Flächen [1]

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Flächen [1]

Flächen, zweidimensionale Gebilde, entweder eben oder krumm (vgl. Flächentheorie).

Geometrische Eigenschaften der Flächen.

Fl√§chen, krumme. Eine krumme Fl√§che ist der geometrische Ort aller Lagen einer nach einem bestimmten Gesetze bewegten Kurve oder Fl√§che. Je nach der Art des Bewegungsgesetzes und der bewegten Linie oder Fl√§che, d.h. der Erzeugenden der Fl√§che, lassen sich die Fl√§chen[56] einteilen; man kann unterscheiden: 1. Umdrehungsfl√§chen; die Erzeugende ist eine Linie und dreht sich um eine beliebige Gerade im R√§ume als Achse. 2. Regelfl√§chen; die Erzeugende ist eine gerade Linie; dabei ist die Fl√§che abwickelbar, wenn je zwei aufeinander folgende Lagen der bewegten Geraden in einer Ebene liegen, oder windschief, wenn dies nicht der Fall ist. 3. Umh√ľllungs- oder R√ľckungsfl√§chen; die Erzeugende ist eine Fl√§che und bewegt sich nach einem bestimmten Gesetze. Vorstehende Unterscheidung schlie√üt keineswegs aus, da√ü ein und dieselbe Fl√§che mehreren der obengenannten Gruppen zugleich angeh√∂rt. Eine andre Einteilung der Fl√§chen erfolgt nach ihrer algebraischen Ordnung, worunter man im allgemeinen die Anzahl der Schnittpunkte einer Geraden mit ihrer Oberfl√§che verlieht; ist diese Anzahl eine begrenzte, so hei√üt die Fl√§che algebraisch, im andern Falle transzendent.

Eine Fl√§che nter Ordnung besitzt als ebenen Schnitt stets eine Linie nter Ordnung. Legt man durch einen Punkt einer Fl√§che eine Anzahl Ebenen, ermittelt deren Schnitte mit der Fl√§che und konstruiert in dem genannten Punkte an die verschiedenen Schnittkurven der Tangenten, so bilden letztere im allgemeinen eine ebene Fl√§che, die Tangentialebene des. betreffenden Punktes an die Fl√§che; der gegebene Punkt selbst ist der Ber√ľhrungspunkt der Tangentialebene mit der Fl√§che. Liegt der Punkt nicht auf der Fl√§che, so sind von ihm aus im allgemeinen unz√§hlig viele Tangentialebenen an die Fl√§che m√∂glich; sie bilden s√§mtlich eine Kegelfl√§che, welche die gegebene Fl√§che nach einer bestimmten Kurve ber√ľhrt. Ist der gegebene Punkt eine Lichtquelle, so bildet die ebengenannte Kurve die Selbstschattengrenze der Fl√§che mit Bezug auf die genannte Lichtquelle. F√§llt der Punkt in unendliche Ferne, so sind die s√§mtlichen ihn enthaltenden Tangentialebenen parallel zu einer Geraden und bilden eine die Oberfl√§che nach einer Kurve ber√ľhrende Zylinderfl√§che. Genannte Kurve bezeichnet die Selbstschattengrenze der Fl√§che f√ľr den unendlich fernen Punkt als Lichtquelle. Durch die Punkte einer geraden Linie lassen sich nur eine begrenzte Anzahl von Tangentialebenen an die Fl√§che legen; sie bezeichnet, wenn die Fl√§che algebraisch ist, die Klasse der Fl√§che. Ist die Fl√§che abwickelbar, so ist eine Tangentialebene durch eine beliebig gegebene Gerade im allgemeinen nicht vorhanden; man versteht deshalb unter der Klasse einer abwickelbaren Fl√§che die Zahl der Tangentialebenen, die durch einen beliebigen Punkt an die Fl√§che m√∂glich sind. Eine Tangentialebene schneidet eine Fl√§che nter Ordnung im allgemeinen noch nach einer Kurve nter Ordnung, die im Ber√ľhrungspunkt der Tangentialebene mit der Fl√§che einen Doppelpunkt besitzt. Die beiden Tangenten in diesem Doppelpunkt haben mit der Fl√§che drei aufeinander folgende Punkte gemeinsam und hei√üen die zu dem Ber√ľhrungspunkte geh√∂rigen Haupt- oder Inflexionstangenten der Fl√§che. Diese Haupttangenten sind entweder beide wirklich vorhanden, der Punkt ist ein hyperbolischer Punkt der Fl√§che, oder sie fallen in eine Tangente zusammen, der Punkt ist parabolisch, oder sie sind endlich imagin√§r, der Punkt ist ein elliptischer Punkt der Fl√§che. Ist die Fl√§che eine Regelfl√§che, so ist jeder ihrer Punkte entweder hyperbolisch oder parabolisch, letzteres stets, wenn die Fl√§che abwickelbar ist.

Schneiden sich zwei algebraische Fl√§chen von den Ordnungen n1 und n2, so ist ihr Schnitt im allgemeinen eine Raumkurve von der Ordnung n1 ¬∑ n2. Ber√ľhren sich die Fl√§chen in einem Punkte, so k√∂nnen sie sich au√üerdem noch nach einer Kurve von der Ordnung n1 ¬∑ n2 schneiden, die im Ber√ľhrungspunkte der beiden Fl√§chen einen Doppelpunkt besitzt. Die Tangenten in diesem Doppelpunkte an die Schnittkurven liegen in der gemeinschaftlichen Tangentialebene beider Fl√§chen; man erh√§lt sie als Schnitt der gemeinsamen Tangentialebene mit einem Kegel, der den Ber√ľhrungspunkt als Spitze und die Schnittlinie beider Fl√§chen als Leitlinie besitzt. Drei Fl√§chen von den Ordnungen n1, n2 und n3 schneiden sich nach einer Kurve von der Ordnung n1 ¬∑ n2 ¬∑ n3. Eine Fl√§che nter Ordnung ist im allgemeinen durch (n + 1) (n + 2) (n + 3)/1 ¬∑ 2 ¬∑ 3 – 1 Ortsbedingungen, z.B. Punkte, vollst√§ndig bestimmt; eine Fl√§che zweiter Ordnung demnach durch 9 Punkte, eine Fl√§che dritter Ordnung durch 19 Punkte.


Literatur: S. unter Geometrie, darstellende.


Umdrehungsfläche, entsteht durch Drehung einer ebenen Kurve A (s. Fig. 1 und 2) um eine in ihrer Ebene befindliche Gerade B als Drehungsachse. Eine zu letzterer senkrechte Ebene schneidet im allgemeinen die Fläche nach einer Kreislinie, die ein Parallelkreis der Drehungsfläche genannt wird. Alle die Drehungsachsen enthaltenden ebenen Schnitte sind kongruente Figuren und heißen Meridiane der Fläche, z.B. C, D (s. Fig. 1 und 2). Ist der Meridian eine algebraische Kurve von der Ordnung n, so ist die Drehungsfläche eine algebraische Fläche von der n ten Ordnung. Ist insbesondere die Meridiankurve eine Linie zweiter Ordnung und eine Hauptachse der letzteren die Drehungsachse, so entsteht eine Drehungsfläche zweiter Ordnung, und zwar die Kugel, das Ellipsoid, das Paraboloid und das Hyperboloid, je nachdem als Meridiankurve der Kreis, die Ellipse, Parabel oder Hyperbel in Betracht kommt.[57] Als Spezialfälle der Drehungsflächen zweiter Ordnung sind der senkrechte Kreiskegel bezw. Zylinder zu erwähnen; im ersten Falle besteht der Meridian aus zwei auf der Drehungsachse sich schneidenden Geraden, deren Winkel die letztere halbiert, im zweiten Falle bilden zwei parallele, gleich weit von der Drehungsachse abstehende Gerade den Meridianschnitt der Drehungsfläche.

