Kegelfläche [2]

Kegelfläche. Darstellung durch Projektion. Der senkrechte Kreiskegel wird in der Regel mit seinem Grundkreis in der Grundrißebene liegend dargestellt. Sein Aufriß ist ein gleichschenkliges Dreieck (s. Fig. 1). Der ebene Schnitt mit einem solchen Kegel ist ein Kegelschnitt, und zwar eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem die Ebene alle Mantellinien des Kegels in Endlichen trifft oder aber zu einer oder zu zweien derselben parallel läuft (Fig. 13). Enthält die Schnittebene die Kegelspitze, so zerfällt der Kegelschnitt in zwei Mantellinien, steht die Ebene zur Kegelachse senkrecht, so ist die Schnittlinie eine Kreislinie, z.B. K (s. Fig. 1).

Man ermittelt die Schnittfigur entweder mittels Mantellinien, die auf der Kegelfläche angenommen werden, oder mit Zuhilfenahme der ebengenannten Kreise K. So liefert z.B. die Mantellinie durch Punkt 5 (s. Fig. 1) im Aufriß den Punkt V, der in den Grundriß auf die Mantellinie durch 5, also nach V zu projizieren ist, oder die Horizontale K2 durch IV im Aufriß (s. Fig. 1) stellt den Aufriß eines Kreises K dar, dessen Grundriß K1 ist, und auf diesem liegt der Grundriß IV. Die wahre Gestalt der Ellipse B ist in B3 durch Umlegung der Ebene B2 in die Aufrißebene dargestellt. Eine Kugel K, welche die Ebene B2 und den Kegel berührt, liefert in ihrem Berührungspunkt mit B2 einen Brennpunkt f2 der Ellipse B, dieser ist nach f3 in die Umlegung übertragen. Im Grundriß stellt die Kegelspitze s1 einen Brennpunkt für den Grundriß B1 dar. Hierdurch ist auch die kleine Achse von B1 gegeben. Letztere bestimmt sich auch mittels der durch m2 gelegten Horizontalebene, diese enthält den Kegelkreis C, dessen Grundriß C1 die Endpunkte der kleinen Achse von B1 auf der Projizierenden durch m2 ausschneidet.

In Fig. 2 ist der Parabel-, in Fig. 3 der Hyperbelschnitt dargestellt. Die Abwicklung des Kegelmantels ist ein Kreisausschnitt (s. Fig. 4) mit einem Halbmesser gleich der Seitenlänge des Kegels und einer Bogenlänge gleich dem Umfang des Kegelgrundkreises. Bezeichnet l diese Seitenlänge, r den Halbmesser, u den Umfang und α den Centriwinkel des Kreisausschnittes, so ist α = r : l · 360°. Im vorliegenden Falle ist r : l = 1/3. daher α = 120°. Ist der Grundkreis eingeteilt, so erfährt die gleiche Teilung der Bogen 1'' 1'' (s. Fig. 4). Die Schnittlinie B bestimmt sich in der Abwicklung durch Abtragen der wahren Abstände ihrer Punkte von der Kegelspitze auf den entsprechenden Mantellinien der Abwicklung, so ist z.B. der wahre Abstand des Punktes V[409] von der Kegelspitze aus dem Aufriß (Fig. 1) gleich


Kegelfläche [2]

zu entnehmen und in die Abwicklung (Fig. 4) nach


Kegelfläche [2]

zu übertragen.

Der Berührungspunkt einer auf der Schnittebene B senkrechten Berührungsebene an den Kegel mit der Schnittlinie B gibt einen Wendepunkt der Linie B''. In der Fig. 1 ist die eine Spur S1 einer solchen Berührungsebene ermittelt und damit der Punkt b, der nach der Abwicklung des Kegelmantels (Fig. 4) sich in einen Wendepunkt b'' verwandelt, benimmt. Es ist S'' Tangente an A'' in a''


Kegelfläche [2]

Der zweite Wendepunkt l0 ist in Fig. 4 ebenfalls eingetragen.

