Biegung

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Biegung

Biegung nennt man solche Verschiebungen der Teilchen von St√§ben oder Platten, durch welche Form√§nderungen ihrer Achse oder Achsschicht (s.d. und Achse eines Stabes) bedingt sind. An dieser Stelle soll die elastische Biegung von St√§ben zur Sprache kommen (s.a. Feder, Platten). Die Achslinie nach der Biegung hei√üt elastische Linie (s.d.) oder Biegungslinie. Meist werden nur F√§lle behandelt, in welchen die Stabachse urspr√ľnglich, d.h. im spannungslosen Zustande des Stabes bei einer als normal angenommenen [792] Temperatur, gerade oder einfach gekr√ľmmt war, alle √§u√üeren Kr√§fte in einer Symmetrieebene des Stabes wirken (oder doch in der Ebene durch eine der Haupttr√§gheitsachsen der Querschnitte, s. Tr√§gheitsmoment) und in jeder Senkrechten zu dieser Biegungsebene der Stabachse √ľberall gleiche Biegungsverh√§ltnisse bestehen oder angenommen werden, so da√ü es gen√ľgt, die Untersuchung der letzteren in der Ebene durchzuf√ľhren. Die technische Biegungstheorie geht von gewissen Voraussetzungen aus, durch welche die G√ľltigkeit ihrer Resultate beschr√§nkt ist (vgl. unten I.). Gew√∂hnlich sind es die folgenden: a) Die Fl√§chenelemente, welche vor der Biegung auf einem ebenen Querschnitte lagen, bilden auch nach der Biegung eine zur Stabachse senkrechte Ebene. b) F√ľr die Biegung kommen nur die L√§ngen√§nderungen der zur Achse parallelen Fasern und f√ľr diese neben Temperatur√§nderungen nur die Zug- und Druckkr√§fte an den Querschnittselementen in Betracht. c) Die Elastizit√§tsmoduln f√ľr Zug und Druck sind innerhalb der Biegungsgrenzen f√ľr alle unter b) erw√§hnten Fasern als gleich und konstant anzusehen (Mittelwerte). Diese Annahmen und Voraussetzungen m√∂gen, soweit nichts Gegenteiliges bemerkt wird, auch im folgenden gelten. Uebrigens pflegt die Annahme betreffend das Ebenbleiben der Querschnitte bei der Form√§nderung auch dann als Ausgangspunkt zu dienen, wenn die Voraussetzungen b) und c) nicht aufrechterhalten werden (s. z.B. Betoneisenkonstruktionen); sie hat sich bei Versuchen mit Schwei√üeisen und Flu√üeisen bis zu sehr weit getriebener Biegung und selbst bei Gu√üeisen, Granit, Sandstein u.s.w. verh√§ltnism√§√üig gut bew√§hrt [25], S. 210, 232, 246, [26], S. 34, 436, 438. – Die Hauptaufgabe der technischen Biegungstheorie besteht darin, die mit der Biegung verbundenen Beanspruchungen und St√ľtzenreaktionen zu ermitteln. Daneben interessieren die Form√§nderungen, mitunter an sich (Einsenkungen u.s.w.), h√§ufiger aber deshalb, weil manche Gr√∂√üen, welche bei Berechnung jener Beanspruchungen bekannt sein m√ľssen, nur aus Beziehungen f√ľr die Form√§nderungen abgeleitet werden k√∂nnen (St√ľtzenmomente durchlaufender und verschiedener einfacher Balken, Horizontalschub von Bogen u.s.w.). Da die Resultate der Biegungstheorie f√ľr die wichtigsten F√§lle bei der Behandlung der letzteren vorzuf√ľhren sind (s.u.a. Balken und Bogen, einfache und durchlaufende, Einsenkung, Elastische Linie, Zug und Druck, exzentrischer, Knickfestigkeit, Nebenspannungen), so wollen wir uns hier auf die Anf√ľhrung der Grundformeln beschr√§nken.

F√ľr einen beliebigen Querschnitt x m√∂gen bezeichnen Mx das Angriffsmoment (Biegungsmoment), Nx, Tx, Vx, Hx die Normalkraft, Transversalkraft, Vertikalkraft und Horizontalkraft (s. Angriffsmoment, Balken, Bogen), J das Tr√§gheitsmoment (s.d.) in Hinsicht der Achsschicht und ν die positive oder negative Entfernung eines Querschnittelementes von der letzteren. Spannungen hei√üen im folgenden Beanspruchungen pro Fl√§cheneinheit im Innern der betrachteten St√§be. Normalspannungen wirken normal, Schubspannungen l√§ngs den ergriffenen Fl√§chenelementen (s. Spannung). Alle Form√§nderungen seien so klein vorausgesetzt, da√ü die Aenderungen der Stababmessungen gegen deren urspr√ľngliche Werte vernachl√§ssigt werden d√ľrfen.