Zur geometrischen Darstellung einer Drehungsfläche wählt man zweckmäßig eine Projektionsebene senkrecht zur Drehungsachse, die andre parallel zu einer Meridianebene; in diesem Fall besteht der Grundriß der Fläche entweder aus einer Kreis- oder Ringfläche, der Aufriß ist begrenzt durch einen Meridianschnitt (s. Fig. 1 und 2). Bei der obengenannten Annahme der Projektionsebenen projizieren sich die Aufrisse der Parallelkreise als Gerade senkrecht zur Drehungsachse, die Grundrisse als konzentrische Kreise. Die Meridiane stellen sich im Aufrisse als affine Kurven mit der Drehungsachse als Affinitätsachse, die Grundrisse als den Grundriß der Drehungsachse enthaltende Gerade dar (s. Fig. 1 und 2).

Tangentialebenen der Drehungsfl√§che. Die Tangentialebenen l√§ngs den Punkten eines Parallelkreises an eine Drehungsfl√§che bilden im allgemeinen einen senkrechten Kreiskegel, dessen Achse mit der Fl√§chenachse zusammenf√§llt (s. Kreis L, Fig. 1); in speziellen F√§llen kann der Kegel in einen Zylinder bezw. eine Ebene √ľbergehen, und es hei√üt im ersten Falle der bez√ľgliche Parallelkreis ein Aequator, z.B. die Kreise K und K' in Fig. 1 und 2; im letzteren Falle ein Polarkreis (s. die Kreise M und N in Fig. 2) bezw. ein Pol (s. Punkt p, Fig. 1) der Fl√§che. L√§ngs den Punkten einer Meridiankurve bilden die Tangentialebenen an die Drehungsfl√§che eine Zylinderfl√§che, die zur Ebene der Meridiankurve senkrecht steht und die Drehungsfl√§che nach der Meridiankurve ber√ľhrt. Soll in irgend einem Punkte a der Drehungsfl√§che (s. Fig. 1) eine Tangentialebene konstruiert werden, so zeichnet man durch diesen Punkt einen Parallelkreis sowie einen Meridian und an diese Kurven in dem gegebenen Punkte je eine Tangente F bezw. G; dann ist durch die beiden Tangenten F und G die Tangentialebene bestimmt.

Schnitt einer Ebene mit einer Drehungsfläche. Man denkt sich die Fläche durch Ebenen senkrecht zur Drehungsachse geschnitten; die Schnittlinien treffen die Drehungsfläche nach Parallelkreisen, die Ebene nach parallelen Geraden., Je ein Parallelkreis der Fläche und die in derselben Ebene liegende Gerade der Ebene treffen sich in Punkten der Schnittkurve zwischen Ebene und Drehungsfläche. Eine Tangente in einem Punkte an die Schnittkurve ergibt sich als Schnittlinie der Tangentialebene in dem betreffenden Punkte an die Fläche mit der Schnittebene.

Schnitt einer Geraden mit einer Drehungsfläche. Man legt durch die Gerade eine Ebene, bestimmt deren Schnitt mit der Drehungsfläche, die Schnittlinie trifft die Gerade in den gesuchten Schnittpunkten.

Schnitt zweier Drehungsflächen. Je nach der Lage der Achsen beider Flächen lassen sich drei Fälle unterscheiden; entweder sind die Achsen parallel oder sie schneiden sich oder sie sind windschief. Im ersten Falle schneidet man die beiden Drehungsflächen durch Ebenen senkrecht zu den Achsen beider Flächen und erhält in jeder Fläche als Schnittlinien Parallelkreise, die sich gegenseitig in Punkten der Schnittkurve beider Flächen begegnen; im zweiten Falle verwendet man als Hilfsflächen Kugeln, deren Mittelpunkte in den Schnittpunkt der beiden Achsen fallen. Diese Hilfskugeln treffen beide Flächen nach Parallelkreisen, deren Schnitte Punkte der Schnittkurve beider Drehungsflächen liefern. Bei windschiefer Lage der Achsen der Flächen schneidet man die beiden Flächen durch Ebenen, senkrecht zu einer der beiden Flächenachsen, und bestimmt die Schnittlinien der Hilfsebenen mit den beiden Flächen. Diese Schnittlinien treffen sich in Punkten der Schnittkurve beider Flächen.

Schnitt einer Drehungsfläche mit einer Zylinder- bezw. Kegelfläche. Man wählt auf der Drehungsfläche einen Parallelkreis, legt durch denselben eine zur Zylinderfläche parallele Zylinderfläche bezw. eine mit der gegebenen Kegelfläche konzentrische Kegelfläche. Die Schnittgeraden beider Zylinder- bezw. Kegelflächen schneiden auf dem angenommenen Parallelkreise Punkte der Durchschnittskurve beider Flächen aus. Sind andre als die bisher genannten Flächen mit einer Drehungsfläche zum Schnitt zu bringen, so wird man die beiden Flächen mit solchen Hilfsflächen schneiden, deren Schnittkurven mit den gegebenen Flächen sich am einfachsten konstruieren lassen. Die Tangente in einem Punkte der Schnittkurve zweier Flächen bestimmt sich als die Schnittlinie der Tangentialebenen in dem betreffenden Punkte an die beiden Flächen.

Tangentenkegel von einem Punkte au√üerhalb der Drehungsfl√§che an diese. Von einem Punkte au√üerhalb der Fl√§che sind an letztere unz√§hlig viele Tangenten m√∂glich, welche einen Kegel einschlie√üen, der die Drehungsfl√§che nach einer Kurve ber√ľhrt. Zur Konstruktion von Punkten dieser Kurve w√§hlt man auf der Drehungsfl√§che einen beliebigen Parallelkreis, bestimmt den hierzu geh√∂rigen, die Drehungsfl√§che ber√ľhrenden Kegel und zeichnet an letzteren von dem gegebenen Punkte aus die m√∂glichen Tangentialebenen; deren Ber√ľhrungslinien liefern auf dem angenommenen Parallelkreis Punkte der Ber√ľhrungskurve.

Tangentenzylinder parallel einer Geraden an eine Drehungsfl√§che. Man legt parallel zur gegebenen Richtung an eine Reihe von die Fl√§che nach Parallelkreisen ber√ľhrenden Kegeln die m√∂glichen Tangentialebenen; die Ber√ľhrungslinien der letzteren mit den Kegeln liefern auf den zugeh√∂rigen Parallelkreisen Punkte der Ber√ľhrungskurve.

Die zuletzt genannten Konstruktionen gewinnen eine praktische Bedeutung dann, wenn durch den gegebenen Punkt bezw. die gegebene Richtung eine Lichtquelle bestimmt ist, von der aus die Fl√§che eine Beleuchtung erf√§hrt; in diesem Falle bezeichnet die Ber√ľhrungskurve des Tangentenkegels durch den betreffenden Punkt bezw. des Tangentenzylinders parallel der gegebenen Richtung mit der Drehungsfl√§che die Selbstschattengrenze auf letzterer Fl√§che unter Voraussetzung zentraler bezw. paralleler Beleuchtung. (S.a. Schattenkonstruktionen sowie die unter Geometrie, darstellende, angegebene Literatur.)

[58] Flächen zweiter Ordnung. Unter einer Fläche zweiter Ordnung versteht man jede Fläche, die von einer Ebene nach einer Linie zweiten Grades, d.h. nach einem Kegelschnitte getroffen wird; hieraus folgt zugleich, daß es auf eine Fläche zweiter Ordnung keine andern ebenen Kurven als Kegelschnitte gibt. Ist auf einer Fläche zweiter Ordnung eine gerade Linie vorhanden, so wird jede durch die letztere gelegte Ebene die Fläche noch nach einer zweiten Geraden schneiden; es wird also die Fläche zweiter Ordnung eine Regelfläche sein.

