Maxwellgleichungen

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Maxwellgleichungen

Die vier maxwellschen Gleichungen beschreiben die Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern durch Ladungen und Ströme, sowie die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Feldern, die bei zeitabhĂ€ngigen Feldern als Zeitentwicklung in Erscheinung tritt. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der theoretischen Elektrotechnik und wurden in den Jahren 1861 bis 1864 von James Clerk Maxwell entwickelt. Im Wesentlichen fasste Maxwell die bis zu diesem Zeitpunkt entdeckten GesetzmĂ€ĂŸigkeiten

in einer vereinheitlichten Theorie zusammen und ergÀnzte sie um

um Konsistenz mit der KontinuitĂ€tsgleichung zu erhalten. Die maxwellschen Gleichungen sind ein Beispiel fĂŒr eine vereinheitlichte Theorie, die verschiedene PhĂ€nomene, hier magnetische und elektrische, in einer geschlossenen Form erklĂ€rt.

Inhaltsverzeichnis

Übersicht

FĂŒr das VerstĂ€ndnis der folgenden Gleichungen sind Grundkenntnisse in Vektoranalysis erforderlich. Die maxwellschen Gleichungen lassen sich in differentieller und in integraler Form darstellen. Die Äquivalenz beider Formulierungen beruht auf dem Satz von Stokes und dem Satz von Gauß. Daneben gibt es eine elegante vierdimensionale Formulierung, die sogenannte kovariante Form (s. u.), die z. B. in der RelativitĂ€tstheorie und der Quantenelektrodynamik verwendet wird.

Hier werden die maxwellschen Gleichungen in SI-Einheiten angegeben. Formulierungen in anderen Einheitensystemen sind am Schluss aufgefĂŒhrt bzw. werden durch Bemerkungen im Text erlĂ€utert.

Maxwellsche Gleichungen in SI-Einheiten
differentielle Form verknĂŒpfender Integralsatz Integralform
Physikalisches gaußsches Gesetz: Das {}_{\boldsymbol D}-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ρ) ist Quelle des elektrischen Feldes. Gauß Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene OberflĂ€che {}_{\partial V} eines Volumens V ist gleich der elektrischen Ladung in seinem Inneren.
\mbox{div}\,\boldsymbol D=\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol D=\rho \Leftrightarrow \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \boldsymbol D\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A = Q(V)
Das {}_{\boldsymbol B}-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole. Gauß Der magnetische Fluss durch die geschlossene OberflĂ€che eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nĂ€mlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt.
\mbox{div}\,\boldsymbol B=\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol B=0 \Leftrightarrow \iint_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A = 0
Induktionsgesetz

(Vorsicht: Die Integralformulierung ist an dieser Stelle allgemeiner.):

Jede Änderung des {}_{\boldsymbol B}-Feldes fĂŒhrt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion abhĂ€ngig.

Stokes Die (elektrische) Zirkulation ĂŒber der Randkurve {}_{\partial A} einer FlĂ€che A ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die FlĂ€che.

Hinweis: Die unten dargestellte Formel gilt, letztlich wegen der relativistischen Invarianz der Maxwell-Theorie, in der angegebenen Form auch bei zeitlich verÀnderlicher FlÀche. Die Integralformulierung ist in diesem Punkt allgemeiner.

\mbox{rot}\,\boldsymbol E+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}=\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol E+\frac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}=0 \Leftrightarrow \oint_{\partial A}\boldsymbol E\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol s+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\iint_A\boldsymbol B\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A\right)\equiv 0
Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz:

(Hinweis: BezĂŒglich der grĂ¶ĂŸeren Allgemeinheit der Integralformulierung gilt analoges wie beim Induktionsgesetz.)

Die Wirbel des Magnetfeldes hĂ€ngen von der elektrischen Leitungsstromdichte {}_{\boldsymbol j_l} und von der elektrischen Flussdichte {}_{\boldsymbol D} ab. Die zeitliche Änderung von {}_{\boldsymbol D} wird auch als Verschiebungsstromdichte {}_{\boldsymbol j_v} bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte {}_{\boldsymbol j = \boldsymbol j_l + \boldsymbol j_v}:

Stokes (A ist eine FlĂ€che mit Orientierung, \partial A ihre Randkurve mit dem tangentialen Linienelement \mathrm d\boldsymbol s;   \mathrm d\boldsymbol A ist ein FlĂ€chenelement von A, multipliziert mit dem Vektor der Ă€ußeren Normalenrichtung.)


Die magnetische Zirkulation ĂŒber der Randkurve \partial A einer FlĂ€che A ist gleich der Summe aus dem (elektrischen) Strom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die FlĂ€che.
\mbox{rot}\,\boldsymbol H=\boldsymbol\nabla\times\boldsymbol H=\boldsymbol j_l + \frac{\partial\boldsymbol D}{\partial t} \Leftrightarrow \oint_{\partial A}\boldsymbol H\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol s=\iint_A\boldsymbol j_l\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\iint_A\boldsymbol D\;\cdot\mathrm{d}\boldsymbol A \right)

ErlÀuterungen

In den obigen Gleichungen sind Vektoren und Vektorfelder durch Fettdruck angedeutet.

Elektrischer Strom

In der elektrischen Stromdichte {}_{\boldsymbol j} kann rein formal sowohl die ĂŒbliche Leitungsstromdichte entsprechend dem Fluss von elektrischen LadungstrĂ€gern als auch der Verschiebungsstrom (die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes) zusammengefasst werden, was eine wichtige Rolle bei der Entdeckung der Maxwellgleichungen durch Maxwell spielte. Üblicherweise wird aber der Verschiebungsstrom getrennt aufgefĂŒhrt. Die elektrische Stromdichte ist ĂŒber die Materialgleichungen der Elektrodynamik und der dabei auftretenden elektrischen LeitfĂ€higkeit σ mit der elektrischen FeldstĂ€rke {}_{\boldsymbol E} verknĂŒpft.

Elektrisches Feld

{}_{\boldsymbol D} ist die elektrische Flussdichte, historisch und etwas verwirrend auch als elektrische Verschiebungsdichte oder als elektrische Erregung bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Dichte des elektrischen Flusses, welcher von elektrischen Ladungen ausgeht. Die elektrische Flussdichte ist ĂŒber die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretenden dielektrischen LeitfĂ€higkeit {}_\varepsilon mit der elektrischen FeldstĂ€rke {}_{\boldsymbol E} verknĂŒpft. Noch allgemeiner gilt {}_{\boldsymbol D =\varepsilon_0\,\boldsymbol E+\boldsymbol P} mit der elektrischen Polarisation {}_{\boldsymbol P}, dem elektrischen Dipolmoment pro Volumen.