I. Biegung horizontaler Balken.

Als horizontale Balken bezeichnet man solche Balken (s.d.), deren Achse stets nur sehr wenig von einer Horizontalen abweicht (so wenig, daß die Tangente des Neigungswinkels gegen 1 vernachlässigt werden kann). Man hat dann bei beliebiger Belastung:

NX = HX = 0, Tx = Vx.

1.


Die Normalspannung auf ein Querschnittselement bei υ und die vertikale wie horizontale Schubspannung bei υ (Schubspannung auf ein Querschnittselement und auf ein Fl√§chenelement parallel der Achsschicht daselbst) sind ausgedr√ľckt:

σ = υ/J Mx τ = Sυ/bJ Vx

2.


wobei die υ unterhalb der Achsschicht und die in Fig. 1 angedeuteten Richtungen der Mx, Vx als positiv zu gelten pflegen. b bedeutet die Stabbreite bei ν und das statische Moment des Querschnittsteils von ν bis zum √§u√üersten Querschnittselement auf der positiven Seite der Achsschicht. Nach der ersten Gleichung 2. erhalten die Fasern auf der einen Seite der Achsschicht Zug, auf der andern Seite Druck; die ersteren werden verl√§ngert, die letzteren verk√ľrzt, die Achsschicht selbst bildet eine neutrale Schicht (s. Achse, neutrale). F√ľr nicht vertikale Fl√§chenelemente bei x, ν k√∂nnen die Normalspannungen und Schubspannungen im allgemeinen, gr√∂√üer werden als σ, τ. Die numerisch gr√∂√üten Werte f√ľr irgendwelche Fl√§chenelemente daselbst sind absolut genommen:


Biegung

[793] worin auch σ ohne Vorzeichen einzusetzen ist (s. Hauptspannungen), doch werden meist nur die Spannungen σ, τ in Betracht gezogen, was in vielen F√§llen gen√ľgt. F√ľr den ganzen Querschnitt erreicht in der Achsschicht, σ in der gr√∂√üten Entfernung e von der letzteren seinen gr√∂√üten Wert, w√§hrend speziell f√ľr Blechtr√§ger (s.d.) das gr√∂√üte N bei Beginn der Gurtung, das gr√∂√üte S zwischen Achsschicht und Beginn der Gurtung, gew√∂hnlich in einem dieser Grenzpunkte, eintritt. Die gr√∂√üte Normalspannung im Querschnittt x ist nach 2.:


Biegung

worin das positive oder negative Vorzeichen gilt, je nachdem f√ľr das von der Achsschicht entfernteste Querschnittselement υ = e oder υ = – e ist. Der Wert W = J: e hei√üt das Widerstandsmoment des Querschnitts. In der Tabelle S. 794 ff. sind die e, J, W hinsichtlich der strichpunktiert angedeuteten Achsschicht (bei horizontalen Balken neutrale Achse) f√ľr eine Reihe von Querschnitten angef√ľhrt. Da bei gleichem Mx der Wert von σe zufolge 4. mit wachsendem W abnimmt, so hat man Querschnittsformen von m√∂glichst gro√üem Widerstandsmoment bei bestimmter Fl√§che eingef√ľhrt (I-Tr√§ger, Blechtr√§ger u.s.w.). Mitunter wird die Form des Stabes so gew√§hlt, da√ü σe f√ľr alle Querschnitte den gleichen Wert hat (s. K√∂rper von gleichem Widerstande).

Bezeichnen beim Querschnitt x E den Elastizit√§tsmodul, ρ den schlie√ülichen Kr√ľmmungsradius der Stabachse und σ1 die Normalspannung der Querschnittselemente bei ν = 1, so hat man:

σ = υ σ1 = υ/ρ E, Mx = E J/ρ

5.