Einige Polareigenschaften der Fl√§chen zweiter Ordnung: Zieht man durch einen beliebigen Punkt des Raumes nach der Fl√§che zweiter Ordnung Sekanten und konstruiert f√ľr jede Sekante den zu dem gegebenen Punkte hinsichtlich der Durchschnittspunkte der Sekante mit der Oberfl√§che konjugierten vierten harmonischen Punkt, so liegen diese s√§mtlichen vierten harmonischen Punkte in einer Ebene, welche die Polarebene des Punktes hinsichtlich der Fl√§che zweiter Ordnung genannt wird. Der Punkt selbst hei√üt der zur Polarebene geh√∂rige Pol. Schneidet die Polarebene die Fl√§che zweiter Ordnung nach einem Kegelschnitte, so bezeichnet man den zur Polarebene geh√∂rigen Pol als au√üerhalb der Fl√§che liegend. Geh√∂rt der Pol der Fl√§che selbst an, so ist die zugeh√∂rige Polarebene die Tangentialebene der Fl√§che im Pole. Hat die Polarebene keinen reellen Kegelschnitt mit der Fl√§che zweiter Ordnung gemeinsam, so nennt man den zugeh√∂rigen Pol innerhalb der Fl√§che liegend. Verbindet man die Schnittpunkte der Polarebene mit der Fl√§che zweiter Ordnung mit dem zugeh√∂rigen Pole, so sind diese Verbindungslinien Tangenten an die Oberfl√§che zweiter Ordnung und bilden den zu dem Punkte geh√∂rigen Tangentenkegel an die Fl√§che zweiter Ordnung. Ist der betreffende Punkt eine Lichtquelle, so ist die Ber√ľhrungskurve des Tangentenkegels mit der Oberfl√§che die Selbstschattengrenze der Fl√§che zweiter Ordnung hinsichtlich des gew√§hlten Punktes als Lichtquelle. F√ľr eine Fl√§che zweiter Ordnung ist daher bei zentraler Beleuchtung die Selbstschattengrenze stets ein Kegelschnitt, desgleichen ihre Schlagschattengrenze auf eine gegebene ebene Fl√§che. F√§llt die Spitze des Tangentenkegels in unendliche Ferne, so geht der Tangentenkegel in einen Tangentenzylinder √ľber, der die Fl√§che nach einem Kegelschnitte ber√ľhrt, dessen Mittelpunkt zugleich der Mittelpunkt der Fl√§che genannt, wird und die Eigenschaft hat, da√ü s√§mtliche durch ihn gehenden Sehnen in ihm halbiert werden. Jede den Mittelpunkt enthaltende Ebene hei√üt eine Durchmesserebene, jede den Mittelpunkt enthaltende Sehne ein Durchmesser der Fl√§che zweiter Ordnung. Ist der unendlich ferne Punkt eine Lichtquelle, so ist die Ber√ľhrungskurve des Tangentenzylinders mit der Fl√§che zweiter Ordnung die Selbstschattengrenze; diese ist somit unter Voraussetzung einer Beleuchtung durch parallele Lichtstrahlen f√ľr eine Fl√§che zweiter Ordnung stets ein den Mittelpunkt der Fl√§che als Mittelpunkt besitzender Kegelschnitt.

Durch eine beliebige Gerade lassen sich im allgemeinen nur zwei Tangentialebenen an eine Fl√§che zweiter Ordnung legen; die Fl√§che zweiter Ordnung ist daher auch eine Fl√§che zweiter Klasse oder kurzweg eine Fl√§che zweiten Grades. Die Verbindungslinie der Ber√ľhrungspunkte der die gegebene Gerade Q enthaltenden Tangentialebenen liefern eine Gerade G1, durch welche die Polarebenen f√ľr s√§mtliche Punkte von G hindurchgehen. Zwei solche Gerade G, G1 hei√üen konjugierte Polaren der Fl√§che zweiten Grades. Liegt die Gerade G in Unendlicher Ferne, so geht die zu G konjugierte Polare G1 durch den Mittelpunkt des Kegelschnittes und man nennt die die Gerade G enthaltende Durchmesserebene die zu G1 konjugierte Durchmesserebene. W√§hlt man in letzterer irgend zwei konjugierte Durchmesser des in ihr liegenden Kegelschnittes, so bilden diese mit G1 drei konjugierte Durchmesser der Fl√§che zweiten Grades und die durch sie bestimmten Ebenen drei konjugierte Durchmesserebenen der Fl√§che. Sie haben die Eigenschaft, da√ü die Ebene von je zwei Durchmessern die Polarebene des unendlich fernen Punktes des dritten Durchmessers darstellt. – Stehen drei konjugierte Durchmesser einer Fl√§che zweiten Grades aufeinander senkrecht, so hei√üen sie die Hauptachsen der Fl√§che; die durch sie bestimmten Ebenen sind die Hauptachsenebenen und die in ihnen liegenden Kegelschnitte die Hauptachsenschnitte der Fl√§che.

Durch irgend zwei ebene Schnitte einer Fl√§che zweiten Grades lassen sich im allgemeinen stets zwei Kegelfl√§chen zweiten Grades legen, deren Spitzen auf der zur Schnittlinie der beiden Ebenen konjugierten Polaren liegen; hieraus folgt, da√ü parallele Ebenen eine Fl√§che zweiten Grades nach √§hnlichen und √§hnlich liegenden Kegelschnitten schneiden, eine Eigenschaft, die f√ľr konstruktive Zwecke n√ľtzlich verwendet werden kann. Zwei Fl√§chen zweiten Grades schneiden sich im allgemeinen nach einer Linie vierter Ordnung, die insbesondere in zwei Kegelschnitte zerfallen kann; dies ist der Fall, wenn die Fl√§chen zweiten Grades sich in zwei Punkten ber√ľhren. Ist eine der beiden Fl√§chen eine Kugel und findet eine Ber√ľhrung in zwei Punkten statt, so besteht die Schnittkurve aus zwei Kreisen. Es gibt somit f√ľr jede Fl√§che zweiten Grades zwei Lagen von Ebenen, welche die Fl√§che nach Kreisen schneidet. Findet die Ber√ľhrung nur in einem Punkte statt, so ist die Schnittkurve beider Fl√§chen eine Kurve vierter Ordnung mit einem Doppelpunkte. Sind die Fl√§chen zweiten Grades Regelfl√§chen und haben dieselben eine Erzeugende gemeinsam, so besteht der √ľbrige Schnitt aus einer Kurve dritter Ordnung.

Einteilung der Flächen zweiten Grades. Nach der Gestalt der Hauptachsenschnitte unterscheidet man folgende Flächen zweiten Grades:

1. Das Ellipsoid. Die drei Hauptachsenschnitte sind Ellipsen A, B, C (s. Fig. 3–5); ist einer der Hauptachsenschnitte ein Kreis, so sind die beiden andern kongruente Ellipsen und man erh√§lt das Umdrehungsellipsoid; es entsteht durch Umdrehung einer Ellipse um eine ihrer Hauptachsen. Findet die Drehung um die gro√üe Achse statt, so entsteht das Umdrehungsellipsoid erster Art oder das bifokale Ellipsoid; alle Meridiane besitzen die n√§mlichen Brennpunkte und es kann das Ellipsoid auch definiert werden als der geometrische Ort aller Punkte im R√§ume, die von zwei festen Punkten eine gegebene Abstandssumme besitzen. – Findet die Drehung um die kleine Ellipsenachse statt, so entsteht das Umdrehungsellipsoid[59] zweiter Art oder das Sph√§roid; die Brennpunkte der Meridianellipse beschreiben einen Kreis, den Fokalkreis des Sph√§roides; man erh√§lt die Brennpunkte der √ľbrigen Meridianellipsen im Durchschnitte ihrer Ebenen mit dem Fokalkreise des Sph√§roides. Beim Ellipsoid ist die Ber√ľhrungskurve eines Tangentenkegels bezw. eines Tangentenzylinders stets eine Ellipse bezw. ein Kreis. Sind alle Hauptachsenschnitte Kreise, so entsteht als Fl√§che die Kugel. Bei der Darstellung des Ellipsoides durch Projektion w√§hlt man die Projektionsebenen zweckm√§√üig parallel zu den Achsenebenen; dann stellen die Achsenschnitte zugleich die Umrisse oder Konturen der Fl√§che f√ľr die bez√ľglichen Projektionsebenen dar. – F√ľr das in Fig. 3–5 gezeichnete Ellipsoid ist die Konstruktion der Ber√ľhrungskurve des von dem Punkt p an die Oberfl√§che gelegten Tangentenkegels angedeutet. Die Tangenten von den Projektionen p1 und p2 an die zugeh√∂rigen Umrisse der Fl√§chen geben f√ľr jede Projektion der Ber√ľhrungskurve zwei Tangenten mit ihren Ber√ľhrungspunkten. Da au√üerdem der Mittelpunkt des Ber√ľhrungskegelschnittes sich als Schnittpunkt der Verbindungslinie des Punktes p mit dem Mittelpunkte des Ellipsoides bestimmt, so kennt man von Grund- und Aufri√ü des Ber√ľhrungskegelschnittes je den Mittelpunkt sowie zwei Tangenten mit ihren Ber√ľhrungspunkten, und es unterliegt nach der Lehre von den Kegelschnitten keiner Schwierigkeit, die Hauptachsen der Projektionen des Ber√ľhrungskegelschnittes zu bestimmen und diesen selbst punktweise zu konstruieren. Die Ebene der Ber√ľhrungskurve ist, wie schon fr√ľher erw√§hnt, die Polarebene des Punktes p. Mit vorstehendem ist auch die Aufgabe gel√∂st, den Schnitt einer beliebigen Ebene S1 T2 mit dem Ellipsoid zu konstruieren. Man hat nur n√∂tig, die Schnittlinien cd und ab der Ebene S1 T2 mit der Ebene des ersten und zweiten Umrisses zu ermitteln und in den Schnittpunkten c1 d1 a2 b2 dieser Linien mit den zugeh√∂rigen Umri√ükurven die Tangenten an letztere zu zeichnen. Hierdurch bestimmt sich der Pol p der Ebene S1 T2 und die Aufgabe ist auf die vorhergehende zur√ľckgef√ľhrt. In Fig. 5 ist au√üerdem die Lage der Kreisschnittebenen des Ellipsoides bestimmt; die Projektion D3 einer Kugel mit m3 als Mittelpunkt und einem Halbmesser gleich der mittleren Hauptachse des Ellipsoides schneidet die Ellipse C3 in den Punkten e3f3 und g3 h3. Die Verbindungslinien e3 f3 und g3 h3 stellen die dritten Projektionen zweier Ebenen dar, die aus dem Ellipsoide Kreise ausschneiden.

2. Das einschalige oder windschiefe Hyperboloid. Zwei der Hauptachsenschnitte sind Hyperbeln (s. Fig. 6), deren gemeinsame imagin√§re Achse die eine Hauptachse der Fl√§che bildet, der dritte Achsenschnitt ist eine Ellipse C (s. Fig. 7), die Fl√§che ist eine Regelfl√§che und kann auch hervorgebracht werden durch Bewegung einer geraden Linie D, die stets drei vorgegebene Gerade Δ, E und Φ (s. Fig. 6 und 7) schneidet. Geht der elliptische Achsenschnitt in einen Kreis √ľber, so entsteht das einschalige Umdrehungshyperboloid (s. Fig. 8 und 9). Dasselbe kann in doppelter Weise hervorgebracht werden, einmal durch Drehung einer Hyperbel um ihre imagin√§re Achse D oder aber durch Drehung einer geraden Linie C um eine zweite, zur ersten windschief liegende Gerade D als Achse. Die Fl√§che besitzt einen Fokalkreis K, den Ort der Brennpunkte der[60] Meridianhyperbeln; sind die Meridianhyperbeln gleichseitig, so erh√§lt man das gleichseitige Hyperboloid.

3. Das zweischalige Hyperboloid. Zwei Achsenschnitte sind Hyperbeln A und B (s. Fig. 10 und 11), deren gemeinsame reelle Achse eine Hauptachse der Fl√§che bildet; die dritte Hauptachsenebene enth√§lt keinen reellen Kegelschnitt, doch liefern Parallelschnitte zur dritten Achsenebene √§hnliche und √§hnlich liegende Ellipsen (in Fig. 12 ist der Schnitt der Fl√§che mit der Projektionsebene E1 als Ellipse C1 gezeichnet); gehen letztere in Kreise √ľber, so entsteht das zweischalige Umdrehungshyperboloid. Es kann aufgefa√üt werden als der geometrische Ort aller Punkte im R√§ume, die von zwei gegebenen Punkten eine gegebene Abstandsdifferenz besitzen. Die s√§mtlichen Meridianhyperbeln besitzen dieselben Brennpunkte, weshalb die Fl√§che auch als bifokales Hyperboloid bezeichnet wird.

4. Das elliptische Paraboloid. Zwei Hauptachsenschnitte (s. Fig. 13 und 15) sind Parabeln A und C, alle zur dritten Achsenebene parallelen Schnitte ähnliche und ähnlich liegende Ellipsen. Der Schnitt mit der Projektionsebene E1 ist in Fig. 14 als Ellipse B1 dargestellt. Der Mittelpunkt der Fläche liegt in unendlicher Ferne. Werden die zuletzt genannten Schnitte kreisförmig, so entsteht das Umdrehungsparaboloid; es wird hervorgerufen durch Umdrehung einer Parabel um ihre Achse und kann aufgefaßt werden als der geometrische Ort aller Punkte im Räume, die von einem festen Punkte, dem Brennpunkt der Meridianparabel, und einer festen Ebene, der durch die Leitlinie der Parabel senkrecht zur Parabelachse gelegten Ebene, gleichen Abstand besitzen.

5. Das hyperbolische oder windschiefe Paraboloid. Zwei Achsenschnitte sind Parabeln A und B (s. Fig. 16 und 17), alle zur dritten Achsenebene parallelen Schnitte sind ähnliche und ähnlich liegende Hyperbeln; der Schnitt mit der Projektionsebene E1 ist als Hyperbel C1 gezeichnet. Die Fläche ist eine Regelfläche und kann auch hervorgerufen werden durch Bewegung einer geraden Linie, die stets parallel zu einer gegebenen Ebene bleibt und außerdem in jeder ihrer Lagen zwei vorgegebene gerade Linien schneidet. Bei der gewählten Darstellung kann die erwählte Ebene parallel zu einer der Asymptoten der Hyperbel C gewählt werden. Es sind demnach zwei solcher Ebenen vorhanden, zu denen die Erzeugenden des Paraboloides bezw. parallel sind, d.h. es gibt auf dem Paraboloide zwei Systeme von Erzeugenden, das eine System ist parallel zur Ebene D1, das andre zur Ebene E1.

Aus den f√ľnf vorgenannten Arten von Fl√§chen zweiten Grades leiten sich noch als Spezialf√§lle die Kegel- und Zylinderfl√§chen zweiten Grades ab; die Kegelfl√§che zweiten Grades entsteht aus dem Hyperboloide, wenn statt der Hyperbeln deren Asymptoten als Achsenschnitte gew√§hlt werden. Die Zylinderfl√§che zweiten Grades entsteht aus dem Paraboloide, wenn statt der parabolischen Achsenschnitte je ein Paar paralleler Geraden als solche gew√§hlt werden.

