiters, falls kein Beweis vorliegt, dass ein Algorithmus f√ľr die Entscheidung auf Wahrheit oder Falschheit bekannt ist, und viertens, dass auch ein solcher Algorithmus nicht bekannt ist.

Nachdem Brouwer eine intuistische Mengenlehre aufgestellt hatte, konnte er auch ‚Äěstarke Gegenbeispiele angeben‚Äú (siehe unten).

Negation

Die fruchtbarste Anwendung von Brouwers Anschauungen geht allerdings auf einige Zeilen seiner Arbeit Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe (1925) zur√ľck. Dort versucht Brouwer unter anderem, intuitionistische Korrekturen f√ľr die Negation anzugeben und skizziert dabei die Grundlagen einer neuen Disziplin, der intuitionistischen Logik. Brouwer spricht dabei von Absurdit√§t und Korrektheit anstelle von wahr und falsch und stellt einige Prinzipien auf, wobei er die doppelte Negation intuitionistisch interpretiert:

  • Brouwer verwirft das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten ( A\lor \neg A)
  • Insbesondere verwirft er einen Spezialfall davon, n√§mlich das Prinzip der Reziprozit√§t von Komplement√§rmengen (siehe die Gleichung: A \cup A^{{\rm c}}=U im Artikel Komplement (Mengenlehre))
  • Also wird verworfen: A\leftrightarrow\neg\neg A
  • Beibehalten wird: A\to\neg\neg A
  • Bewiesen wird jedoch: Absurdit√§t-der-Absurdit√§t-der-Absurdit√§t ist √§quivalent mit Absurdit√§t. Bei einer dreifachen Negation kann man zwei Negationen demnach k√ľrzen. ( \neg\neg\neg A\leftrightarrow \neg A)

Arend Heyting war der erste, der eine derartige Logik formalisierte. Von Brouwer selbst wurde der Versuch zwar unterst√ľtzt, er betrachtete die Aufgabe freilich als steril. Die intuitionistische Erw√§gung Brouwers st√ľtzt sich in der entsprechenden mentalen Konstruktion auf das Verh√§ltnis von Teil und Ganzem, etwa um den klassischen Modus Ponens einzusehen. Kompliziertere Aussagen k√∂nnen auch √ľber eine Interpretation der Spezies (siehe unten) gewonnen werden.

Gegen Ende seines Lebens sprach sich Brouwer zunehmend wohlwollender gegen Formalisierungen aus. Er lobte beispielsweise die Algebra von George Boole und dr√ľckte seine √§sthetische Wertsch√§tzung daf√ľr aus.

Intuitionistische Mathematik

Aus der mathematischen Ur-Intuition lie√üen sich die ganzen und rationalen Zahlen konstruieren. Das Kontinuum ist f√ľr Brouwer durch die Erfahrung des ‚ÄěZwischen‚Äú der Zweiheit der Ur-Intuition gegeben. Brouwer lehnt hingegen die transfiniten Ordinalzahlen Cantors ab, da sie sich nicht in einer Konstruktion fassen lie√üen.

Das Ziel von Brouwers Mathematik war die Entwicklung einer Theorie der reellen Zahlen, des Kontinuums. Erst nach seinen topologischen Erfolgen, kehrt Brouwer zur√ľck zur Mengenlehre und ver√∂ffentlicht 1918 die Begr√ľndung der Mengenlehre unabh√§ngig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Brouwer nennt den darin vollzogenen Schritt sp√§ter den ‚Äězweiten Akt des Intuitionismus‚Äú. Ungleich seinen vorigen Anschauungen l√§sst er n√§mlich nun zur Konstruktion von Mengen (spreads im Englischen) nicht nur Punkte zu, die durch endlich viele Angaben oder durch ein Gesetz zur Konstruktion anzugeben w√§ren, sondern auch sogenannte Wahlfolgen. Wahlfolgen beinhalten ein Element der Willk√ľr und k√∂nnen nicht vollst√§ndig angegeben werden. Das Konzept der Wahlfolgen geht in die Definition einer Punktmenge (spread) ein:

Zun√§chst wird eine unbegrenzte Folge von Zeichen festgelegt mittels eines ersten Zeichens und eines Gesetzes, da aus jedem dieser Zeichenreihen das n√§chstfolgende herleitet. Wir w√§hlen z.B. die Folge ő∂ der ‚ÄěNummern‚Äú 1, 2, 3,¬†‚Ķ Sodann ist eine Menge ein Gesetz, auf Grund dessen, wenn immer wieder eine willk√ľrliche Nummer gew√§hlt wird, jede dieser Wahlen entweder ein bestimmtes Zeichen mit oder ohne Beendigung des Prozesses erzeugt, oder aber die Hemmung des Prozesses mitsamt der definitiven Vernichtung seines Resultates herbeif√ľhrt, wobei f√ľr jedes n > 1 nach jeder unbeendigten und ungehemmten Folge von n ‚Äď 1 Wahlen wenigstens eine Nummer angegeben werden kann, die, wenn sie als n-te Nummer gew√§hlt wird, nicht die Hemmung des Prozesses herbeif√ľhrt.[13]

Ein reeller Punkt entsteht, wenn dabei ineinander geschachtelte Intervalle ausgewählt werden. Punktmengen sind besondere Arten von Punktspezies. Eine Punktspezies wird von Brouwer als eine Eigenschaft definiert, die nur einem Punkt zukommen kann; die Definition lässt sich auch verallgemeinern zu höheren Spezies, die Eigenschaften von Spezies sind. Spezies erlauben auch klassische Operationen der Mengenlehre (etwa Durchschnitt, Vereinigung); eine konstruktive Einschränkung besteht wie oben (Negation) bemerkt, bei den komplementären Spezies.

Die strukturellen Theoreme √ľber diese Mengen (spreads) sind das Fan Theorem und das Bar Theorem.[14] Zusammen mit dem Stetigkeitsprinzip ergibt sich der √ľberraschende Satz f√ľr volle (das hei√üt, auf dem ganzen abgeschlossenen Intervall von 0 bis 1 definierten) Funktionen:

Jede volle Funktion ist gleichmäßig stetig.

Dieser Satz ist klassisch ung√ľltig. Brouwer verwendete ihn, um ‚Äěstarke Gegenbeispiele‚Äú zum Prinzip des ausgeschlossenen Dritten anzugeben. Die Anwendung des Prinzips f√ľhrt dabei zu einem Widerspruch.

Die Funktion, die einer reellen Zahl den Wert 0 zuordnet, wenn sie rational ist, den Wert 1 hingegen, falls sie nicht rational ist, muss nach dem Satz im intuitionistischen Sinne konstant sein. Es ist daher nicht m√∂glich, das Kontinuum intuitionistisch in rationale und irrationale Zahlen zu zerlegen. Genau dieses Resultat ergibt sich jedoch, wendet man das Prinzip des ausgeschlossenen Dritten mit der Eigenschaft ‚ÄěRationalit√§t‚Äú an, ein Widerspruch. Eine genaue Ausf√ľhrung dazu findet sich im Eintrag √ľber Strong Counterexamples der Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Wirkung

Die Resultate, die Brouwer 1909 bis 1913 hervorbrachte, beeinflussten die Topologie nachhaltig; Brouwer verband die mengentheoretische Topologie von Georg Cantor und Arthur Moritz Sch√∂nflies mit den Methoden Henri Poincar√©s. Insbesondere baute Hermann Weyls Arbeit √ľber Riemannsche Fl√§chen auf Brouwers Topologie auf. Sein Fixpunktsatz fand zahlreiche Anwendungen auch au√üerhalb der Topologie.