Denken wir uns in der Biegungsebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit horizontaler x-Achse und vertikaler y-Achse (Fig. 1) in fester Lage gegen die urspr√ľngliche Gruppierung der Stabteilchen angenommen und beziehen die Koordinaten y auf die Punkte der schlie√ülichen Stabachse, so folgt aus 5. mit dem durch die Differentialrechnung gelieferten Ausdrucke des Kr√ľmmungsradius


Biegung

die Differentialgleichung der Stabachse oder elastischen Linie:


Biegung

Die Gleichungen 5., 6. w√ľrden unter den Voraussetzungen a) bis c) auch f√ľr beliebig gro√üe Biegungen gelten [11]. Setzt man jedoch die Biegungen so klein voraus, da√ü (dy/dx)2 gegen 1 vernachl√§ssigt werden kann, so entsteht die Naviersche Biegungsformel:

d2y/dx2 = – Mx/E J

7.


welche Navier [1] zuerst mit nachhaltigem Erfolge als Ausgangspunkt der technischen Biegungstheorie gerader St√§be w√§hlte. Auf Grund von 7. sind z.B. die in den Art. Balken (auch einfache und durchlaufende) gegebenen Ausdr√ľcke der St√ľtzenmomente M, M', Mr und die in der vorletzten Kolumne der Tabelle S. 520, 521 angef√ľhrten Einsenkungen f berechnet [6], [15]. S.a. Elastische Linie, Einsenkung.

Da√ü die Naviersche Gleichung nebst den ihr zugrunde liegenden Voraussetzungen a)–c) (S. 792) auch nach der allgemeinen Theorie der Elastizit√§t f√ľr viele praktische F√§lle innerhalb der √ľblichen Beanspruchungen gen√ľgen, lassen einschlagende Arbeiten von Saint-Venant, Kirchhoff, Pochhammer [3], [4], [9] erkennen, und manche Versuchsresultate (Ebenbleiben der Querschnitte bei Bauschinger, Consid√®re, Kupffer, Hervortreten der Spannungstrajektorien bei Tetmajer u.s.w.), zahlreiche Beobachtungen an ausgef√ľhrten Konstruktionen (Einsenkungen, Form√§nderungen durchlaufender Balken u.s.w.) und jahrzehntelange Erfahrungen mit den auf Grund jener Annahmen berechneten eisernen Tr√§gern scheinen f√ľr ihre vielfache Zul√§ssigkeit zu sprechen. Anderseits beruhen auch die in Frage kommenden Teile der allgemeinen Elastizit√§tslehre auf Voraussetzungen, welche f√ľr technisch wichtige Materialien nicht einmal ann√§hernd zutreffen (Isotropie des Materials, gleiche und konstante Elastizit√§tsmoduln f√ľr Zug und Druck u.s.w.), die praktischen F√§lle entsprechen nicht immer gen√ľgend den Voraussetzungen der erw√§hnten theoretischen Ableitungen (die Querschnittsdimensionen verschwinden nicht gegen die L√§nge u.s.w.), und die gebr√§uchlichen Annahmen umfassen nicht alle Einwirkungen, deren Ber√ľcksichtigung unter Umst√§nden geboten sein kann (Temperatur√§nderungen, Reibungen an den Auflagern u.s.w.), wie dieselben auch keinesfalls bis zum Bruche gelten. So haben lieh mehrfach Abweichungen von den gew√∂hnlichen Formeln als notwendig erwiesen.

Die Gleichheit und Unver√§nderlichkeit der Elastizit√§tsmoduln f√ľr Zug und Druck gilt zwar innerhalb gewisser Grenzen ann√§hernd f√ľr Schwei√üeisen, Flu√üeisen und Stahl, nicht aber z.B. f√ľr Gu√üeisen. Dementsprechend fand Consid√®re, da√ü die neutrale Schicht bei diesem fast von Beginn der Biegung an von der Achsschicht abwich und z.B. bei einem bearbeiteten (von der Gu√ühaut befreiten) quadratischen Stabe von 2,01 cm St√§rke und 1 m Spannweite bis 0,614 der H√∂he von den √§u√üersten Zugfasern gegen die Druckseite gelangte. Die auf Grund von 4. ermittelte Biegungsfestigkeit (gr√∂√üte rechnungsm√§√üige Normalspannung im Bruchquerschnitt) war b = 2063 kg/qcm oder β = 1,83 mal so gro√ü als die f√ľr dasselbe Gu√üeisen bei gew√∂hnlichen Zugversuchen erhaltene Fertigkeit z = 1130 kg. Bei Versuchen mit runden Gu√üeisenst√§ben von[797] 2,03 cm Durchmesser erhielt Consid√®re β = 2,17 und 2,25, w√§hrend die franz√∂sische Bauverwaltung fr√ľher allgemein β = 2 annahm. Nach Consid√®re [14], S. 96 u. f., und Bach [25], S. 237 u. f., √ľberschreriet b den Wert von ζ um so mehr, je mehr sich das Material nach der Achsschicht hin zusammendr√§ngt; f√ľr einen quadratischen Stab mit horizontaler Diagonalschicht beispielsweise erhielt Bach √ü = 2,35 (s.a. Biegungsfestigkeit). Daneben machte sich bei Versuchen Bachs mit unbearbeiteten St√§ben ein Einflu√ü der Gu√ühaut auf Verminderung von β (um etwa 1/6) bemerkbar.