Die unter 1., 3., 4. aufgef√ľhrten Fl√§chen zweiten Grades f√ľhren die gemeinsame Bezeichnung »elliptische Fl√§chen zweiten Grades«, weil sie in bestimmter Weise durch r√§umlich kollineare Verwandlung aus der Kugel abgeleitet werden k√∂nnen, indem das r√§umlich zentrisch kollineare Abbild einer Kugelfl√§che eine dieser Fl√§chen sein kann (s. Zentralprojektion). Die unter 2. und 5. genannten Fl√§chen sind die windschiefen Fl√§chen zweiten Grades, w√§hrend die Kegel- und Zylinderfl√§chen zweiten Grades die abwickelbaren Fl√§chen zweiten Grades bilden. Vgl. a. die analytische Darstellung in Fl√§chen zweiten Grades.


Literatur: S. unter Geometrie, darstellende.


[61] Erzeugung einer abwickelbaren Fl√§che. Bewegt sich ein Punkt im R√§ume nach einem bestimmten Gesetze, so entsteht eine Raumkurve. Die s√§mtlichen Tangenten einer Raumkurve bilden ihre Tangentenfl√§che und diese ist eine abwickelbare (developpable) Fl√§che, weil es m√∂glich ist, die von aufeinander folgenden Tangenten gebildeten Fl√§chenstreifen, Fl√§chenelemente, durch Drehung um die je zwei Streifen gemeinsame Kante ohne Aenderung der Form der Elemente, d.h. ohne Faltung, in eine einzige Ebene auszubreiten (abzuwickeln). Die Tangenten der Raumkurve sind Mantellinien oder Erzeugende der abwickelbaren Fl√§che. Die gleiche Fl√§che kann auch hervorgebracht werden durch Bewegung einer Ebene. Je zwei aufeinander folgende Ebenen schneiden sich nach Geraden, die wieder als Mantellinien oder Erzeugende der Fl√§che bezeichnet werden und gleichfalls als Tangenten eine Raumkurve einh√ľllen. Zu jeder Raumkurve geh√∂rt eine abwickelbare Fl√§che als Tangentenfl√§che, zu jeder abwickelbaren Fl√§che eine Raumkurve als R√ľckkehrkante. Zwei aufeinander folgende Tangenten der Raumkurve enthalten von letzterer drei aufeinander folgende Punkte, und die Ebene dieser Punkte ist eine Schmiegungs- oder Oskulationsebene der Raumkurve. Die zu einer Raumkurve geh√∂rige abwickelbare Fl√§che ist die Fl√§che der Schmiegungsebenen der Kurve. Jede solche Schmiegungsebene enth√§lt zwei aufeinander folgende Erzeugende der abwickelbaren Fl√§che, d.h. sie ber√ľhrt die Fl√§che nach dieser Erzeugenden und ist eine Tangentialebene der abwickelbaren Fl√§che. Ihr Schnitt mit einer beliebigen Ebene ist eine Tangente an die Schnittkurve dieser Ebene mit der abwickelbaren Fl√§che. Hierdurch hat man ein Mittel, die Tangentialebene an eine abwickelbare Fl√§che in einem gegebenen Punkte der Fl√§che zu konstruieren. Man zieht durch den Punkt eine Erzeugende der Fl√§che und ermittelt deren Schnittpunkt mit einer beliebigen auf der Fl√§che liegenden ebenen Kurve. Die Tangente an letztere bestimmt mit der Erzeugenden durch den gegebenen Punkt die Tangentialebene in diesem. Zwei aufeinander folgende Erzeugende bezw. Tangentialebenen einer abwickelbaren Fl√§che bilden je einen unendlich kleinen Winkel; der erstere hei√üt Kontingenzwinkel, der letztere Torsions- oder Windungswinkel.

Kr√ľmmung einer Raumkurve. Liegt auf einer abwickelbaren Fl√§che eine beliebige Kurve und ist ab ein unendlich kleines Bogenst√ľck desselben, zu welchem der Kontingenzwinkel Θ und der Torsionswinkel η geh√∂rt, so bezeichnet man das Verh√§ltnis a b/Θ = 1/ρ1 als die erste, das Verh√§ltnis a b/η = 1/ρ2 als die zweite Kr√ľmmung des Kurvenelementes. Durch drei aufeinander folgende Punkte der Kurve geht ein Kr√ľmmungskreis, vier aufeinander folgende Punkte liegen auf der Oberfl√§che der Schmiegungskugel.

Haupt- und Binormale einer Raumkurve. Errichtet man in einem Punkte a einer Raumkurve K zur zugeh√∂rigen Tangente eine Normalebene, so lassen sich in letzterer durch a unz√§hlig viele Normalen zur Kurve K. ziehen; eine davon liegt in der Schmiegungsebene und hei√üt die Hauptnormale, eine andre steht senkrecht hierzu und f√ľhrt die Bezeichnung Binormale.

Evolutenfl√§che der Raumkurve. Aufeinander folgende Normalebenen einer Raumkurve umh√ľllen eine abwickelbare Fl√§che, die Evolutenfl√§che der ersteren; ihre Erzeugenden sind parallel zu den Binormalen der Raumkurve und schneiden sich in der R√ľckkehrkurve der Evolutenfl√§che, dem Ort der Mittelpunkte k der Schmiegungskugeln der Raumkurve (Fig. 19). Die Tangenten- und Evolutenfl√§che einer Raumkurve haben eine krumme Linie gemeinsam, den Ort der Kr√ľmmungsmittelpunkte m der Raumkurve. Jedem Punkte p der Raumkurve entspricht eine bestimmte zur Binormale des Punktes p parallele Erzeugende E der Evolutenfl√§che. Zieht man von p nach einem beliebigen Punkte e von E eine Gerade G, so ist G eine Normale zur Raumkurve K und schneidet die zu E benachbarte Erzeugende E1 in einem Punkte e1 durch den wieder eine Normale G1 zu K gezogen werden kann, die E2 in e2 schneidet u.s.w. Die Linien G sind Normalen zur Kurve K und Tangenten an die Kurve der e. Letztere Kurve ist somit eine Evolute von K. Zu einer Raumkurve K geh√∂ren unendlich viele Evoluten, die alle auf der Evolutenfl√§che von K liegen.

Evolventenfläche einer Raumkurve. Bewegt man eine Tangente ohne Gleiten längs einer Raumkurve, so beschreibt jeder Punkt der Tangente bei dieser Bewegung eine Evolvente der Raumkurve. Zu einer Raumkurve gehören unendlich viele Evolventen, die alle auf der Tangentenfläche der Raumkurve liegen; erstere ist somit auch die Evolventenfläche der letzteren.

Kr√ľmmungslinien der abwickelbaren Fl√§chen. Die Evolventen einer Raumkurve sind Linien auf ihrer abwickelbaren Fl√§che, deren Normalen in aufeinander folgenden Punkten sich schneiden. Das gleiche ist der Fall hinsichtlich der Normalen l√§ngs den Punkten der Erzeugenden der abwickelbaren Fl√§che. Diese beiden Systeme von Linien, die sich √ľberall rechtwinklig durchschneiden, nennt man die Kr√ľmmungslinien der abwickelbaren Fl√§che.

Asymptoten- oder Richtungskegel der abwickelbaren Fläche. Zieht man durch einen beliebigen Punkt des Raumes zu allen Erzeugenden der abwickelbaren Fläche Parallellinien, so bilden letztere die Mantelfläche eines Kegels, welche der Asymptoten- oder Richtungskegel der abwickelbaren Fläche heißt. Seine Tangentialebenen sind parallel zu denen der abwickelbaren Fläche.