Beim schiefen Kreiskegel ist in der Regel der Grundkreis und ein außerhalb der Kreisfläche liegender Punkt als Kegelspitze zur Darstellung gegeben (s. Fig. 5). Die Abwicklung des Kegelmantels geschieht hier durch Annahme einer hinlänglichen Anzahl von Mantellinien und der Ermittlung der wahren Gestalten der von aufeinander folgenden Mantellinien und den dazwischen liegenden Grundkreisstücken eingeschlossenen Dreiecke und deren Aneinanderreihung in der Ebene. In der Fig. 5 sind eine Anzahl von Mantellinien angenommen und in wahrer Länge ermittelt; so ist


Kegelfläche [2]

die wahre Länge der Mantellinie durch den Punkt 5 von A u.s.w. Aus dem beliebig angenommenen Punkt s'' (Fig. 6) wurden mit diesen wahren Längen Kreisbögen beschrieben und von einem auf dem größten Kreise angenommenen Punkte 1'' die Strecke


Kegelfläche [2]

[410] u.s.w., gleich den entsprechenden Strecken


Kegelfläche [2]

von A1, (Fig. 5) so abgetragen daß die Punkte 2'', 3'', 4'' u.s.w., auf den mit den Halbmesser


Kegelfläche [2]

u.s.w. beschriebenen Kreisen liegen. Hierdurch ergibt sich in s'' 7'' 7'' A'' (s. Fig. 6) der abgewickelte Kegelmantel, auf welchen die Schnittlinie B der Ebene B2 mit dem Kegel nach B'' übertragen ist. Es ist z.B. s'' VI'' (Fig. 6) = s2 VI' (Fig. 5) u.s.w. Die Wendepunkte b'' und b1'' sind eingetragen.


Kegelfläche [2]

Kegeldurchdringung. Zwei Kreiskegel durchdringen sich nach einer Raumkurve C von der 4. Ordnung, von welcher Fig. 7 eine Ansicht in Grund- und Aufriß zeigt; ihre Punkte bestimmen sich mittels Hilfsebenen, welche die beiden Kegelspitzen enthalten und beide Kegel nach Mantellinien schneiden, die sich ihrerseits in Punkten von C begegnen. In der Fig. 7 ist die Konstruktion einzelner Punkte angedeutet. Die Hilfsebenen enthalten die Schnittpunkte u und v der Verbindungslinie s t der Kegelspitzen mit den Ebenen der Grundflächen A und B. So ist z.B. die Tangente D3 durch v3 an B3 die dritte Spur einer solchen Hilfsebene; ihre erste Spur geht durch a1 und u1. Hierdurch sind die Mantellinien durch 1–2 auf beiden Kegeln bestimmt, welche die Schnittpunkte I und II von C ergeben. In der Fig. 7 sind noch einige weitere Punkte, insbesondere je auf den scheinbaren Umrissen der Kegel liegende Punkte angedeutet. Im Punkte V ist eine Tangente von C, als Schnittlinie der beiden Berührungsebenen in V an die beiden Kegel bestimmt worden. Dem Punkte V entspricht der Punkt 5 auf A und B. Die Horizontalspuren J1 und H1 der Berührungsebenen längs der Mantellinien s 5 und t 5 an die beiden Kegel schneiden sich in einem Punkte g1 der Tangente J1 an den Grundriß C1 der Kurve C. Der Ansicht J2 ist die Verbindungslinie r g2; in der Figur nicht gezeichnet.

Vonderlinn.

Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3.
Fig. 1., Fig. 2., Fig. 3.
Fig. 4.
Fig. 4.
Fig. 5.
Fig. 5.
Fig. 6.
Fig. 6.
Fig. 7.
Fig. 7.

http://www.zeno.org/Lueger-1904.

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