Magnetisches Feld

{}_{\boldsymbol B} ist die magnetische Flussdichte, auch historisch als Induktion bezeichnet. Hierbei handelt es sich um die Dichte des magnetischen Flusses, welcher von bewegten elektrischen Ladungen oder von Permanentmagneten verursacht wird. Die magnetische Flussdichte ist ĂŒber die Materialgleichungen der Elektrodynamik und die dabei auftretende magnetische LeitfĂ€higkeit ÎŒ mit der magnetischen FeldstĂ€rke {}_{\boldsymbol H} verknĂŒpft. Noch allgemeiner gilt {}_{\boldsymbol B =\mu_0\boldsymbol H +\boldsymbol J} mit der magnetischen Polarisation {}_{\boldsymbol J}, dem magnetischen Dipolmoment pro Volumen (als Magnetisierung wird die im Weiteren zu {}_{\boldsymbol J} Ă€quivalente GrĂ¶ĂŸe {}_{\boldsymbol M =\frac{\boldsymbol J}{\mu_0}} bezeichnet).

Die magnetische Polarisation {}_{\boldsymbol J} sollte nicht mit der Stromdichte {}_{\boldsymbol j} verwechselt werden. Vielmehr gilt:

{\rm rot\,\,}\frac{\boldsymbol B -\boldsymbol J}{\mu_0} = \boldsymbol j + \frac{\part \boldsymbol D}{\part t} [1]

ErlÀuterung zu den Maxwellgleichungen mit Materie

Die in allen drei Bereichen auftretenden Materialgleichungen werden nicht direkt zu den maxwellschen Gleichungen gezÀhlt, sondern die drei GleichungssÀtze:

  • Maxwellsche Gleichungen
  • Materialgleichungen der Elektrodynamik
  • KontinuitĂ€tsgleichungen der Elektrodynamik

stellen gemeinsam und unter gegenseitiger ErgĂ€nzung das Fundament der elektrodynamischen Feldtheorie dar. Die Materialgleichungen gelten in der allgemeinen Form sowohl fĂŒr den leeren Raum als auch fĂŒr mit Materie ausgefĂŒllte Raumbereiche.

Aus historischen GrĂŒnden und manchmal auch um bestimmte BerechnungsvorgĂ€nge spezifisch darzustellen, werden die Materiegleichungen und die darin auftretenden drei LeitfĂ€higkeiten jeweils in den Anteil des leeren Raumes {}_{\varepsilon_0} bzw. {}_{\mu_0} und den Anteil der LeitfĂ€higkeit, welcher durch die Materie verursacht wird, {}_{\varepsilon_r} und {}_{\mu_r} aufgespalten.

FĂŒr das elektrische Feld ergibt sich durch die Aufspaltung der dielektrischen LeitfĂ€higkeit die Möglichkeit zur EinfĂŒhrung eines weiteren Vektorfeldes, der elektrischen Polarisation {}_{\boldsymbol P} (eigentlich dielektrische Polarisation, die aber auch als elektrische Polarisation bezeichnet wird, da dem elektrischen Feld zugewiesen).

Analog dazu beschreibt die magnetische Polarisation {}_{\boldsymbol J} die von den Eigenschaften des leeren Raumes losgelösten VerhĂ€ltnisse in Materie fĂŒr das magnetische Feld. Aus der magnetischen Polarisation ergibt sich die Magnetisierung {}_{\boldsymbol M=\frac{\boldsymbol J}{\mu_0}}. (Im cgs-System sind die VerhĂ€ltnisse verwirrender: {}_{\boldsymbol J} und {}_{\boldsymbol M} werden dort gleich bezeichnet, als cgs-Magnetisierung, und unterscheiden sich nur um einen Faktor {}_{4\,\pi}, je nachdem ob {}_{\boldsymbol B} oder {}_{\boldsymbol H} gemeint ist.)

GrundsĂ€tzlich kann ohne Verlust auf die EinfĂŒhrung der Vektorfelder der elektrischen Polarisation {}_{\boldsymbol P} und der magnetischen Polarisation {}_{\boldsymbol J} (bzw. der dazu Ă€quivalenten Magnetisierung {}_{\boldsymbol M}) verzichtet werden. Statt dessen werden die AbhĂ€ngigkeiten in den Materialgleichungen und den entsprechend allgemein gefassten LeitfĂ€higkeiten in Form von Tensoren höherer Ordnung berĂŒcksichtigt. Weiterhin können die LeitfĂ€higkeiten auch Funktionen darstellen, um nichtlineare Eigenschaften der Materie erfassen zu können. Diese können sogar von der Vorbehandlung abhĂ€ngen, also explizit zeitabhĂ€ngig sein. Diese Vorgangsweise empfiehlt sich auch fĂŒr einen systematischen Zugang, wenn dieser ĂŒber das SI-Einheitensystem erfolgt. Aus historischen GrĂŒnden, aber auch in bestimmten Teilbereichen der Physik, wird allerdings manchmal sehr intensiv von den {}_{\boldsymbol P}- und {}_{\boldsymbol J}- (bzw. {}_{\boldsymbol M}-) Vektorfeldern Gebrauch gemacht, weshalb im Folgenden dieser Sachverhalt nĂ€her dargestellt wird.

In Materie gilt allgemein

\boldsymbol D := \varepsilon \boldsymbol E = \varepsilon_0 \boldsymbol E + \boldsymbol P

sowie

\boldsymbol H := \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol B  - \boldsymbol M

bzw.

\boldsymbol B := \mu \boldsymbol H  =\mu_0 (\boldsymbol H  + \boldsymbol M) = \mu_0 \boldsymbol H + \boldsymbol J,

wobei sich im Spezialfall der LinearitÀt bei Isotropie oder bei kubischen Systemen noch folgende Vereinfachung ergibt:

\boldsymbol D =\varepsilon_0\varepsilon_r \,\boldsymbol E

und

\boldsymbol B =\mu_0\mu_r\,\boldsymbol H.

In homogenen isotropen Materialien (d. h. \varepsilon und ÎŒ sind skalar und konstant) erhĂ€lt man fĂŒr die Maxwellgleichungen

  • \nabla\times\boldsymbol H = \varepsilon\,\frac{\part\boldsymbol E}{\part t}+\sigma\,\boldsymbol E
  • -\nabla\times\boldsymbol E = \mu\,\frac{\part \boldsymbol H}{\part t}
  • \varepsilon\,\nabla\cdot\boldsymbol E = \rho
  • \mu\,\nabla\cdot\boldsymbol H = 0.

In anisotroper nicht-kubischer linearer Materie werden die Skalare {}_{\varepsilon_r} und {}_{\mu_r} zu Tensoren 2. Stufe, wobei die Beziehungen weiterhin GĂŒltigkeit behalten. In nichtlinearen Materialien hĂ€ngen die LeitfĂ€higkeiten von den jeweiligen Momentanwerten der FeldstĂ€rken oder im allgemeinsten Fall von deren gesamter Geschichte ab (siehe Hysterese). Die {}_{\boldsymbol P}- und {}_{\boldsymbol J}-Felder, elektrische bzw. magnetische Polarisation genannt, verschwinden außerhalb der Materie, was in den genannten SpezialfĂ€llen gleichwertig mit der Aussage ist, dass {}_{\varepsilon_r=\mu_r=1} wird.

