√úbergangsbogen

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√úbergangsbogen

√úbergangsbogen (curves of adjustement; courbes de raccordement; curve di raccordo) werden zwischen geradem und gekr√ľmmtem Gleis oder zwischen anschlie√üenden gleichgerichteten Gleisbogen (Korbbogen) zur allm√§hlichen Herbeif√ľhrung dieser Richtungs√§nderungen eingeschaltet, um bei den gro√üen Fahrgeschwindigkeiten die Betriebssicherheit zu erh√∂hen, die Abnutzung des Materials (s. Schienenabnutzung) zu verringern und um schlie√ülich das Reisen durch weitgehende Behebung des Sto√üens und Schleuderns der Wagen angenehmer zu gestalten.

Zur Vermittlung der Richtungs√§nderung zwischen der Geraden und dem Kreisbogen w√ľrde sich theoretisch jede krumme Linie eignen, die in dem auf der Geraden liegenden Anfangspunkt A (Abb. 488) und in ihrem auf dem Kreisbogen befindlichen Endpunkt E die Gerade bzw. den Kreisbogen in zweiter Ordnung ber√ľhrt, demnach in A einen Wendepunkt mit dieser Geraden als Wendetangente besitzt. Hieraus folgt, da√ü der Halbmesser ŌĀ des Kr√ľmmungskreises im Anfangspunkt des √ú. unendlich gro√ü sein mu√ü und mit dem Fortschreiten auf dem √ú. stetig abzunehmen hat, bis er in deren Endpunkt E den Wert R des Halbmessers des anschlie√üenden Kreisbogens erreicht.

Dieses Fortschreiten auf dem √ú. kann nun in erster Ann√§herung in der Richtung der wachsenden Abszissen gemessen werden und f√ľhrt, sobald die Gerade als Abszissenachse und A als Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems angenommen werden, zu der grundlegenden mathematischen Beziehung


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die ausdr√ľckt, da√ü der Kr√ľmmungshalbmesser ŌĀ in jedem Punkt des √ú. mit dessen Abszisse x in umgekehrtem Verh√§ltnis steht.

Es kann aber, was der Bewegung der Fahrzeuge im Kreisbogen besser entspricht, das Fortschreiten in der Richtung der wachsenden Sehnen s des Ü. oder, im Sinne einer vollkommen strengen mathematischen Auffassung der Aufgabe, in der Richtung des wachsenden Bogens b des Ü. gemessen werden, so daß sich die weiteren Grundgleichungen


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ergeben.

Max v. Leber hat eingehende Untersuchungen √ľber die aus diesen 3 Differentialgleichungen hervorgehenden Kurven angestellt und sie als Abszissen-, Sehnen- und Bogenradioide bezeichnet. Die Abszissenradioide (Abb. 489) besteht aus 2 √ľbereinandergestellten ellipsen√§hnlichen Ovalen, deren Achsenverh√§ltnis 1 : 0‚ąô5990 betr√§gt, die Sehnenradioide (Abb. 490) ist die bekannte Bernoullische Lemniskate, deren Achse unter 45¬į gegen die Abszissenachse geneigt ist, und die Bogenradioide (Abb. 491) ist identisch mit der Clothoide, einer Spirale, die in unendlich vielen Windungen den symmetrisch gelegenen Punkten mit den Koordinaten

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asymptotisch zustrebt. Wichtig ist nun die Erkenntnis, da√ü im Bereich der praktischen Verwertung dieser 3 Kurven als √ú., d.i. bis zu einer Anomalie von ungef√§hr 9¬į, die Kurven voneinander gar nicht abweichen, ja da√ü sich sogar mit ihnen innerhalb dieser Grenze der allgemein in Verwendung stehende √ú. deckt, dessen Differentialgleichung aus jener der Abszissenradioide durch Vernachl√§ssigung der ersten Ableitung hervorgeht, also wenn


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gesetzt wird. Die zweimalige Integration gibt dann


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die Gleichung der kubischen Parabel. Damit d√ľrfte auch hinreichend erkl√§rt sein, warum Vorschl√§ge, die die Einf√ľhrung der Lemniskate (Paul Adam in ¬ĽAnnales des Ponts et Chauss√©es¬ę 1895) oder der Clothoide (d'Ocagne, ebenda 1902; in beiden Aufs√§tzen werden die Absteckdaten f√ľr diese √ú. berechnet) als √ú. bef√ľrworten, keinen Erfolg haben.

Da die kubische Parabel in dem Punkt mit den Koordinaten


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und


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einen Scheitel mit dem kleinsten Kr√ľmmungshalbmesser


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hat, so ergibt sich erstens, da√ü der Halbmesser R des Kreisbogens den vorstehenden, f√ľr jedes C zu berechnenden Grenzwert nicht unterschreiten darf und da√ü zweitens, weil beiderseits dieses Scheitels gleiche Kr√ľmmungsverh√§ltnisse bestehen, ein oszillierender Anschlu√ü an einen Kreisbogen vor und nach diesem Scheitel erfolgen kann. Im ersteren Fall ber√ľhrt der √ú. den Kreisbogen von au√üen, im letzteren von innen.

Obwohl theoretisch beide L√∂sungen zul√§ssig erscheinen, wird tats√§chlich nur von dem au√üen ber√ľhrenden Anschlu√ü Gebrauch gemacht und der innere mit einigen Ab√§nderungen nur in jenen seltenen F√§llen verwendet, wo √∂rtliche Verh√§ltnisse der nachtr√§glichen Einschaltung eines √ú. in bestehende Eisenbahngleise besondere Schwierigkeiten bereiten. Hier√ľber findet man eingehenden Aufschlu√ü in dem unten angegebenen Werk von Leber.