Wie Gu√üeisen, so weicht auch das als Konstruktionsmaterial f√ľr Hallenbedachungen viel verwendete Glas stark von der gew√∂hnlichen Biegungstheorie ab, was sich auch bei ihm schon darin zeigt, da√ü die neutrale Schicht nicht mit der Achsschicht zusammenf√§llt [17], S. 13. Bei Versuchen von Connert ergab sich, da√ü die Glasdicke von wesentlichem Einflu√ü auf jene Abweichungen ist, w√§hrend letztere f√ľr Weichglas und Hartglas so verschieden ausfielen, da√ü sie nur durch besondere Formeln f√ľr beide F√§lle dargestellt werden konnten [17], S. 109. Soweit die gew√∂hnlichen Biegungsformeln bei Holz, Stein, Beton u.s.w. zur Verwendung kommen, sind sie nat√ľrlich ebenfalls nur als Notbehelfe aufzufallen, da die Elastizit√§tsmoduln dieser K√∂rper f√ľr Zug und Druck nicht gleich und stark ver√§nderlich sind (vgl. Elastizit√§tsmodul, Elastizit√§tsgesetz, Zugelastizit√§t, Druckelastizit√§t). Indessen erh√§lt man bei Ber√ľcksichtigung dieser Verh√§ltnisse Biegungsformeln, welche f√ľr praktische Zwecke im allgemeinen zu umst√§ndlich sind [22], [23], [24].

W√§hrend die Abweichungen der neutralen Schicht von der Achsschicht bei Gu√üeisen, Stein u.s.w. schon durch die Verschiedenheit der Elastizit√§tsmoduln f√ľr Zug und Druck erkl√§rlich erscheinen, fand Flamant auf Grund der allgemeinen Elastizit√§tslehre, da√ü die neutrale Schicht auch abgesehen hiervon und von der mangelnden Isotropie des Materials bei oben angreifender Last etwas nach oben, bei unten angreifender etwas nach unten r√ľckt [20], S. 239, 242, was vorausgegangene Versuche von Wilson mit ausgegl√ľhten rechteckigen Glasst√§ben best√§tigten [20], S. 246. Doch nahmen die Abweichungen mit wachsendem l : h rasch ab (l Spannweite, s. Biegungselastizit√§t Fig. 1, h Querschnittsh√∂he), so da√ü sie schon f√ľr l: h = 6 nur noch etwa h: 25 betrugen [20], S. 240.

Der Einflu√ü der vertikalen Schubspannungen τ auf die Biegung wurde zuerst, wenn auch nicht allgemein gen√ľgend (die Ver√§nderlichkeit von τ mit der Entfernung von der Achsschicht blieb unber√ľcksichtigt), von Poncelet [2] (deutsche Ausgabe S. 193, vgl. [8], S. 213), dann aber sch√§rfer und ausf√ľhrlich von Castigliano [13] (S. 141, deutsche Ausgabe S. 135) verfolgt, wie auch besonders von Winkler in Betracht gezogen [16], S. 90. Bach und Mantel fanden, da√ü dieser Einflu√ü bei Bestimmung des Elastizit√§tsmoduls aus Biegungsversuchen zu ber√ľcksichtigen ist (s. Elastizit√§tsmodul), da die bekannte Tatsache, da√ü solche Versuche E auf Grund der sonst eintretenden Formel f√ľr die Einsenkung (s. Biegungselastizit√§t) oft wesentlich kleiner als Zugversuche ergeben, aus ihm vollst√§ndig erkl√§rt werden konnte. Es liegt hierin eine neue Best√§tigung der Biegungstheorie im allgemeinen. Die Naviersche Biegungsformel mit Ber√ľcksichtigung des Einflusses der vertikalen τ lautet:


Biegung

oder auch:


Biegung

Mittels dieser Formel sind z.B. die in der Tabelle S. 520, 521 gegebenen Einsenkungen mit R√ľcksicht auf die τ oder auf Vx berechnet. S.a. Biegungselastizit√§t, Einsenkung, Elastische Linie.