Die dielektrische Polarisation ist dann mit der elektrischen SuszeptibilitĂ€t {}_{\chi_e}, bzw. der relativen PermittivitĂ€t {}_{\varepsilon_r} und der Vakuum-PermittivitĂ€t (DielektrizitĂ€tskonstante) {}_{\varepsilon_0} folgendermaßen verknĂŒpft (im SI-System, d. h. in der Einheit {}_{\mathrm{\frac{A\,s}{V\,m}}}):

\boldsymbol P := \varepsilon_0 \chi_e \boldsymbol E = \varepsilon_0 \cdot ({\varepsilon_r}-1) \boldsymbol E,

mit

{\varepsilon_r}=1+{\chi_e}.

FĂŒr die magnetische Polarisation {}_{\boldsymbol J} bzw. die Magnetisierung {}_{\boldsymbol M=\frac{\mathbf J}{\mu_0}} gilt eine entsprechende Gleichung mit der magnetischen SuszeptibilitĂ€t {}_{\chi_m} bzw. der relativen PermeabilitĂ€t {}_{\mu_r} und der Vakuum-PermeabilitĂ€t (magnetische Feldkonstante) {}_{\mu_0} mit der Einheit {}_{\mathrm{\frac{V\,s}{A\,m}}}:

\boldsymbol J :=\mu_0\, \chi_m\, \boldsymbol H =\mu_0\cdot \left(\mu_r - 1\right)\, \boldsymbol H,

mit

ÎŒr = 1 + χm.

(Vorsicht: im cgs-System sind {}_{\chi_e} und {}_{\chi_m} mit {}_{4\,\pi} zu multiplizieren!)

Weiter ergibt sich die Definition der Brechzahl mit

n:= \sqrt{{\varepsilon_r \, \mu_r}}

und der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

c_0:= \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \, \mu_0}},

was die Lichtgeschwindigkeit im Material mit den entsprechenden Konstanten in Verbindung bringt. So ist die Phasengeschwindigkeit im Medium

c_p:=\frac{c_0}{n} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \, \mu_0 \, \varepsilon_r \, \mu_r}},

die bei frequenzunabhÀngiger Brechzahl (ohne Dispersion) gleich der Gruppengeschwindigkeit im Medium ist.

Zusammenfassung

Maxwellgleichungen in SI-Einheiten
AmpĂšresches Gesetz \nabla\times H = \frac{\part D}{\part t} + j
Faradaysches Gesetz \nabla\times E = - \frac{\part B}{\part t}
Coulombsches Gesetz \nabla\cdot D = \rho
Gaußsches Gesetz des Magnetismus \nabla\cdot B = 0
D = \varepsilon_0 \, E + P = \varepsilon\,E
B = \mu_0\,(H + M) = \mu\,H

Traditionell werden die beiden zuletzt angegebenen sog. Materialgesetze und das Ohm'sche Gesetz {}_{\boldsymbol j=\boldsymbol \sigma\,\boldsymbol E} (σ ist hierbei der spezifische elektrische Leitwert) meist nicht in die Maxwellgleichungen miteinbezogen. Auch die KontinuitĂ€tsgleichung  \frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\, \mathbf j = 0\, , welche die Ladungserhaltung definiert, wird meist nicht erwĂ€hnt.

Die elektrischen FeldstÀrken E sowie die magnetischen Flussdichten B werden als physikalisch vorhandene Kraftfelder interpretiert. Schon Maxwell verband diese Kraftfelder mit dem elektrischen Potenzialfeld \,\phi und dem Vektorpotenzial \boldsymbol A:

\boldsymbol E = -\nabla\,\phi - \frac{\part \boldsymbol A}{\part t}\,,
\boldsymbol B = \nabla \times \boldsymbol A\,.

Der Zusammenhang zwischen FeldstÀrken und Potenzialen ist zwar nur bis auf Eichtransformationen definiert, den Potentialen kommt aber in der Quantentheorie eine fundamentale Bedeutung zu.[2].

Maxwellgleichungen fĂŒr konstante Frequenzen ω in komplexer Schreibweise

Die in den maxwellschen Gleichungen auftretenden Feldvektoren sind im allgemeinen nicht nur Funktionen des Ortes sondern auch der Zeit, beispielsweise {}_{\boldsymbol H(x,y,z,t)}. In den partiellen Differentialgleichungen tritt dann neben den Ortsvariablen auch die Zeitvariable auf. Zur vereinfachten Lösung dieser Differentialgleichungen beschrĂ€nkt man sich in der Praxis oft auf harmonische (sinusförmige) VorgĂ€nge. Diese Darstellung ist fĂŒr die praktische Feldberechnung, beispielsweise bei der Berechnung von elektromagnetischen Schirmen oder fĂŒr die Antennentechnik, von wesentlicher Bedeutung.

Mit Hilfe der komplexen Schreibweise lĂ€sst sich die ZeitabhĂ€ngigkeit bei harmonischen VorgĂ€ngen vermeiden, da sich der komplexe Zeitfaktor {}_{e^{j\,\omega\,t}} dabei heraushebt. Die in den maxwellschen Gleichungen auftretenden FeldgrĂ¶ĂŸen sind dann komplexe Amplituden und nur noch Funktionen des Ortes. An Stelle der partiellen Differentiation nach der Zeit tritt die Multiplikation mit dem imaginĂ€ren Faktor {}_{j\,\omega}. Der Faktor ω wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet.

Hierbei wird wie in der Elektrotechnik ĂŒblich die imaginĂ€re Einheit mit j bezeichnet (sie sollte nicht mit der hĂ€ufig fĂŒr die Stromdichte verwendeten Variable j verwechselt werden) - in Mathematik und theoretischer Physik wird sie meist i geschrieben.

In komplexer Form, komplexe GrĂ¶ĂŸen sind zur Unterscheidung unterstrichen, lauten die maxwellschen Gleichungen in Differentialform:

\boldsymbol \nabla \cdot \underline{\boldsymbol D} = \rho
\boldsymbol \nabla \cdot \underline{\boldsymbol B} = 0
\boldsymbol \nabla \times \underline{\boldsymbol E} = -j\,\omega\,\underline{\boldsymbol B}
\boldsymbol \nabla \times \underline{\boldsymbol H} = \underline{\boldsymbol J} = \left(\sigma + j\,\omega \,\varepsilon\right)\,\underline{\boldsymbol E}

Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen

In diesem Absatz wird, wie im ĂŒbrigen Artikel, das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren \,\mu_0, \varepsilon_0 etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatĂŒrlich und verwenden andere Systeme, etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten, in denen die GrundgrĂ¶ĂŸen der Elektrodynamik anders definiert werden. In der Literatur können deshalb verglichen mit dieser Darstellung Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rĂŒcken.

Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwellgleichungen beschrieben wird, ist im Gegensatz zur newtonschen Mechanik vertrĂ€glich mit der speziellen RelativitĂ€tstheorie. Dazu gehört, dass die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form Ă€ndert. Dies spielte historisch fĂŒr die Entwicklung der RelativitĂ€tstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle.[3].

Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant, das heißt, dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht Ă€ndern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nĂŒtzlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrĂŒckt: die Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Hierzu ist es zweckmĂ€ĂŸig, die oben auftretenden GrĂ¶ĂŸen \boldsymbol{E}, \boldsymbol{B} usw. durch GrĂ¶ĂŸen ausdrĂŒcken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-Skalare, Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen.


Ausgangspunkt fĂŒr diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale \,\phi (skalares Potential) und \boldsymbol{A} (Vektorpotential), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder durch

  • \boldsymbol{E} = -\boldsymbol{\nabla} \phi - \partial_t \boldsymbol{A}
  • \boldsymbol{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}

erhĂ€lt (siehe auch Elektrodynamik). Diese GrĂ¶ĂŸen lassen sich zu einem Vierervektor, dem Viererpotential

 A^\mu = \left(\frac{\phi}{c}, \boldsymbol{A} \right)

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte \,\rho und Stromdichte \boldsymbol{j} die Viererstromdichte zusammensetzen, mit

 j^\mu = (c \rho, \boldsymbol{j}) .


Aus dem Viererpotential wird der elektrodynamische FeldstÀrketensor abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhÀngen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind. Er hat die Form


  F^{\alpha\beta} 
    = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\beta A^\alpha
    = \begin{pmatrix}
        0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\
        \frac{E_x}{c} &  0   & -B_z &  B_y \\
        \frac{E_y}{c} &  B_z &  0   & -B_x \\
        \frac{E_z}{c} & -B_y &  B_x & 0    \\
      \end{pmatrix}
.

Man definiert nun den Vierergradienten, die relativistische Form der Ableitung, als

\partial^\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right), also  \partial_\alpha=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, +\nabla \right), sowie die Differentiale \,\mathrm dx^\alpha = (c\mathrm dt, \mathrm d x,\mathrm dy,\mathrm dz), die bei der Behandlung der maxwellschen Gleichungen im Artikel Differentialformen benötigt werden, der an dieser Stelle auch empfohlen wird.

Mit diesen GrĂ¶ĂŸen kann man die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch die kovariante Gleichung


  \,\partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 j^{\beta}

ersetzen. Dabei wird, wie ĂŒblich, die einsteinsche Summenkonvention benutzt, das heißt, ĂŒber doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier α) wird summiert. Ferner erfolgt wie ĂŒblich das Herauf- und Herunterziehen von Indizes mit dem metrischen Tensor

{\mathbf{\eta}}=\begin{pmatrix}
        +1 & 0 & 0 & 0 \\
        0 & -1 & 0 & 0 \\
        0 & 0 & -1 & 0 \\
        0 & 0 & 0 & -1 \\
      \end{pmatrix}.


Man beachte, dass wegen der Antisymmetrie des FeldstÀrketensors auch die KontinuitÀtsgleichung (Verschwinden der Vierer-Divergenz) folgt


\partial_t \rho + \mbox{div}\,\boldsymbol{j} = 
\mu_0 \partial_{\beta} j^{\beta} = 
\partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\alpha\beta} = 
- \partial_{\alpha} \partial_{\beta} F^{\beta\alpha} = 
- \partial_{\beta} \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} = 
0
.


Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form

\,
    \partial_\alpha F_{\beta\gamma} 
  + \partial_\beta  F_{\gamma\alpha}
  + \partial_\gamma F_{\alpha\beta}   = 0

Dies wird auch hÀufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als


   \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\alpha F_{\gamma\delta} = 0

oder


  \partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha\beta} = 0

mit dem dualen FeldstÀrketensor


    \tilde{F}^{\alpha\beta} 
  := \frac{1}{2} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} 
    F_{\gamma\delta},

dessen Komponenten man auch aus denen von \,F^{\alpha\beta} erhalten kann, indem man die Vektoren \boldsymbol{E}/c durch \boldsymbol{B} und \boldsymbol{B} durch -\boldsymbol{E}/c ersetzt. Also


  \tilde{F}^{\alpha\beta} 
    = \begin{pmatrix}
        0   & -B_x           & -B_y           & -B_z \\
        B_x & 0              &  \frac{E_z}{c} & -\frac{E_y}{c} \\
        B_y & -\frac{E_z}{c} & 0              &  \frac{E_x}{c} \\
        B_z &  \frac{E_y}{c} & -\frac{E_x}{c} & 0 \\
      \end{pmatrix}
.


Differentialformen ermöglichen eine besonders ĂŒbersichtliche Darstellung der Maxwellgleichungen, die zudem automatisch kovariant ist, wenn man von Anfang an nicht im euklidischen Raum, sondern im Minkowski-Raum arbeitet. Dabei werden Viererpotential und Viererstromdichte durch die 1-Formen \mathbf A und \mathbf j dargestellt, der FeldstĂ€rketensor durch die 2-Form \mathbf F=\mathrm d\mathbf A und sein Dual durch die 2-Form *\mathbf{F} (das Symbol d steht bei Differentialformen fĂŒr eine formale Ableitung und nicht etwa fĂŒr ein unendlich kleines Differential). Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten dann (in Heaviside-Lorentz-Einheiten)  

 *\mathrm d*\mathbf{F}=\mathbf j

und

\mathrm d\mathbf F=0.

Maxwellgleichungen unter BerĂŒcksichtigung hypothetischer magnetischer Monopole

Magnetische Monopole treten in einigen GUT-Theorien als mögliche oder notwendige Bestandteile auf. Mit ihnen ließe sich die Quantelung der elektrischen Ladung erklĂ€ren, wie Paul Dirac schon 1931 erkannte. Bislang ist allerdings kein magnetischer Monopol beobachtet worden. Daher wird in den oben genannten Maxwellgleichungen auch angenommen, dass keine magnetischen Monopole (magnetische Ladungen) existieren.

Sollten in der Zukunft dennoch solche magnetischen Ladungen gefunden werden, so lassen sich diese in den Maxwellgleichungen problemlos berĂŒcksichtigen.

Setzt man ρm fĂŒr die Monopolladungsdichte, \boldsymbol{j}_m=\rho_m \boldsymbol{v}_m fĂŒr die Stromdichte und \boldsymbol{v}_m fĂŒr die Geschwindigkeit der sich bewegenden magnetischen Monopolladungen, so Ă€ndern sich nur zwei der vier oben genannten Gleichungen in differentieller Form zu

\mbox{div}\,\boldsymbol{B}=\rho_m\,\,.

Interpretation: Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte beginnen und enden in einer magnetischen Ladung.

