Reihe [1]


Reihe [1]

Reihe, in der Mathematik jede nach einem bestimmten Gesetze gebildete Folge von Größen; diese Größen nennt man die Glieder der R. und bezeichnet sie, mit dem Anfangsglied beginnend, als erstes, zweites etc. Glied der R. Versteht man unter n eine beliebige positive ganze Zahl, so kann man meistens aus n einen Ausdruck bilden, der, sobald man für n die Werte 1, 2, 3 etc. einsetzt, das erste, zweite etc. Glied der R. ergibt; dieser Ausdruck heißt das n te oder das allgemeine Glied der R. Die einfachsten Reihen sind die, deren Glieder eine sogen. arithmetische oder geometrische Progression bilden. Eine arithmetische Progression hat man, wenn jedes Glied der R. dadurch entsteht, daß man zu dem vorhergehenden eine gewisse Zahl, und zwar immer dieselbe, addiert. Ist a das erste Glied (Anfangsglied) der R. und d die zu addierende Zahl (die Differenz der R.), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, a+d, a+2d etc., und das allgemeine (n te) Glied lautet: a+(n-1)d. Die Summe der n ersten Glieder der R. wird gleich: na+1/2n(n-1)d = 1/2n(a+t), wenn t das nie Glied ist. Eine arithmetische Progression bilden z. B. die natürlichen Zahlen: 1, 2, 3 etc. Hier ist a = d = 1, die Summe der n = 100 ersten Zahlen ist daher: 1/2100(1+100) = 50.101 = 5050. Bildet man für n = 1, 2, 3 etc. jedesmal die Summe der n ersten Glieder einer arithmetischen Progression, so bekommt man eine sogen. arithmetische R. zweiter Ordnung, aus der man durch Wiederholung dieses Verfahrens solche von dritter und höherer Ordnung ableiten kann. Die gewöhnlichen arithmetischen Reihen bezeichnet man als solche erster Ordnung. Eine geometrische Progression hat man, wenn jedes Glied der R. dadurch entsteht, daß man das vorhergehende mit einer gewissen Zahl, und zwar immer mit derselben, multipliziert. Ist a das erste Glied und e diese Zahl (der Exponent der Progression), so haben die Glieder der R. die Gestalt: a, ae, ae2 etc., und aen-1 ist das allgemeine (nte) Glied. Die Glieder der R. nehmen fortwährend zu oder fortwährend ab, sie bilden eine steigende oder eine fallende Progression, je nachdem e größer oder kleiner als 1 ist. Für die Summe der n ersten Glieder der R. ergibt sich der Wert; a(en-1)/(e-1). Verlangt man z. B., wie es der sagenhafte Erfinder des Schachspiels als Belohnung für seine Erfindung von seinem König verlangt haben soll, daß auf das erste Feld des Schachbrettes ein Korn gelegt werde, auf das zweite 2, auf das dritte 4, kurz auf jedes folgende Feld doppelt so viel Körner als auf das vorhergehende, so erhält man für das letzte (64.) Feld 263, d. h. 9,223372,036854,775808 Körner, und die Gesamtzahl aller Körner wird: 264-1 oder 18,446744,073709,551615. Anwendung finden die geometrischen Progressionen besonders in der Zinseszinsrechnung (s. d.). In der höhern Mathematik spielen besonders die unendlichen Reihen eine große Rolle, das sind Reihen, die unendlich viele Glieder haben. Bezeichnen wir jedes Glied einer solchen R. durch den Buchstaben a, an den wir als sogen. Index (Zeiger) die Zahl anhängen, die die Nummer des Gliedes angibt, so können wir die Glieder der R. so schreiben: a1, a2, a3 etc. und a., wird das n te Glied, wo die ganze positive Zahl n so groß werden kann, wie man will. Es kommt nun darauf an, ob diese R. eine Summe hat, d. h. ob die Summe aller Glieder der R.: a1+a2+a3+etc. bis ins Unendliche einen endlichen bestimmten Wert hat. Da man aber die unendlich vielen Glieder nicht wirklich addieren kann, so muß erst noch erklärt werden, was hier unter »Summe« zu verstehen ist. Man bezeichnet nämlich als Summe der unendlichen R.: a1, a2, a3 etc. den Grenzwert, dem sich die aus dem ersten, aus den zwei ersten, aus den drei ersten Gliedern etc. gebildeten Teilsummen: s1 = a1, s2 = a1+a2, s3 = a1+a2+a3, etc., sn = a1+a2+a3+etc. bis +an immer mehr nähern, je mehr Glieder der R. man mitnimmt, je größer man also in der Summe 8., der n ersten Glieder die Zahl n werden läßt. Gibt es einen solchen Grenzwert, und ist dieser endlich, so heißt die R. konvergent, ist dagegen der Grenzwert unendlich groß, oder gibt es gar keinen solchen Grenzwert, so heißt die R. divergent. So ist z. B. die geometrische R.: a, ae, ae2 etc. divergent, sobald e größer als 1 ist, aber konvergent, wenn e kleiner als 1, denn die Summe sn ihrer n ersten Glieder hat nach dem Frühern den Wert: sn = a(en-1)/(e-1), einen Ausdruck, der für e größer als 1 mit wachsendem n über alle Grenzen wächst und mithin dem Grenzwert Unendlich zustrebt, während er für e kleiner als 1 mit wachsen dem n dem Werte a/(1-e) immer näher kommt, weil nämlich sn in der Form: a/(1-e)-a/(1-e)en geschrieben werden kann, wo das Glied: a/(1-e)en für e kleiner als 1 mit wachsendem n fortwährend abnimmt und, wenn man n groß genug wählt, so klein gemacht werden kann, als man will, kleiner als ein Millionstel, als ein Billionstel etc. Eine R., bei der überhaupt kein Grenzwert von der besprochenen Art vorhanden ist, ist diese: 1–1+1–1+etc.; hier ist die Summe einer ungeraden Anzahl von Gliedern, vom ersten angefangen, immer gleich 1, die Summe einer geraden Anzahl von Gliedern immer gleich 0, so daß die unendliche R. gar keine bestimmte Summe hat. Mathematisch brauchbar sind nur die konvergenten Reihen, doch ist es in den meisten Fällen keine leichte Aufgabe, zu entscheiden, ob eine vorgelegte unendliche R. konvergiert oder nicht. Näheres über unendliche Reihen findet man in den Lehrbüchern der höhern Analysis und der Differentialrechnung. Vgl. Reiff, Geschichte der unendlichen Reihen (Tübing. 1889).