[62] Tangentialebene einer abwickelbaren Fl√§che bei nicht gegebenem Ber√ľhrungspunkt. Soll von einem Punkte au√üerhalb der Fl√§che eine Tangentialebene an die Fl√§che konstruiert werden, so legt man im allgemeinen durch den Punkt eine Ebene, ermittelt deren Schnitt mit der Fl√§che und zeichnet an die Schnittkurve durch den gegebenen Punkt die m√∂glichen Tangenten; die Erzeugenden durch deren Ber√ľhrungspunkte bestimmen mit den zugeh√∂rigen Tangenten die m√∂glichen Tangentialebenen. Liegt der Punkt in unendlicher Ferne auf einer gegebenen Geraden, so legt man parallel zu der letzteren an den Richtungskegel die m√∂glichen Tangentialebenen (s. Kegelfl√§che) und ermittelt die zu diesen parallelen Tangentialebenen der abwickelbaren Fl√§che. Ist der gegebene Punkt, gleichviel ob er in endlicher oder unendlicher Ferne sich befindet, eine Lichtquelle, von der aus die Fl√§che Licht erh√§lt, so begrenzen die Ber√ľhrungslinien der von dem Punkte an die Fl√§che gelegten Tangentialebenen den Selbstschatten (s. Schattenkonstruktionen) auf der Fl√§che [1].

Abwicklung des Mantels einer abwickelbaren Fl√§che in eine Ebene. Bei der Entwicklung einer abwickelbaren Fl√§che bleiben alle Winkel und L√§ngen auf der Fl√§che unge√§ndert. Die Erzeugenden bilden also vor und nach der Abwicklung unter sich und mit irgend einer auf der Fl√§che liegenden Kurve die n√§mlichen Winkel. Anders verh√§lt es sich hinsichtlich der Kr√ľmmung einer Kurve. Sind (s. Fig. 20) a b c drei aufeinander folgende Punkte einer auf einer abwickelbaren Fl√§che liegenden Kurve, so geht durch die Punkte a, b, c, ein Kr√ľmmungskreis der Kurve. Wird nun das Fl√§chenelement BC in die Ebene AB um die Kante B gedreht, so beschreibt C einen senkrechten Kreiskegel mit B als Achse und m als Mittelpunkt. Da nun aber der Winkel η als unendlich klein angenommen werden kann, so ist Winkel bc'c ein rechter, d.h. man erh√§lt bc' als Projektion von bc in die Ebene AB. Projiziert man den ganzen Kr√ľmmungskreis K in die Ebene AB, so ergibt sich als Projektion eine Ellipse, deren Kr√ľmmungskreis im Punkte b den Kr√ľmmungskreis f√ľr die Abwicklung der Kurve K darstellt. Sind nun ρ und ρn die Kr√ľmmungshalbmesser vor und nach der Abwicklung und bezeichnet W den Winkel der Tangentialebene mit der Ebene des Kr√ľmmungskreises im fraglichen Punkte, so ist die kleine Achse der Ellipse, die als Projektion des Kr√ľmmungskreises in die Tangentialebene AB sich ergibt, gleich 2 ρ ¬∑ cos W; f√ľr den Endpunkt der kleinen Achse ist aber der Kr√ľmmungshalbmesser ρn = ρ2/ρ ¬∑ cos W = ρ/cos W. F√ľr W = Q erh√§lt man ρ = ρn, W = 90¬į ist ρn = ∞. Das erste ist der Fall f√ľr alle Punkte der R√ľckkehrkante einer abwickelbaren Fl√§che, woraus folgt, da√ü f√ľr die R√ľckkehrkante einer abwickelbaren Fl√§che die Kr√ľmmung durch die Abwicklung des Fl√§chenmantels in eine Ebene unge√§ndert bleibt. Steht die Tangentialebene eines Punktes einer Kurve auf der zugeh√∂rigen Schmiegungsebene des Kurvenpunktes senkrecht, so erh√§lt die Kurve nach der Abwicklung in dem entsprechenden Punkte einen Wende- oder Inflexionspunkt. Zeichnet man auf der abgewickelten Fl√§che eine Linie mit lauter Wendepunkten, d.h. eine Gerade, so entspricht derselben auf der Fl√§che eine Linie, deren s√§mtliche Schmiegungsebenen auf den zugeh√∂rigen Tangentialebenen senkrecht stehen; sie hei√üt eine geod√§tische Linie und ist die k√ľrzeste Verbindungslinie zwischen zwei Punkten der Fl√§che.

Rektifizierende abwickelbare Fläche einer Raumkurve. Legt man durch sämtliche Tangenten und die zugehörigen Binormalen einer Raumkurve Ebenen, so bilden letztere eine abwickelbare Fläche, deren Tangentialebenen auf den entsprechenden Schmiegungsebenen der Raumkurve senkrecht stehen; letztere ist somit eine geodätische Linie dieser abwickelbaren Fläche und verwandelt sich bei der Abwicklung der letzteren in eine gerade Linie.

Algebraische abwickelbare Flächen und Raumkurven. Eine Raumkurve heißt algebraisch, wenn sie von einer Ebene in einer endlichen Anzahl von Punkten geschnitten wird, im Gegensatz zu einer transzendenten Raumkurve, deren Schnittpunkte mit einer Ebene unzählig viele sein können. Die Tangentenfläche einer algebraischen Raumkurve ist eine algebraische abwickelbare Fläche, sie wird von einer Geraden in einer endlichen Anzahl von Punkten getroffen.

Charaktere einer Raumkurve bezw. deren abwickelbarer Fl√§che. Man unterscheidet bei einer Raumkurve 1. ihre Ordnung, d.i. die Anzahl ihrer Schnittpunkte mit einer beliebigen Ebene, 2. ihren Rang, d.i. die Anzahl der Schnittpunkte ihrer Tangenten mit einer beliebigen Geraden, 3. ihre Klasse, d.i. die Anzahl der Schmiegungsebenen, die durch einen beliebigen Punkt des Raumes gehen. Bei einer abwickelbaren Fl√§che unterscheidet man ebenso 1. ihre Ordnung, sie ist gleich der Ordnung eines ebenen Schnittes der Fl√§che und gleich der Anzahl Schnittpunkte der Schnittkurve mit einer beliebigen Geraden ihrer Ebene – mit andern Worten: Die Ordnung einer abwickelbaren Fl√§che ist gleich dem Range ihrer R√ľckkehrkante –; 2. ihre Klasse, sie ist gleich der Klasse eines ebenen Schnittes der Fl√§che und gleich der Anzahl Tangenten an die Schnittkurve von einem Punkte ihrer Linie. Die Klasse der abwickelbaren Fl√§che ist gleich der Klasse ihrer R√ľckkehrkante.

Singularit√§ten der Raumkurve und ihrer abwickelbaren Fl√§che. Bei der Entstehung der Raumkurve und ihrer abwickelbaren Fl√§che durch Bewegung eines Punktes bezw. einer Ebene k√∂nnen folgende Singularit√§ten auftreten: Der bewegliche Punkt bezw. die Ebene h√§lt einen Augenblick in der Bewegung inne und kehrt die Bewegungsrichtung um; es entsteht im ersten Falle ein station√§rer Punkt (s. Fig. 21), d.h. ein R√ľckkehrpunkt der Raumkurve, im zweiten Falle aber eine station√§re Schmiegungsebene der Kurve bezw. eine station√§re Tangentialebene der Fl√§che (s. Fig. 22). Au√üerdem unterscheidet man station√§re [63] Tangenten, d.h. solche Tangenten, die drei unmittelbar aufeinander folgende Punkte enthalten (Fig. 23), Doppelpunkte, Doppelschmiegungs- bezw. Tangentialebenen, f√ľr die entweder der bewegliche Punkt oder die bewegliche Ebene zweimal durch dieselbe Stelle des Raumes hindurchgeht, endlich Doppeltangenten der Raumkurve oder Doppelerzeugende der Fl√§che, d.h. Linien, welche die Raumkurve in zwei verschiedenen Punkten ber√ľhren. Au√üer den Doppelelementen kann eine Raumkurve bezw. abwickelbare Fl√§che auch noch mehrfache Elemente besitzen, z.B. k fache Elemente, d.h. k fache Punkte, Tangenten, Schmiegungsebenen.