\mbox{rot}\,\boldsymbol{E}=-\left(\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{j}_m\right)\,.

Interpretation: Sich zeitlich Ă€ndernde magnetische Flussdichten oder das Vorhandensein von magnetischen Stromdichten fĂŒhren zu elektrischen Wirbelfeldern.

Die anderen beiden Gleichungen bleiben unverĂ€ndert, wĂ€hrend sich aber natĂŒrlich fĂŒr die beiden neuen differentiellen (d. h. lokalen) Gleichungen auch neue integrale (d. h. globalen) Darstellungen ergeben, die aber ohne weiteres mit den IntegralsĂ€tzen von Gauß und Stokes berechnet werden können.

Der Fall der verschwindenden Monopole ρm = 0 fĂŒhrt wieder auf die bekannten, oben angegebenen Gleichungen zurĂŒck.

Maxwellsche Gleichungen und Photonmasse

Die Photonmasse verschwindet gemĂ€ĂŸ der maxwellschen Gleichungen. Diese Gleichungen sind der Grenzfall m = 0 der allgemeineren Maxwell-Proca-Gleichungen mit einer nicht negativen Photonmasse m. Statt des Coulomb-Potentials {}_{\frac{q}{r}} bewirkt in der Maxwell-Proca-Theorie eine elektrische Punktladung q das Yukawa-Potential {}_{\frac{q}{r}\,\mathrm e^{-m\,r}} und hat nur noch eine Reichweite von etwa der Compton-WellenlĂ€nge, die zu m gehört.


Maxwellsche Gleichungen in differentialgeometrischer Form

Die Beschreibung durch die Vektoranalysis hat den großen Nachteil, dass sie

  • auf den flachen  \mathbb R^3 bzw.\mathbb R^4 beschrĂ€nkt ist
  • prinzipiell "metrisch verseucht" ist, da entweder die euklidische oder die Lorentz'sche Metrik in den Operatoren verbaut ist, obwohl die Maxwellgleichungen metrikfrei definiert sind
  • die Wahl einer Karte der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit völlig unphysikalisch ist, da Naturgesetze unabhĂ€ngig von den gewĂ€hlten Koordinaten richtig sein mĂŒssen

Der 3-dimensionale Ansatz

Didaktisch ist es sinnvoll, die Invarianz der Maxwellgleichungen unter Lorentztransformationen erst einmal zu verbergen und mit einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit zu starten. Die Zeit wird als Ă€ußerer Parameter behandelt, wie aus der klassischen Mechanik gewohnt.

Die inhomogenen Maxwellgleichungen

Sei  \rho \in \Lambda^3(\mathcal M) eine Differentialform auf der beliebigen glatten Mannigfaltigkeit  \mathcal M der Dimension 3 und d die Ă€ußere Ableitung. Dann ist

\mathrm d\rho = 0  \quad \Leftrightarrow \quad \rho\text{ ist eine geschlossene Differentialform} \,,

weil es keine von 0 verschiedene Differentialform vom Grad 4 auf einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit geben kann. Auf einem sternförmigen Gebiet sichert das Lemma von Poincaré, dass ein Potential  D \in \Lambda^2(\mathcal M) existiert, sodass

\mathrm d D= \rho \quad \Leftrightarrow \quad \int_{\mathcal M} \mathrm d D = \int_{\mathcal M} \rho \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad \int_{\partial\mathcal M}  D = \int_{\mathcal M} \rho \quad\text{(Gesetz von Gauss)}\,.

Dieses "Gesetz von Gauß" darf nicht mit dem Gauß'schen Integralsatz verwechselt werden, zumal letzterer nur ein Spezialfall des allgemeinen Satzes von Stokes ist. -

Weiterhin wird postuliert, dass die zeitliche Ableitung der Ladung  \partial_t Q aus einer Mannigfaltigkeit einem Strom durch die Berandung entgegengesetzt ist (sprich: alles was aus dem "Volumen"  \mathcal M heraus will, muss durch die BerandungsflĂ€che  \partial \mathcal M fließen).

 \partial_t Q = - I \quad \Leftrightarrow \quad \partial_t \int_{\mathcal M} \rho + \int_{\partial \mathcal M} j = 0 \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad \int_{\mathcal M} \underbrace{\left(\partial_t \rho + \mathrm d j \right)}_{\text{Kontinuitaetsgleichung}}=0\,.

Diese Aussage entspricht also dem zur KontinuitĂ€tsgleichung gehörigen Erhaltungssatz fĂŒr die Gesamtladung (die Beliebigkeit der Mannigfaltigkeit  \mathcal M sichert analog zum Gesetz von Gauß, dass dieser auch ohne Integrale gilt).  j \in \Lambda^2(\mathcal M) wird Stromdichte(zweiform) genannt. Also:

 \partial_t \rho + \mathrm d j  = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm d( \partial_t D + j)=0 \quad \Leftrightarrow\quad (\partial_t D + j)  \text{ ist eine geschlossene Differentialform}\,.

Diese mathematische Aussage impliziert aber nach dem Lemma von Poincaré, dass auf einem sternförmigen Gebiet eine Differentialform vom Grad 1  H \in \Lambda^1 ( \mathcal M ) existiert, sodass

 \mathrm d H = \partial_t D + j \quad \Leftrightarrow \quad \int_{\mathcal S} \mathrm dH = \int_{\mathcal S} \left( \partial_t D + j\right) \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad\int_{\partial \mathcal S} H = \int_{\mathcal S} \left( \partial_t D + j\right) \quad \text{(Maxwell-Ampere-Gesetz)}\,.

Anzumerken ist, dass das Gesetz von Gauß rein aus der Geometrie des Problems folgt, also letztlich keine physikalische Bedeutung hat: Der einzige physikalische Input ist die Existenz elektrischer Ladungen bzw. die KontinuitĂ€tsgleichung, welche im Maxwell-Ampere-Gesetz mĂŒndet. Die inhomogenen Gleichungen sind also Folge der Ladungserhaltung. Nichtbetroffen ist im Grunde nur der sog. Spinmagnetismus, d. h. derjenigen magnetischen PhĂ€nomene, die nicht von den hier ausschließlich behandelten AmpĂšreschen Kreisströmen (den Wirbeln von j ) herrĂŒhren (siehe Mathematische Struktur der Quantenmechanik, speziell den Abschnitt ĂŒber den Spin, sowie den Artikel ĂŒber das sog. Gyromagnetische VerhĂ€ltnis). Dies betrifft den dominierenden Teil des sog. Permanent-Magnetismus. Das zeigt aber im Grunde nur, dass die klassische Elektrodynamik nicht in sich selbst abgeschlossen ist, obwohl es mathematisch und theoretisch-physikalisch so scheint.