Durch Weyls provokativen Artikel[15] bekam der Intuitionismus Brouwers, besonders seine Ablehnung des Prinzips des ausgeschlossenen Dritten, einen hohen Grad an Bekanntheit, der durch seine eigenen Schriften und Vorlesungen nicht erreichbar war. Er selbst besa√ü keine sonderliche didaktische F√§higkeit, um den Intuitionismus bekannter oder popul√§rer zu machen. Allerdings widmete A. A. Fraenkel, der die Axiome der Mengenlehre von Ernst Zermelo erg√§nzte, in seinen zahlreichen B√ľchern √ľber Mengenlehre dem Intuitionismus stetige Aufmerksamkeit.

Sp√§tere Reaktionen auf Brouwers Intuitionismus beziehen sich haupts√§chlich auf Brouwers Sch√ľler Arend Heyting, der die intuitionistische Logik 1930 formalisierte. Ein derartiger Versuch des russischen Mathematikers Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow im Jahre 1925 war unbeachtet geblieben. Kurt G√∂del und Waleri Iwanowitsch Gliwenko trugen ma√ügeblich zur Entwicklung der intuitionistischen Logik bei. Auch Alonzo Church reagierte schon 1928 mit einem Artikel √ľber das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten. In den 1960er Jahren erweckte der Grundlagenforscher Stephen Cole Kleene das Interesse an der intuitionistischen Logik aufs Neue.

Vertreter der konstruktiven Mathematik, auf welche Brouwer zumindest entfernt eine Wirkung hatte, sind Errett Bishop und Paul Lorenzen.

Inwieweit Brouwer Einfluss auf G√∂del, welcher ihn vermutlich bei seiner Wiener Vorlesung 1928 so wie Ludwig Wittgenstein h√∂rte, haben konnte, ist nicht klar. Dass aber die genannte Vorlesung Wittgenstein philosophisch interessierte, ist in Anekdoten von Herbert Feigl und Rudolf Carnap √ľberliefert; Wittgenstein soll dort den Impuls f√ľr seine sp√§teren philosophischen Arbeiten erhalten haben.

Schriften

  • Collected Works. North-Holland, Amsterdam (hrsg. von Arend Heyting und Hans Freudenthal)
  1. Philosophy and foundations of mathematics. 1975, ISBN 0-7204-2805-X
  2. Geometry, analysis, topology and mechanics. 1976, ISBN 0-7204-2076-8
  • ‚ÄěLife, Art and Mysticismn‚Äú. In Notre Dame Journal of Formal Logic 37 (3) Sommer1996, 381:429
  • Over de grondslagen der wiskunde. Academisch proefschrift. Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907
    • Wiederauflage: Dirk van Dalen (Hrsg.):L.E.J. Brouwer. en de grondslagen van de wiskunde, Utrecht 2001 - Die Dissertation, Fragmente und die ber√ľhmten Aufs√§tze der Folgejahre (Onbbetrouwbaarheid der Logische Principes); kommentiert, auf niederl√§ndisch.
  • ‚ÄěZur Analysis Situs‚Äú. In Mathematische Annalen 68 (1910), 422:434
  • ‚ÄěBeweis der Invarianz der Dimensionenzahl‚Äú. In Mathematische Annalen 70 (1911), 161:165
  • ‚Äě√úber Abbildung von Mannigfaltigkeiten‚Äú. In Mathematische Annalen 71 (1911), 97:115
  • ‚ÄěBeweis des Jordanschen Satzes f√ľr den n-dimensionalen Raum‚Äú. In Mathematische Annalen 71 (1911), 489:494
  • ‚ÄěBegr√ľndung der Mengenlehre unabh√§ngig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre‚Äú. In Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Verhandelingen 1e sectie, deel XII, no 5 (1918), 1:43
  • ‚ÄěIntuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe‚Äú. In Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung 33(1925), 251:256
  • ‚ÄěConsciousness, Philosophy and Mathematics‚Äú. In Proceedings of the 10th International Congress of Philosophy. III. Amsterdam 1948, 1235:1249
  • Intuitionismus. Hrsg., eingeleitet und kommentiert von Prof. Dr. Dirk van Dalen, Universit√§t Utrecht, BI-Wiss.-Verlag 1992