Unerl√§√ülich ist f√ľr die Anbringung eines √ú. mit √§u√üerem Anschlu√ü, da√ü zwischen der Geraden und der zu ihr parallelen Tangente an den Kreisbogen im Punkt G (Abb. 488) ein Abstand v vorhanden ist, der entweder dadurch gewonnen werden kann, da√ü bei beibehaltenem Kreishalbmesser R der Bogen um den Betrag WW1 = v : cos ő≥/2 in der Richtung der Halbierenden des Tangentenwinkels ő≥ nach innen verschoben wird oder dadurch, da√ü bei beibehaltenem Mittelpunkt C der Kreishalbmesser R1 um den Betrag v vermindert wird.

Da aus der Grundgleichung 1/ŌĀ = x/C folgt, da√ü die Abszisse f√ľr den Endpunkt E des √ú.


xl = l = C/R


und somit bei der kubischen Parabel die Ordinate f√ľr E

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sein muß, so rechnet sich der Abstand v, wie der Abb. 488 entnommen werden kann, mit


v = yl ‚Äď R (1 ‚Äď cos őĺ),


wobei őĺ den Winkel bezeichnet, den die gemeinschaftliche Tangente in E an den Kreis und an die kubische Parabel mit der Abszissenachse einschlie√üt, f√ľr den die Beziehung


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besteht. Die zur Ordinate v gehörende Abszisse u liefert die Formel


u = l ‚Äď R ‚ąô sin őĺ.


Nur in jenen F√§llen, in denen der Winkel őĺ so klein ist, da√ü es gestattet ist, seine trigonometrische Tangente mit dem Sinus zu vertauschen, kann, wie sonst allgemein √ľblich,

u = l/2


gesetzt werden und weil dann die Ordinate des Punktes E bezogen auf die Kreistangente in G angenähert gleich l2/8 R ist, so berechnet sich v mit


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oder

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Die Berechnung der Konstanten C folgt aus der Erw√§gung, da√ü die der gr√∂√üten Fahrgeschwindigkeit V in km/Std. und der Spurweite s entsprechende Schienen√ľberh√∂hung h (s.d.) des √§u√üeren Schienenstrangs √ľber den inneren am Endpunkt E des √ú. im vollen Ausma√ü erreicht wird und da√ü der Anstieg im Anfangspunkt A des √ú. beginnend sich gleichm√§√üig auf eine solche L√§nge l verteilt, da√ü das Steigungsverh√§ltnis 1/i in der Rampe innerhalb der Grenzwerte i = 300 und i = 600 liegt.

Das Ausma√ü der Schienen√ľberh√∂hung rechnet sich nach der Formel


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somit muß die Länge des Ü. in der Abszissenachse gemessen

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sein, woraus sich die Beziehung ableitet, daß


C = i k


anzunehmen ist, und schwankt demnach dieser Wert zwischen 750 und 54.000, da k nach der beim Art. Schienen√ľberh√∂hung enthaltenen Tabelle (Bd. VIII, S. 334) zwischen den Werten 2‚ąô5 und 90 variiert. Leber empfiehlt f√ľr C die Werte 750, 1500, 3000, 4500, 6000, 12.000 und 24.000, von denen die ersten 5 f√ľr schmal- und vollspurige Lokalbahnen, die letzten 2 f√ľr Hauptbahnen fast allgemein Annahme fanden.

Bei Bogen von größerem Halbmesser, etwa R > 1/10 C, werden Ü. nicht mehr verlegt.

Wird z.B. C = 12.000 f√ľr eine Hauptbahn angenommen, so betr√§gt die Abszissenl√§nge des Endpunktes E des √ú. f√ľr einen Bogen mit


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die Bogenlänge


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der Winkel őĺ = 5¬į 29' 0‚ąô9'' und demnach das Ma√ü der Verschiebung v = 0‚ąô392 m.

Nach den neuesten, vorl√§ufig versuchsweise bei den √∂sterreichischen Staatsbahnen in Verwendung stehenden Vorschriften f√ľr die Ausf√ľhrung der √ú. werden folgende Formeln zu grunde gelegt.


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Hierbei ist der Anhaltspunkt des Ü. an die Gerade der Ursprung des Achsenkreuzes und die verlängerte Gerade die positive x-Achse (Abb. 492).

C wird der nachstehenden Tabelle gemäß bemessen:

Mindestfestziffer C.


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Literatur: Helmert, Die √úbergangskurven f√ľr Eisenbahngleise. Aachen 1872. ‚Äď Maximilian de Leber, Calculs des Raccordements paraboliques dans les trac√©s de chemin de fer. Paris 1892; Verordnungsblatt des HM. f√ľr Eisenbahn- und Schiffahrt Nr. 102 und 131 vom Jahre 1890. ‚Äď M. Pernt, Tafeln zum Abstecken von Kreis- und √ú. mit Polarkoordinaten und andere im Art. ¬ĽAbstecken¬ę angef√ľhrte Tabellenwerke. ‚Äď H.K. M√ľller, Tafelbuch f√ľr Gleiskr√ľmmungen. Hamburg 1917.

Pernt.

Abb. 488.
Abb. 488.
Abb. 489.
Abb. 489.
Abb. 490.
Abb. 490.
Abb. 491.
Abb. 491.
Abb. 492.
Abb. 492.

http://www.zeno.org/Roell-1912. 1912‚Äď1923.

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