In 8., 9. bedeutet G den Schubelastizitätsmodul (s.d.) und k einen vom Querschnitt allein abhängigen Koeffizienten, der allgemein durch


Biegung

ausgedr√ľckt ist, bei Erstreckung des Integrals auf alle Querschnittselemente dF. Man erh√§lt z.B. f√ľr Quadrat und Rechteck k = 6/5, f√ľr den Kreis und gew√∂hnlich gen√ľgend genau auch f√ľr die Ellipse k = l0/9, f√ľr den rechteckigen, Ring, I-Querschnitt und [-Querschnitt mit den in Tabelle S. 794, Nr. 6–8, verwendeten Bezeichnungen und b1 = mb, h1 = nh:


Biegung

Diese Gleichung liefert f√ľr m = 0 oder n = 0 oder n = l wieder den dem Rechteck entsprechenden Wert 6/5, und weiter


Biegung

Die in kleiner Schrift beigesetzten Werte ergeben sich aus der von Winkler [16], S. 108, f√ľr symmetrische Blechtr√§gerquerschnitte ermittelten N√§herungsformel

K = F/hd

12.


[798] die auf der Voraussetzung beruht, da√ü sich die Vertikalkraft Vx allein und gleichm√§√üig auf die Vertikalplatte von der Dicke d und der ganzen Tr√§gerh√∂he h verteilt. (F√ľr Blechtr√§ger sind die Schubspannungen τ von der bis zum Beginn der Gurtungen wenig ver√§nderlich und f√ľr die Gurtungen klein, also von geringem Einflu√ü, vgl. Blechtr√§ger). Die Formel ist auch f√ľr die √ľblichen I-Tr√§ger, denen mit den in 11. verwendeten Bezeichnungen die Form

k = 1 – mn/1 – m

13.


entspricht, gen√ľgend genau. F√ľr die deutschen Normalprofile


Nr. 10141724304050

ergab Gleichung 11.:


k = 2,432,362,302,272,202,112,06,

dagegen Gleichung 13.:


k = 2,372,312,252,222,152,052,01,

und 12. mit dem im deutschen Normalprofilbuch angef√ľhrten F:


k = 2,372,302,262,222,142,052,00,

w√§hrend Mantel [19], S. 100, graphisch mit Ber√ľcksichtigung der Flanschenneigungen und Abrundungen erhielt:


k = 2,342,282,252,182,132,082,03.

Ueber graphische Ermittlung von k f√ľr andre Querschnitte s. [18], S. 148, 168.

Bei Drehbr√ľcken, die als durchlaufende Balken mit zwei Oeffnungen angeordnet waren, hat man mitunter bei starker Sommerhitze die Tr√§gerenden derart fest aufsitzend gefunden, da√ü eine Drehung erst vorgenommen werden konnte, nachdem der Obergurt einige Zeit mit einer Holzh√ľlle bedeckt war (schlechter W√§rmeleiter, vgl. [7]). Dies zeigt einen Einflu√ü der W√§rme auf solche Tr√§ger, der verfolgt werden mu√üte, wenn die ung√ľnstigsten Beanspruchungen und die n√∂tigen Kr√§fte zur Drehung f√ľr alle F√§lle angegeben werden f√ľllten. Ist auf irgendwelche Art, z.B. weil der Untergurt bei obenliegender Fahrbahn vor direkter Einwirkung der Sonne gesch√ľtzt war, beim Querschnitt x eine Differenz t = totu der Temperaturen von Oberkante und Unterkante des Tr√§gers entstanden, und denkt man sich diese Differenz auf die Tr√§gerh√∂he gleichm√§√üig verteilt, so folgt der mit R√ľcksicht auf diesen Einflu√ü verallgemeinerte Ausdruck der Navierschen Formel [10]


Biegung

w√§hrend 7. nur gleichm√§√üige Temperatur√§nderungen f√ľr einen ganzen Querschnitt zul√§√üt. In 14. bedeutet α den linearen Ausdehnungskoeffizienten (s.d.) des Tr√§germaterials, t wie die √ľbrigen Gr√∂√üen k√∂nnen mit x ver√§nderlich sein. Mit Hilfe von 14. unter Voraussetzung eines konstanten t sind die in dem Art. Balken, durchlaufende, unter »Temperatureinfl√ľsse« angef√ľhrten Formeln erhalten [15], S. 150. Aehnliche Einfl√ľsse k√∂nnen auch f√ľr einfache Balken mit St√ľtzenmomenten auftreten; vgl. Elastische Linie.