Die homogenen Maxwellgleichungen

Ähnlich der KontinuitĂ€tsgleichung wird das Induktionsgesetz postuliert. Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine FlĂ€che  \mathcal S geht einher mit der Induktion einer entgegengesetzten Ringspannung auf ihrem Rand  \partial S . Das ist völlig analog zur KontinuitĂ€tsgleichung, nur eine Dimension tiefer.

 U=-\partial_t \Phi_{\text{mag}}\quad \Rightarrow \quad \int_{\partial \mathcal S} E = - \int_{\mathcal S} \partial_t B \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad  \int_{\mathcal S} \left(\mathrm d E +\partial_t B\right)=0 \quad \text{(Induktionsgesetz)}

Dabei ist  B \in \Lambda^2(\mathcal M) die magnetische Flussdichte(zweiform) und  E \in \Lambda^1(\mathcal M) das elektrische Feld. Die Beliebigkeit der FlÀche  \mathcal S sichert, dass sich das Induktionsgesetz auch ohne Integral schreiben lÀsst:

 \mathrm d E +\partial_t B = 0 \quad \stackrel{\mathrm d}{\Rightarrow } \quad \underbrace{d^2}_{=0} E + \partial_t \mathrm d B = 0 \quad \Rightarrow \mathrm d B = f(x,y,z)

Man erkennt also, dass dB nur von den (Raum)-Komponenten der Mannigfaltigkeit  \mathcal M abhÀngen kann, nicht aber von der Zeit. Jedoch hÀngt der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen gar nicht von der Wahl der Koordinaten ab. Also muss f(x,y,z) verschwinden. ZusÀtzlich kann die Gleichung auch nur dann lorentzinvariant sein. Es folgt also die Quellfreiheit der magnetischen Flussdichte(zweiform) (d.h. die Nichtexistenz magnetischer Ladungen, siehe oben):

 \mathrm d B =0  \quad \Leftrightarrow \quad \int_{ \mathcal M} \mathrm  dB = 0 \quad\stackrel{\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow} \quad \int_{\partial \mathcal M}  B = 0\quad \text{(Quellfreiheit)}

Wieder geht lediglich ein Postulat ein, das Induktionsgesetz; die Quellfreiheit ist dann eine rein mathematische Konsequenz.

Relativistische Invarianz

Die relativistische Invarianz ergibt sich aus einem subtilen Punkt, den man u.U. leicht ĂŒbersieht: Oben sind wir bei einem Integral der Form \int\,\partial_t\, B gelandet, d.h. es sieht so aus, als ob nur dann „etwas passiert“ (d.h. eine Induktionsspannung auftritt), wenn sich das Magnetfeld selbst Ă€ndert. In Wirklichkeit besagt Faradays Induktionsgesetz, dass eine Induktionsspannung immer dann auftritt, wenn sich das Magnetfeld relativ zur Spule Ă€ndert. D.h., das Differential nach der Zeit kann nicht hinter dem Integral verbleiben, sondern muss vor  das Integral gezogen werden, so dass auch bei bloßer Änderung der Spule, bei festgehaltenem Magnetfeld, eine Induktionsspannung auftritt.

Die Materialgleichungen

Weil die Einsformen E und H nicht kompatibel mit den Zweiformen D und B sind, muss man eine Beziehung zwischen ihnen herstellen. Das geschieht mit dem Hodgeoperator  \star , welcher auf einer 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit Einsformen und Zweiformen durch den Isomorphismus der DualitÀt verbindet (siehe oben).

 D=\varepsilon_0\star E \quad \text{und}\quad B=\mu_0 \star H \quad\text{(Materialgleichungen)}

Hier wird offensichtlich, warum H und B bzw. E und D schon aus mathematischen GrĂŒnden nicht einfach (bis auf einen Faktor) identifiziert werden können. H ist ja eine Einsform und wird ĂŒber eine Kurve integriert, B ist eine Zweiform und braucht eine (2-dimensionale) FlĂ€che zur Integration. (Zudem sind in polarisierbaren Medien die zugehörigen Vektorfelder auch physikalisch wesentlich verschieden.) Es kann also schon von der Mathematik her keine ProportionalitĂ€t zwischen diesen GrĂ¶ĂŸen bestehen, wie es die Beschreibung durch die Vektoranalysis suggeriert. Gleiches gilt fĂŒr E und D: Die erste GrĂ¶ĂŸe beschreibt eine Differentialform vom Grade 1, braucht zur Integration also eine Kurve, wie bei einem Kraft-Integral; die zweite GrĂ¶ĂŸe ist eine Zweiform, braucht also eine FlĂ€che wie bei einem Fluss-Integral. Dieser Unterschied scheint pedantisch, ist aber fundamental.

Es sei bemerkt, dass erst mit dem Hodgeoperator die Metrik eine Rolle in den Gleichungen spielt. Die Maxwellgleichungen ohne die Materialgleichungen sind unabhĂ€ngig von der Wahl der Metrik und sogar unabhĂ€ngig von der Beschaffenheit der Mannigfaltigkeit, solange \mathcal M dreidimensional ist. Lediglich die Wirkung von  \star in den Materialgleichungen wĂŒrde sich verĂ€ndern.

Der 4-dimensionale Ansatz

 \mathcal N sei eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension 4 und  \mathcal M \subset \mathcal N eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension 3 (aus dem 3-dimensionalen Ansatz) und  g \in \mathcal T^0_2 (\mathcal N) der metrische Tensor mit Koeffizientendarstellung.

 g_{\mu\nu}=\left(\mathrm{diag}(-1,1,1,1)\right)_{\mu\nu} \quad \text{(Minkowskimetrik)}

(Es gibt viele Àquivalente Formen, die man z.B. durch Multiplikation mit einer Zahl vom Betrag 1 erhalten kann.) )

Die Metrik muss lediglich festgelegt werden, damit man das nun folgende Viererpotential  A \in \Lambda^1(\mathcal N) explizit hinschreiben kann (Physik: „kontravariante GrĂ¶ĂŸen“), ohne den Umweg ĂŒber die Koeffizienten eines Vektorfeldes (Physik: „kovariante GrĂ¶ĂŸen“)  \mathcal A \in \mathcal X(\mathcal N) zu gehen mit

 A=g(\mathcal A, \cdot )  \quad \text{wobei}\quad \mathcal A = a^\mu \partial_\mu.

Die Festlegung auf den Minkowskiraum, die man u.a. benötigt um „raumartige“ und „zeitartige“ Vektor- bzw. Tensorkomponenten zu unterscheiden, oder bei der Definition der DualitĂ€tsoperation (siehe unten), ist also hier nicht erforderlich Man könnte die Metrik auch frei wĂ€hlen, dann sĂ€hen die Komponenten der Einsform

A=a_\mu dx^\mu \quad \text{(Viererpotential)}

nur anders aus, denn

 a_\mu = g_{\mu\nu} a^\nu \quad \text{(Transformation zwischen Vektorfeld und Differentialform)} .