Zusammenhang einer Raumkurve mit ihrer Projektion auf einer Ebene. Eine Raumkurve nter Ordnung hat als Projektion im allgemeinen eine Kurve nter Ordnung, denn erstere hat mit jeder projizierenden Ebene n Punkte gemeinsam; dieselbe Anzahl gemeinsamer Punkte besitzt aber auch die Spur der projizierenden Ebene mit der Projektion der Raumkurve. Die Klasse der Projektion ist gleich dem Range der Raumkurve, denn jede Tangente von einem beliebigen Punkte p der Projektionsebene ist die Projektion einer Tangente der Raumkurve, die den Projektionsstrahl durch p enthält. Die Ordnung bezw. Klasse der Projektion vermindert sich um eine Einheit, wenn das Projektionszentrum auf der Kurve bezw. auf einer Tangente der Kurve liegt.

Singularit√§ten der ebenen Projektion einer Raumkurve. Den Singularit√§ten einer Raumkurve entsprechen gewisse Singularit√§ten ihrer ebenen Projektion. Letztere besitzt so viele R√ľckkehrpunkte, als die Raumkurve station√§re Punkte hat (s. Fig. 21); au√üerdem erzeugt noch jede Tangente der Raumkurve, die das Projektionszentrum enth√§lt, einen R√ľckkehrpunkt. Ist also √ü die Anzahl der station√§ren Punkte der Raumkurve und gehen ρ Tangenten durch das Zentrum, so besitzt die Projektion √ü + ρ R√ľckkehrpunkte. Die Anzahl der station√§ren Tangenten der Projektion ist gleich der Anzahl der station√§ren Tangenten der Raumkurve (s. Fig. 23), au√üerdem erzeugt jede das Projektionszentrum enthaltende Schmiegungsebene eine weitere station√§re Tangente der Projektion. Ist also H die Anzahl der station√§ren Tangenten der Raumkurve und gehen m Schmiegungsebenen durch das Projektionszentrum, so ist die Anzahl der station√§ren Tangenten der Projektion m + H. Jedem Doppelpunkte der Raumkurve entspricht ein Doppelpunkt der Projektion; au√üerdem erzeugt aber jeder die Kurve zweimal schneidende Projektionsstrahl einen Doppelpunkt der Projektion. Ist also D die Anzahl der Doppelpunkte der Raumkurve und schneiden h Projektionsstrahlen die Kurve doppelt, so besitzt die Projektion D + h Doppelpunkte. Jeder Doppeltangente der Raumkurve entspricht eine Doppeltangente der Projektion, ebenso erzeugt jede die Fl√§che doppelt ber√ľhrende projizierende Ebene eine Doppeltangente der Projektion. Ist d die Anzahl der Doppeltangenten der Raumkurve und ber√ľhren y projizierende Ebenen die Kurve doppelt, so hat die Projektion d + y Doppeltangenten.

Singularit√§ten eines ebenen Schnittes einer abwickelbaren Fl√§che. Ein ebener Schnitt einer abwickelbaren Fl√§che besitzt Singularit√§ten, und zwar R√ľckkehrpunkte: Jeder Schnittpunkt der R√ľckkehrkante der Fl√§che mit der Schnittebene wird ein R√ľckkehrpunkt der Schnittkurve, desgleichen jeder Schnittpunkt mit einer station√§ren Erzeugenden der Fl√§che (s. Fig. 23). Die Gesamtzahl der R√ľckkehrpunkte eines ebenen Schnittes ist also gleich n + Θ, n die Ordnung der R√ľckkehrkante und Θ die Anzahl ihrer station√§ren Tangenten. Station√§re oder Wendetangenten: Die Spur jeder station√§ren Tangentialebene der Fl√§che gibt eine station√§re Tangente der Schnittkurve (s. Fig. 23), ihre Gesamtzahl ist gleich α. Doppelpunkte: Gehen durch einen Punkt der Schnittkurve zwei Erzeugende der Fl√§che, so ist derselbe ein Doppelpunkt der Schnittkurve, au√üerdem gibt die Spur einer jeden Doppelerzeugenden der Fl√§che einen Doppelpunkt der Schnittkurve. Die Gesamtzahl ist x + d, x die Anzahl der erstgenannten Punkte, d die Zahl der Doppelerzeugenden der Fl√§che. Doppeltangenten: Die Spur jeder Doppeltangential- oder Schmiegungsebene gibt eine Doppeltangente der Schnittkurve; sind au√üerdem in der Schnittebene noch g Gerade vorhanden, durch die je zwei Tangentialebenen an die Fl√§che m√∂glich sind, so ist die Anzahl der Doppeltangenten der Schnittkurve gleich Δ + g, Δ die Anzahl der Doppeltangentialebenen. Der Schnittkurve kommen √ľberdies noch unendlich ferne Punkte zu, wenn n√§mlich Erzeugende der Fl√§che parallel zur Schnittebene gerichtet sind. Die Kurve hat dann Asymptoten; man erh√§lt sie als Schnittlinien der Tangentialebenen in den unendlich fernen Punkten mit der Schnittebene. Zwischen den Charakteren n, m, r, x, y, h, g, α und √ü bestehen die folgenden, nach ihrem Entdecker Cayley benannten sechs Gleichungen:


1. r = n (n Р1) Р2 h Р3 ß

2. n = r (r – 1) – 2 y – 3 m

3. m Рß = 3 (r Рn)

4. m = r (r – 1) – 2 x – 3 n

5. r = m (m – 1) – 2 g – 3 α

6. αn = 3 (m – r).


[64] Sind von den Charakteren der Raumkurve drei beliebig, jedoch mit Ausnahme der Zusammenstellung r, x, √ü oder r, y, a gegeben, so lassen sich die √ľbrigen sechs mit Hilfe der obenstehenden Gleichungen ermitteln.

Geschlecht einer Raumkurve. Hierunter versteht man die Beziehungen


p = 1/2 (n Р1) (n Р2) Рh Рß

p = 1/2 (r – 1) (r – 2) – y – r

p = 1/2 (r – 1) (r – 2) – x – n

p = 1/2 (m – 1) (m – 2) – g – α.


Es ist somit das Geschlecht einer Raumkurve dem Geschlechte ihrer ebenen Projektion und jenem eines ebenen Schnittes ihrer abwickelbaren Fläche gleich.

Durch jeden Punkt des Raumes gehen an eine Raumkurve y doppelt ber√ľhrende Ebenen; die Gesamtheit dieser Ebenen umh√ľllt eine der Raumkurve doppelt umschriebene abwickelbare Fl√§che. In jeder Ebene gibt es x Punkte, in denen sich zwei Erzeugende einer abwickelbaren Fl√§che schneiden. Die Gesamtheit aller dieser Punkte geh√∂rt einer Kurve an, die eine Doppelkurve der abwickelbaren Fl√§che darstellt. Nach dieser Doppelkurve durchschneidet sich die Fl√§che selbst. Die Klasse der doppelt umschriebenen abwickelbaren Fl√§che [2] ist 1/2 [r (r – 1) – n – 3 m], die Ordnung der Doppelkurve 1/2 [r (r – 1) – m – 3 n].