II. Einfach gekr√ľmmte St√§be.

Es seien beim Querschnitte x vor der Biegung r der Kr√ľmmungsradius der Stabachse, υ die positive oder negative Entfernung eines Querschnittselements dF von der Achsschicht, und wenn p die Entfernung der √§u√üersten Faser auf der positiven, dem Kr√ľmmungsmittelpunkt entgegensetzten Seite der Achsschicht von der letzteren bedeutet:


Biegung

Das Integral in 15. ist auf alle Querschnittselemente zu erstrecken. Die Produkte αt aus Ausdehnungskoeffizient α und die Temperatur√§nderung t (Zunahme positiv) gegen die angenommene Normaltemperatur werden bei allen Querschnittselementen gleich gro√ü vorausgesetzt, w√§hrend

entweder dr√ľckende σ und die in Fig. 2 angedeuteten Richtungen von Mx, Nx, Tx als positiv gelten k√∂nnen (wobei Mx die anf√§ngliche Kr√ľmmung zu vermindern sucht, Nx Druck bedeutet und Tx vom Kr√ľmmungszentrum weggerichtet ist), oder ziehende σ und die in Fig. 3 angedeuteten Richtungen von Mx, Nx, Tx. Ersteres ist bei elastischen Bogentr√§gern √ľblich. In beiden F√§llen sind die Normalspannung σ und die Querschubspannung und L√§ngsschubspannung τ (Schubspannung auf Fl√§chenelemente senkrecht und parallel der Achsschicht) bei υ ausgedr√ľckt [21], ¬ß 3:


Biegung

unter b die Tr√§gerbreite bei x, υ, unter tx denjenigen Teil von Tx verbanden, der auf den Querschnittsteil von υ bis p kommt.[799] Derselbe k√∂nnte, wenn man 19. ohne Vernachl√§ssigung verwenden wollte, zun√§chst aus der einfacheren Gleichung 25. berechnet werden, doch sind die Schubspannungen τ bei den hier in Frage kommenden Aufgaben (insbesondere betreffend elastische Bogentr√§ger) im allgemeinen nur ann√§hernd berechnet oder √ľberhaupt nicht in Betracht gezogen worden. Auch die schiefen Spannungen, deren gr√∂√üte Absolutwerte wieder durch 3. bestimmt sind, wurden mein unber√ľcksichtigt gelassen.

W√§hrend das durch 17. ausgedr√ľckte statische Moment des Tr√§gerteils von υ bis p in Hinsicht der Achsschicht und das Tr√§gheitsmoment


Biegung

des ganzen Querschnitts in Hinsicht derselben nur vom Querschnitt x selbst abh√§ngen, ist das Kr√ľmmungsmoment K nach 15. auch vom Kr√ľmmungsradius r der Stabachse bei x abh√§ngig. Setzt man allgemein:

K = φ J,

21.


so findet sich z.B. f√ľr quadratische und rechteckige Querschnitte von der H√∂he h = 2e:


Biegung

f√ľr kreisf√∂rmige und elliptische Querschnitte von H√∂he h = 2e:


Biegung

w√§hrend sich beispielsweise f√ľr folgende Querschnitte und r : h die beigesetzten φ ergeben [21], ¬ß 5:


Biegung

Hiernach kann in den meinen F√§llen J an Stelle von K gesetzt werden. Damit vernachl√§ssigt. man zufolge 15., 20. die Entfernungen ν der Querschnittselemente gegen den Kr√ľmmungsradius r. Geschieht dies auch in 18., 19., 16., so folgen:


Biegung

und wenn, wie bei elastischen Bogentr√§gern √ľblich, noch die Glieder mit r im Nenner gegen die √ľbrigen vernachl√§ssigt werden:


Biegung

Nach 18., 22., 25. erreicht α f√ľr einen Querschnitt x seine √§u√üersten Werte in den beiderseits am weiteren von der Achsschicht gelegenen Querschnittselementen (vgl. a. Blechtr√§ger, Kernlinien), w√§hrend mit R√ľcksicht auf die Ausdr√ľcke von L in diesen Elementen 0 wird und z.B. auf Grund von 25. wie bei horizontalen Balken (s. oben I.) in der Achsschicht seinen gr√∂√üten Wert annimmt.