http://www.zeno.org/Meyers-1905. 1905–1909.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • NMBS/SNCB-Reihe AM 54 — Reihe AM 62 79 im Bahnhof von Dolhain Die Reihe AM 62 79/AM 54/AM56 (auch als Tweetjes bezeichnet) der Belgischen Staatsbahn (NMBS/SNCB) ist eine Reihe von 140 km/h schnellen zweiteiligen Elektrotriebfahrzeug Einheiten. Sie wird hauptsächlich im… …   Deutsch Wikipedia

  • NMBS/SNCB-Reihe AM 56 — Reihe AM 62 79 im Bahnhof von Dolhain Die Reihe AM 62 79/AM 54/AM56 (auch als Tweetjes bezeichnet) der Belgischen Staatsbahn (NMBS/SNCB) ist eine Reihe von 140 km/h schnellen zweiteiligen Elektrotriebfahrzeug Einheiten. Sie wird hauptsächlich im… …   Deutsch Wikipedia

  • NMBS/SNCB-Reihe AM 62-79 — Reihe AM 62 79 im Bahnhof von Dolhain Die Reihe AM 62 79/AM 54/AM56 (auch als Tweetjes bezeichnet) der Belgischen Staatsbahn (NMBS/SNCB) ist eine Reihe von 140 km/h schnellen zweiteiligen Elektrotriebfahrzeug Einheiten. Sie wird hauptsächlich im… …   Deutsch Wikipedia

  • Endliche Reihe — In der Mathematik ist eine (unendliche) Reihe eine Folge, deren Glieder (Partialsummen) als Summen der ersten n Glieder einer anderen Folge gegeben sind. Inhaltsverzeichnis 1 Nomenklatur 2 Beispiele 3 Konvergenzkriterien 3.1 Beispiele …   Deutsch Wikipedia

  • Geometrische Reihe — Geometrische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant. Ein Startwert der geometrischen… …   Deutsch Wikipedia

  • Die Reihe — was a German language music journal, edited by Herbert Eimert and Karlheinz Stockhausen and published by Universal Edition (Vienna) between 1955 and 1962 (ISSN 0486 3267). An English edition was published, under the original German title,… …   Wikipedia

  • NMBS/SNCB-Reihe 52-54 — Baureihe DSB MY, MX; NSB Di 3 SNCB 202, 203, 204 (52, 53, 54), CFL 16, MAV M61 Nummerierung: DSB MY 1101–1159, MX 1001–1045 NSB Di 3.602–3.633, 3.641–3.643 MÁV M61 001–020 SNCB 202.001–202.018, 203.001–203.019, 204.001–204.004 CFL 1601–1604… …   Deutsch Wikipedia

  • Brother LW-Reihe — Die LW Reihe ist eine Abfolge verschiedener Schreibmaschinenmodelle mit Diskettenlaufwerk des Büromaschinenherstellers Brother. Inhaltsverzeichnis 1 Die LW Reihe 2 Generationen 3 Typenvarianten …   Deutsch Wikipedia

  • Hanomag F-Reihe — Hanomag F 55 als Doppelkabiner Die Hanomag F Reihe war eine Baureihe größerer Kleintransporter (innerhalb dieser Kategorie also Großtransporter) und Leichtlastwagen des Herstellers Hanomag bzw. später Hanomag Henschel. Die Modellreihe wurde 1967… …   Deutsch Wikipedia

  • LW-Reihe — Die LW Reihe ist eine Abfolge verschiedener Schreibmaschinenmodelle mit Diskettenlaufwerk des Büromaschinenherstellers Brother. Inhaltsverzeichnis 1 Die LW Reihe 2 Generationen 3 Typenvarianten 4 Konvertierungsproblem 5 …   Deutsch Wikipedia

  • E-Reihe — Eine E Reihe ist eine nach der sog. Renard Serie genormte Folge von Eigenschaftswerten elektrischer Bauelemente. Die im Handel erhältlichen Werte von Widerständen, Kondensatoren und Spulen haben bis auf seltene Ausnahmen nominelle Werte aus einer …   Deutsch Wikipedia


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.