Sei also ab hier die Mannigfaltigkeit der flache Minkowskiraum, das heißt o.B.d.A.  \mathcal N = M^4 =(\mathbb R^4 , g) . Dann ist das Vektorpotential gegeben durch

 A = -\phi/c \ \mathrm dt + a_1 \ \mathrm dx + a_2\ \mathrm dy + a_3\ \mathrm dz  \quad fĂŒr das Vektorfeld  \quad \mathcal A=+\phi/c \ \partial_t + a^1  \ \partial_x + a^2 \ \partial_y + a^3 \ \partial_z .

Die homogenen Maxwellgleichungen

Sei nun die Ă€ußere Ableitung von A gegeben durch  F \in \Lambda^2(\mathcal N) , also durch den sog. FeldstĂ€rketensor (Faradayzweiform):

  F=\mathrm d A \quad \stackrel{\mathrm d}{\Rightarrow}\quad  \mathrm d F =  \underbrace{\mathrm d^2}_{=0} A = 0 \quad \text{(homogene Maxwellgleichungen)} .

Beeindruckend ist die Tatsache, dass die Ă€ußere Ableitung von F immer verschwindet, unabhĂ€ngig davon, wie A aussieht. Das ergibt die sog. Eichfreiheit und begrĂŒndet auch, warum die EinschrĂ€nkung auf den Minkowskiraum die Allgemeinheit nicht verletzt. Da die Gleichungen jedoch ohne jeden physikalischen Input auskommen, folgt unmittelbar, dass die homogenen Maxwellgleichungen lediglich Folge der Geometrie des Raumes und des benutzten Formalismus sind (gleiches gilt ja auch fĂŒr die Beziehung {\rm d}^2\equiv 0\,: eine geschlossene Differentialform ist ja noch weitgehend frei, nĂ€mlich bis auf das Ă€ußere Differential einer um ein Grad niedrigeren Form. ).

Die Materialgleichungen

Die Faradayzweiform lĂ€sst sich auch in den bereits bekannten GrĂ¶ĂŸen schreiben:

 F=E\wedge \mathrm dt + B  \quad \stackrel{\star}{\Rightarrow} \star F = -\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} G \quad\text{(Materialgleichungen)}.

Die zu F duale[4] Zweiform G heißt Maxwellzweiform und ist gegeben durch schon bekannten GrĂ¶ĂŸen, nĂ€mlich:

 G=D-H\wedge \mathrm d t  .

In physikalischen Theorien entspricht F dem FeldstÀrketensor und G dessen dualem Tensor (siehe unten).

Die gesamten Maxwellgleichungen, mit nur zwei Differentialformen

Definiert man nun eine Dreiform \mathbf J=\mathbf{\rho} - \mathbf j \wedge \mathrm d t  \in \Lambda^3(\mathcal N), so ergibt deren Ă€ußere Ableitung

 \mathrm d\mathbf J=0 \quad \text{(Kontinuitaetsgleichung)}\,.

Dies entspricht dem schon erwĂ€hnten Erhaltungssatz fĂŒr die Gesamtladung.

WĂ€hrend nun die beiden homogenen Maxwell-Gleichungen (Maxwell I und II) durch die Aussage zusammengefasst werden können, dass die elektrischen bzw. magnetischen Felder \vec E bzw. \vec B durch eine einzige geschlossene Differentialform zweiter Stufe \,\mathbf F reprĂ€sentiert werden (\mathrm d\mathbf F=\mathbf 0), gilt fĂŒr die verbleibenden inhomogenen Maxwell-Gleichungen III und IV die Aussage, dass die Ă€ußere Ableitung der dualen Form \mathbf G \,:=\, *\mathbf F mit der Stromform \mathbf J identisch ist. Also

\mathrm d (*\mathbf F)=\mathbf J \quad \text{(inhomogene Maxwellgleichungen, III und IV)}\,. .

Damit ist die Gesamtheit aller vier Maxwell-Gleichungen in mathematischer Kurzform durch nur zwei Differentialformen, \mathbf F und \mathbf J, ausgedrĂŒckt. (Insbesondere folgt aus der letzten Gleichung sofort auch die KontuitĂ€tsgleichung, weil die zweimalige Ă€ußere Ableitung immer Null ergibt.)

Erneut spielt die Metrik keine direkte Rolle (indirekt ist sie sehr wichtig, z. B. bei der Definition der DualitĂ€t, die bei der Berechnung der Ladungen und Ströme aus den Feldern benötigt wird) sowie bei der Angabe der expliziten Form der Lorentzinvarianz. Auch die Mannigfaltigkeit  \mathcal N ist beliebig, solange sie Dimension 4 hat. Letztlich ist aber physikalisch auch hier die Metrik wesentlich, nicht nur bei der gerade erwĂ€hnten DualitĂ€t. Sondern auch hier kommt es nicht allein auf die VierdimensionalitĂ€t der Mannigfaltigkeit an, sondern auch auf die Unterscheidung zwischen Raum- und Zeitkoordinaten (bzw. zwischen sog. raumartigen und sog. zeitartigen Vektoren, Tensor- und Feldkomponenten), die sich ja mit Hilfe des metrischen Tensors ausdrĂŒcken. Dieser ist ja nicht gegeben durch ds^2=+c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2\,, sondern z. B. durch ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2\,. D.h. man hat es nicht mit einer \mathbb R^4- , sondern, wie schon gesagt, mit einer \mathbb M^4 -Mannigfaltigkeit zu tun. Die Unterscheidung von „raumartigen“ und „zeitartigen“ GrĂ¶ĂŸen in der Metrik hĂ€ngt auch mit dem Unterschied zwischen elektrischen und magnetischen Feldern zusammen. Obwohl die (insgesamt sechs) Feldkomponenten dieser GrĂ¶ĂŸen durch die Lorentz-Beziehungen ineinander transformiert werden können, ist die Charakterisierung eines Feldes als im Wesentlichen „elektrisch“ bzw. „magnetisch“ eine Invariante der Theorie, weil die Lagrange-Funktion, eine aus *F, F und J zusammengesetzte invariante Funktion, aus der sich die Bewegungsgleichungen (also die Maxwellschen Gleichungen) berechnen lassen, im cgs-System im Wesentlichen gleich B2-E2 ist. (Bemerkung: Ein Minkowski-Vektor \mathbf v ist raumartig bzw. zeitartig bzw. lichtartig, je nachdem ob  (ds)^2[\mathbf v] positiv bzw. negativ bzw. Null ist. Analog ist ein elektromagnetisches Feld im Wesentlichen magnetisch bzw. elektrisch bzw. wellenartig je nachdem ob die Lagrangefunktion, fĂŒr \mathbf J=0 , positiv bzw. negativ bzw. Null ist.)