Wir wollen, besonders im Hinblick auf elastische Bogentr√§ger, noch einige weitere Formeln beif√ľgen, wobei dr√ľckende σ als positiv gelten und die positiven Richtungen von Mx, Nx, Tx entsprechend Fig. 2 gew√§hlt werden. Ein rechtwinkliges Koordinatensystem von fester Lage gegen die anf√§ngliche Gruppierung der Stabpunkte sei in der Biegungsebene so angenommen, da√ü die x-Achse auf der gleichen Seite der Achsschicht wie das anf√§ngliche Kr√ľmmungszentrum bei x liegt, und die positive Richtung der y von der Seite des letzteren nach der entgegengesetzten geht. Als Koordinaten x, y eines Querschnittes x gelten die anf√§nglichen Koordinaten seines in der Stabachse liegenden Schwerpunktes, w√§hrend s die anf√§ngliche Achsl√§nge von 0 bis x und φ den anf√§nglichen Winkel der Stabachse bei x mit der positiven Richtung der x-Achse bedeuten. Bezeichnen dann Δx, Δy, Δs, Δφ die Aenderungen von x, y, s, φ, die diesen Gr√∂√üen gegen√ľber verschwindend klein vorausgesetzt werden, dann hat man:


Biegung

worin:


Biegung

[800] oder, wenn, wie f√ľr 22.–24., alle υ gegen r vernachl√§ssigt werden, neben 29.:


Biegung

und wenn noch, wie f√ľr 25., die Glieder mit r im Nenner gegen die √ľbrigen vernachl√§ssigt werden,


Biegung

Auf Grund von 26.–28. mit Υ, Z nach 29., 31. sind z.B. die unter Bogen, einfache und durchlaufende, gegebenen Ausdr√ľcke des Horizontalschubes H und der Endmomente, MM' berechnet [21]; s.a. [15], A. 54, 55.

III. Gerade Stäbe von beliebiger Richtung.

F√ľr solche gelten K = J, L = Sυ und die Gleichungen 25., 32. unter den Voraussetzungen a)–c) (S. 792) genau, da ihnen in 15., 16., 22., 23., 29., 30. r = ∞ entspricht (Fig. 5). Werden die x-Achse parallel oder doch so nahe einer Parallelen zur Stabachse gelegt, da√ü ds = dx gesetzt werden darf und die Ordinaten y im vorliegenden Falle auf die schlie√üliche Stabachse bezogen (vor der Form√§nderung w√§ren sie f√ľr eine Abszissenachse parallel der Stabachse alle gleich), dann hat man f√ľr die zuletzt betrachteten kleinen Form√§nderungen:


Biegung

und damit nach 32. die Naviersche Biegungsgleichung


Biegung

die demnach auch bei Auftreten von Axialkr√§ften Nx und Temperatur√§nderungen gilt, vorausgesetzt, da√ü letztere f√ľr je einen ganzen Querschnitt gleich gro√ü sind (vgl. Formel 14.). Sollen die Momente, wie f√ľr 7., als positiv gelten, wenn sie die Kr√ľmmung nach der x-Achse (mit Kr√ľmmungszentrum von der Achsschicht aus in der Richtung nach der x-Achse) zu vergr√∂√üern streben (Fig. 1, 6), dann hat man in 25., 32., 33. – Mx an Stelle von Mx zu setzen. Werden ziehende Nx, σ als positiv angesehen, so treten in 25., 32. – Nx, – σ an die Stellen von Nx, σ. – Anwendungen der Formeln f√ľr gerade St√§be von beliebiger Richtung kommen bei Betrachtung der Knickfestigkeit, exzentrischen Druckbeanspruchung und Zugbeanspruchung, Nebenspannungen von Fachwerken u.s.w. vor; s.a. [15], A. 54, 55, 56, 58, 107.