Literatur

  • Dirk van Dalen. Mystic, geometer, and intuitionist: The Life of L. E. J. Brouwer. Clarendon Press, Oxford [u.a.]
    • 1999, 2002 (corr.repr.) Volume 1: The dawning revolution. ISBN 0-19-850297-4
    • 2005. Volume 2: Hope and disillusion. ISBN 0-19-851620-7
  • Walter P. van Stigt, Brouwer‚Äôs intuitionism. North-Holland, Amsterdam [u.a.] 1990. ISBN 0-444-88384-3 (enth√§lt auch kurze Biographie und vollst√§ndige Bibliographie der ver√∂ffentlichten Schriften Brouwers)
  • Dennis E. Hesseling, Gnomes in the fog: the reception of Brouwer‚Äôs intuitionism in the 1920s. Birkh√§user, Basel [u.a.] 2003. ISBN 3-7643-6536-6 (Monographie √ľber den Grundlagenstreit)

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ‚ÜĎ Dennis E. Hesseling, Gnomes in the fog: the reception of Brouwer‚Äôs intuitionism in the 1920s, 2003, 346.
  2. ‚ÜĎ Walter P. van Stigt, Brouwer‚Äôs Intuitionism, North-Holland, Amsterdam [u.a.] 1990, 115 ff.
  3. ‚ÜĎ Dirk van Dalen, Mystic, Geometer, and Intuitionist: The Life of L. E. J. Brouwer. Vol 1, 1999, 82 f.
  4. ‚ÜĎ Walter P. v. Stigt, Brouwer‚Äôs Intuitionism, 1990, 137.
  5. ‚ÜĎ Zitat aus der englischen √úbersetzung der von Korteweg gestrichenen Stellen der Dissertation, p.2, ver√∂ffentlicht in: Walter P. van Stigt, Brouwer‚Äôs Intuitionism, North-Holland, Amsterdam [u.a.] 1990, 405-415.)
  6. ‚ÜĎ Walter P. van Stigt, Brouwer‚Äôs Intuitionism, 1990, 149.
  7. ‚ÜĎ Walter P. v. Stigt, Brouwer‚Äôs Intuitionism, 1990, 159.
  8. ‚ÜĎ David Hilbert, ‚Äě√úber die Grundlagen der Logik und der Arithmetik.‚Äú In: Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904, 174:185.
  9. ‚ÜĎ Dirk van Dalen, Mystic, geometer, and intuitionist: The life of L. E. J. Brouwer. Vol 1, 1999, 110 f.
  10. ‚ÜĎ Walter P. v. Stigt, Brouwer‚Äôs Intuitionism, 1990, 215.
  11. ‚ÜĎ Walter P. v. Stigt, Brouwer‚Äôs intuitionism, 1990, 233. Van Stigt zitiert hier aus L. E. J. Brouwer,Over de grondslagen der wiskunde. Academisch proefschrift. Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907, 140 f.
  12. ‚ÜĎ Walter P. v. Stigt, Brouwer‚Äôs intuitionism, 1990, 221. ‚Äď L. E. J.Brouwer, Over de grondslagen der wiskunde. Academisch proefschrift. Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907, 129.
  13. ‚ÜĎ L.E.J. Brouwer, Intuitionismus, 1992, 23
  14. ‚ÜĎ Beweise und rigorose Formulierungen: siehe L.E.J. Brouwer, Intuitionismus, 1992.
  15. ‚ÜĎ ‚Äú√úber die neue Grundlagenkrise der Mathematik‚Äú' Mathematische Zeitschrift 10, 1921, 37:79

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