Abstrakte Integralformulierung und Interpretation

Diese abstrakte differentielle Formulierung der Maxwellschen Gleichungen benutzt die Theorie der sog. alternierenden Differentialformen, insbesondere das sog. Ă€ußere Differential. Die zugehörige abstrakte Integralformulierung ergibt sich durch Anwendung des verallgemeinerten Stokesschen Satzes aus dieser mathematischen Theorie: Man konzentriert sich dazu in der angegebenen Drei-Mannigfaltigkeit V mit Minkowski-Metrik (z. B. eingebettet in den Raum \mathbb M^4\,) besonders auf deren Rand \partial V\,, eine geschlossene Zwei-Mannigfaltigkeit, und erhĂ€lt:

(\int_V {\rm d}\mathbf F\equiv )\, \oint_{\partial V}\mathbf F = \mathbf 0

fĂŒr alle V, sowie (mit \mathbf G = *\mathbf F\,) :

(\int_V {\rm d}\mathbf G\equiv )\,\oint_{\partial V}\mathbf G = \int_{V}\mathbf J\,.

Dabei steht der eigentlich interessierende Teil hinter der Klammer und es wird durch das Zeichen \oint im Sinne der Physik betont, dass das Integrationsgebiet \partial V eine geschlossene Mannigfaltigkeit ist. Die erste der beiden angegebenen Gleichungen enthĂ€lt das Faradaysche Induktionsgesetz und das Gesetz von der Nichtexistenz magnetischer Ladungen. In der letzten Gleichung ist das Maxwell-AmpĂšresche Gesetz und das Gesetz von Gauß enthalten. Beide Gesetze eines Paares gehören also jeweils zusammen. Das Gaußsche Gesetz z.B. besagt in der hier gegebenen abstrakten Formulierung: Der Fluss der elektromagnetischen Form \mathbf G durch den Rand der Mannigfaltigkeit V ist gleich der gesamten in V enthaltenen „Ladung“, wie sie sich aus der Stromform \mathbf J ergibt.

Die angegebene Eichfreiheit ergibt sich geometrisch daraus, dass man zu vorgegebenem Rand \Gamma =\partial V viele verschiedene Mannigfaltigkeiten V finden kann, die darin „hineinpassen“.

Historische Bemerkungen

Maxwell veröffentlichte seine Gleichungen 1865[1]. Im Jahr 1873 brachte Maxwell seine Gleichungen in eine quaternionische Darstellung[5]. Im Zuge dessen hat Maxwell auch das magnetische Potenzialfeld {}_{\boldsymbol \Omega} und die magnetische Masse m in seine Gleichungen eingefĂŒhrt und diese Feldvariablen in die Gleichung fĂŒr die elektromagnetische Kraft F eingefĂŒgt. Maxwell rechnete allerdings nicht direkt in dieser Notation, sondern behandelte den Skalarteil und den Vektorteil getrennt.

Die heute gĂ€ngigen Notationen wurden erst spĂ€ter von Oliver Heaviside[6] und Josiah Willard Gibbs[7] auf der Grundlage der ursprĂŒnglichen Maxwellschen Gleichungen von 1865 formuliert. Diese Notation ist einfacher zu lesen und in den meisten FĂ€llen auch einfacher anzuwenden, weshalb diese Notationen auch heute noch ĂŒblich sind. Hierbei handelt es sich jedoch um eine Untermenge der ursprĂŒnglichen Gleichungen.

Maxwellgleichungen im cgs-System

Im gaußschen cgs-System lauten die Maxwellgleichungen[8]:

Maxwellgleichungen im gaußschen cgs-System
AmpĂšresches Gesetz \nabla\times B = \frac{1}{c}\,\frac{\part E}{\part t} + 4\pi j
Induktionsgesetz \nabla\times E = -\frac{1}{c} \frac{\part B}{\part t}
Coulombsches Gesetz \nabla\cdot E = 4 \pi \rho
Gaußsches Gesetz des Magnetismus \nabla\cdot B = 0

Manchmal wird eine Form des gaußschen cgs Systems verwendet, in dem der Strom in esu gemessen wird; dann muß j mit einem Faktor \frac {1}{c} in den hier angegebenen Maxwellgleichungen versehen werden.

FĂŒr die Potenziale wird im cgs-System gesetzt:

\boldsymbol E = -\nabla\,\phi - \frac {1}{c}\,\frac{\part \boldsymbol A}{\part t}\,,
\boldsymbol B = \nabla \times \boldsymbol A\,.

Bei der Formulierung der Maxwellgleichungen im cgs-System von Heaviside-Lorentz entfallen die Faktoren 4π in obigen Gleichungen. Bei der Formulierung in natĂŒrlichen Einheiten muß in den obigen Gleichungen c=1 gesetzt und die Faktoren 4π mĂŒssen weggelassen werden.

Literatur

  • Wolfgang Panofsky, Melba Phillips: Classical Electricity and Magnetism, Addison Wesley (zuerst 1955)
  • John David Jackson: Classical Electrodynamics, John Wiley (zuerst 1962)
  • KĂĄroly Simonyi: Theoretische Elektrotechnik, Harri Deutsch
  • Lew Landau, Jewgeni Lifschitz: Theoretische Physik Bd. 2: Klassische Feldtheorie, Harri Deutsch
  • Richard Becker, Fritz Sauter: Theorie der ElektrizitĂ€t, Bd. 1 (EinfĂŒhrung in die Maxwellsche Theorie, Elektronentheorie, RelativitĂ€tstheorie), Teubner
  • Richard Feynman: Lectures on Physics, Bd. 2, Addison-Wesley
  • GĂŒnther Lehner: Elektromagnetische Feldtheorie fĂŒr Ingenieure und Physiker. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 978-3-5402-6550-4. 
  • Uwe Krey, Anthony Owen: Basic Theoretical Physics: A Concise Overview. Springer, Berlin, Berlin 2007, ISBN 978-3-5403-6804-5. 

Referenzen

  1. ↑ a b James Clerk Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Royal Society Transactions 155, 1865, Seiten 459–512
  2. ↑ Yakir Aharonov, David Bohm; „Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory, Physical Review 115/3, 1959
  3. ↑ Albert Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik und Chemie 17, 30. Juni 1905, Seiten 891-921
  4. ↑ Die DualitĂ€tsoperation vertauscht u.a. kovariante und kontravariante Vektor-Komponenten. D.h.: hier ist der metrische Tensor wichtig.
  5. ↑ James Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity & Magnetism, Dover Publications, New York 1873, ISBN 0-486-60636-8 und ISBN 0-486-60637-6
  6. ↑ Oliver Heaviside, On the Forces, Stresses and Fluxes of Energy in the Electromagnetic Field, Philosophical Transactions of the Royal Society 183A, 1892, Seite 423
  7. ↑ E. B. Wilson, Vector Analysis of Josiah Willard Gibbs – The History of a Great Mind, Charles Scribner’s Sons New York, 1901
  8. ↑ z.B. Panofsky, Phillips, 2. Auflage 1978, S.466. Dort sind im Anhang auch ErlĂ€uterungen zu den Maßeinheiten.

Weblinks


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