Literatur: [1] Navier, R√©sum√© des le√ßons donn√©es √† l'√©cole royale des ponts et chauss√©es sur l'application de la m√©canique √† l'√©tablissement des constructions et des machines, Paris 1826 (3. Auflage mit Erg√§nzungen von Saint-Venant, Paris 1864; deutsche Ausgabe Hannover 1879). – [2] Poncelet, Cours de m√©canique appliqu√©e aux machines, Metz 1826 (2. Aufl. Metz 1837; deutsche Ausgabe Darmstadt 1848). – [3] de Saint-Venant, M√©moire sur la flexion des prismes, Liouvilles Journal, I, 1856; Clebsch, Theorie der Elastizit√§t fester K√∂rper, Leipzig 1862, S. 70. – [4] Kirchhoff, Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich d√ľnnen elastischen Stabes, Crelles Journal 1859, LVI, S. 285. – [5] Winkler, Die Lehre von der Elastizit√§t und Festigkeit, Prag 1867. – [6] Weyrauch, Allgemeine Theorie und Berechnung der kontinuierlichen und einfachen Tr√§ger, Leipzig 1873. – [7] Steiner, Ueber den Einflu√ü einer ungleichm√§√üigen Erw√§rmung der Gurte auf kontinuierliche Tr√§ger, Wochenschr. d. √∂sterr. Ing.- u. Arch.-Vereins 1877, S. 292. – [8] Grashof, Theorie der Elastizit√§t und Festigkeit, Berlin 1878. – [9] Pochhammer, Untersuchungen √ľber das Gleichgewicht des elastischen Stabes, Kiel 1879. – [10] Weyrauch, Temperatureinfl√ľsse bei kontinuierlichen Tr√§gern, Zeitschr. f. Baukunde 1879, S. 437. – [11] Saalsch√ľtz, Der belastete Stab unter Einwirkung einer seitlichen Kraft, Leipzig 1880. – [12] M√ľller-Breslau, Theorie und Berechnung eiserner Bogenbr√ľcken, Berlin 1880. – [13] Castigliano, Th√©orie de l'√©quilibre des syst√®mes √©lastiques, Turin 1880 (deutsche Ausgabe, Wien 1886). – [14] Consid√®re, M√©moire sur l'emploi du fer et de l'arcier, Paris 1885 (auch Annales des ponts et chauss√©es, 1885, I). – [15] Weyrauch, Aufgaben zur Theorie elastischer K√∂rper, Leipzig 1885. – [16] Winkler, Theorie der Br√ľcken, 1. Heft: Aeu√üere Kr√§fte der Balkentr√§ger, Wien 1886. – [17] Connert, Ueber die Biegungsfestigkeit des Glases, Civilingenieur 1888, S. 1, 109, 621. – [18] Ritter, Anwendungen der graphischen Statik, I.: Die im Innern eines Balkens wirkenden Kr√§fte, Z√ľrich 1888. – [19] Mantel, Zum Einflu√ü der Schubspannungen u.s.w., Schweiz. Bauzeitung 1889, I, S. 99. – [20] Flamant, De l'influence sur la flexion des poutres de la position superficielle des charges, Annales des ponts et chauss√©es 1893, II, p. 228. – [21] Weyrauch, Elastische Bogentr√§ger, ihre Theorie und Berechnung entsprechend den Bed√ľrfnissen der Praxis, M√ľnchen 1896. – [22] Latowski, Die Biegungselastizit√§t bei K√∂rpern von ungleicher Festigkeit, Zeitschr. d. Vereins deutsch. Ing. 1897, S. 941. – [23] Engesser, Widerstandsmomente und Kernfiguren bei beliebigem Form√§nderungsgesetz, Zeitschr. d. Ver. deutsch. Ingenieure 1898, S. 903, 927. – [24] Schule, Die Biegungslehre gerader St√§be mit ver√§nderlichem Dehnungskoeffizienten, Dinglers Polyt. Journal 1902, S. 149. – [25] Bach, Elastizit√§t und Fertigkeit, Berlin 1902. – [26] v. Tetmajer, Die angewandte Elastizit√§ts- und Festigkeitslehre, Leipzig und Wien 1904. – S.a. die Literatur unter Balken, Bogen (einfache und durchlaufende), Biegungsfestigkeit, Blechtr√§ger, Einsenkung, Elastizit√§tsmodul u.s.w.

Weyrauch.

Trägheitsmomente und Widerstandsmomente
Trägheitsmomente und Widerstandsmomente
Trägheitsmomente und Widerstandsmomente (Fortsetzung)
Trägheitsmomente und Widerstandsmomente (Fortsetzung)
Trägheitsmomente und Widerstandsmomente (Fortsetzung)
Trägheitsmomente und Widerstandsmomente (Fortsetzung)
Fig. 1.
Fig. 1.
Fig. 2.
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Fig. 3.
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Fig. 4.
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Fig. 5.
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Fig. 6.
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http://www.zeno.org/Lueger-1904.

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