Das Bewegungsgesetz f√ľr eine Ebene kann gegeben sein durch die Bedingung, da√ü die Ebene in allen ihren Lagen a) Schmiegungsebene l√§ngs den Punkten einer Raumkurve sein soll, b) zwei gegebene Leitkurven oder Leitfl√§chen ber√ľhren, c) eine Leitkurve und eine Leitfl√§che ber√ľhren, d) eine Leitkurve doppelt ber√ľhren, d.h. ihr doppelt umschrieben sein soll. – Unter allen abwickelbaren Fl√§chen mit gegebener R√ľckkehrkurve ist geometrisch interessant und technisch wichtig die abwickelbare Schraubenfl√§che; bei ihr ist die R√ľckkehrkante eine Schraubenlinie; die Erzeugenden der Fl√§che sind gebildet durch die s√§mtlichen Tangenten der Schraubenlinie (s. Schraubenfl√§chen). Unter den m√∂glichen Fl√§chen im Falle b) sollen nur die folgenden genannt werden: α) Die beiden Leitkurven sind Kreise oder Kegelschnitte und liegen in parallelen Ebenen; in beiden F√§llen entstehen als abwickelbare Fl√§che zwei Kegelfl√§chen zweiten Grades, deren Mittelpunkte auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte der gegebenen Leitkurven liegen- und diese Linie im Verh√§ltnis der L√§ngen von zwei parallelen Halbmessern der genannten Kurven teilen, √ü) Die beiden Leitkurven sind Kreise bezw. Kegelschnitte, in zwei unter einem beliebigen Winkel zueinander geneigten Ebenen; die abwickelbare Fl√§che ist eine Fl√§che von der achten Ordnung und vierten Klasse und besitzt die gegebenen Kegelschnitte als Doppellinien und √ľberdies zwei weitere Kegelschnitte als Doppelkurven. Liegt einer der beiden Leitkegelschnitte in unendlicher Ferne und ist ersetzt durch einen senkrechten Kreiskegel als Richtungskegel, so ist die abwickelbare Fl√§che eine B√∂schungsfl√§che; ihre Tangentialebenen besitzen s√§mtlich gegen eine zur Achse des Leitkegels senkrechte Ebene die n√§mliche Neigung, γ) Die beiden Leitfl√§chen sind Fl√§chen zweiten Grades; die denselben umschriebene abwickelbare Fl√§che ist eine Fl√§che von der achten Ordnung und der vierten Klasse, sie besitzt vier Kegelschnitte als Doppelkurven und geht in zwei Kegelfl√§chen zweiten Grades √ľber f√ľr den Fall, da√ü die Leitfl√§chen Kugeln werden. Ist eine der gegebenen Leitfl√§chen leuchtend, die andre beleuchtet, so bilden die Ber√ľhrungskurven ihrer gemeinsam umschriebenen abwickelbaren Fl√§che die Grenze des Halb- bezw. Kernschattens (s. Fl√§chen zweiten Grades, S. 66). Der Fall c) ist von Wichtigkeit, wenn die Leitkurve ein Kegelschnitt ist, und zwar eine in unendlicher Ferne liegende Kreislinie, die durch einen senkrechten Kreiskegel ersetzt ist. Die entstehende abwickelbare Fl√§che ist dann wieder eine B√∂schungsfl√§che. Wird die Fl√§che in der Richtung der Achse des Kegels durch parallele Lichtstrahlen beleuchtet, so stellt die genannte B√∂schungsfl√§che eine Fl√§che gleicher Beleuchtungsst√§rke dar, und ihre Ber√ľhrungslinie mit der Fl√§che ist eine Linie gleicher Beleuchtungsst√§rke, das ist eine Isophote (s. Schattenkonstruktionen). Im Falle d) gibt es au√üer der Tangentenfl√§che der Raumkurve im allgemeinen stets noch eine weitere abwickelbare Fl√§che, deren Erzeugende die Kurve doppelt ber√ľhren; eine Ausnahme hiervon macht nur die Raumkurve dritter Ordnung, die au√üer ihrer Tangentenfl√§che eine weitere, ihr doppelt umschriebene abwickelbare Fl√§che nicht besitzt; s.a. Zylinder und Kegelfl√§chen. – Beleuchtung der abwickelbaren Fl√§chen. Wird eine abwickelbare Fl√§che durch parallele Lichtstrahlen beleuchtet, so ergibt sich ihr zugeh√∂riges Isophotensystem mittels des Richtungskegels; die Isophoten f√ľr eine abwickelbare Fl√§che sind Mantellinien oder Erzeugende der Fl√§che und parallel zu den entsprechenden Isophoten des Richtungskegels. S.a. Kegelfl√§chen, B√∂schung- und Schraubenfl√§chen [3], [4] und [5].

Erzeugung einer windschiefen Fl√§che. Das Bewegungsgesetz der Geraden kann dadurch gegeben sein, da√ü die bewegte Gerade entweder drei gegebene Kurven, die Leitlinien, in jeder ihrer Lagen treffen, oder aber, da√ü sie drei gegebene Fl√§chen, die Leitfl√§chen, stets ber√ľhren soll. Sind die Leitlinien oder Leitfl√§chen algebraisch, so ist auch die windschiefe Fl√§che eine algebraische Fl√§che von bestimmter Ordnung und Klasse, und zwar sind Ordnung und Klasse stets einander gleich, weshalb man von windschiefen Fl√§chen bestimmten Grades sprechen kann. Der Grad n einer windschiefen Fl√§che l√§√üt sich aus den Ordnungszahlen n1 n2 und n3 ihrer Leitlinien A1, A2 und A3 ausdr√ľcken, und zwar erh√§lt man n = 2 ¬∑ n1 ¬∑ n2 ¬∑ n3. Diese Gradzahl vermindert sich, sobald die Leitlinien gemeinsame Punkte besitzen, und zwar wird, wenn s3, s2 und s1 die Zahl der gemeinsamen Punkte zwischen den Leitlinien A1 A2 und A3 bezeichnen, n = 2 ¬∑ n1 ¬∑ n2 ¬∑ n3 – n1 s1 – n2 s2 – n3 s3. Es ist klar, da√ü die Leitlinien A1, A2, A3 vielfache Kurven der windschiefen Fl√§che darstellen, und zwar betr√§gt der Grad der Vielfachheit n2 ¬∑ n3, n1 ¬∑ n3 und n1 ¬∑ n2 bezw. und verringert sich um die Betr√§ge n2 n3 – s, n1 n3 – s2 und n1 ¬∑ n2s3 beim Vorhandensein von s1, s2 und s3 gemeinsamen Punkten zwischen den gegebenen Leitlinien. Die Leitlinien k√∂nnen aus geraden oder krummen Linien bestehen. Folgende vier Hauptgruppen von windschiefen Fl√§chen sind denkbar: 1. die drei Leitlinien sind gerade, man erh√§lt die windschiefen [65] Fl√§chen zweiten Grades; 2. zwei Leitlinien sind gerade, eine Leitlinie ist krumm; 3. eine Leitlinie ist gerade, zwei sind krumm; 4. alle drei Leitlinien sind krumm. In allen vier F√§llen kann √ľberdies eine der Leitlinien in unendlicher Ferne liegen. Liegt eine gerade Leitlinie in unendlicher Ferne, so ist sie ersetzt durch eine Ebene, zu der die Erzeugenden der Fl√§che parallel laufen; man erh√§lt eine windschiefe Fl√§che mit einer Leit- oder Richtungsebene. Ist dagegen eine krumme Leitlinie im Unendlichen vorausgesetzt, so ist sie ersetzt durch einen Kegel, zu dessen Mantellinien die Erzeugenden der windschiefen Fl√§che parallel laufen m√ľssen, und man erh√§lt eine windschiefe Fl√§che mit einem Leit- oder Richtungskegel.

Tangentialebene einer windschiefen Fl√§che. Jede durch eine Erzeugende B einer windschiefen Fl√§che gelegte Ebene E ist eine Tangentialebene der windschiefen Fl√§che; ihr Ber√ľhrungspunkt mit der Fl√§che ist der Schnittpunkt b der Verbindungslinie c d der Schnittpunkte c und d der Nachbarerzeugenden C und D von B mit der Ebene E. Diese Verbindungslinie ist zugleich Tangente an die Schnittkurve der Tangentialebene E mit der windschiefen Fl√§che. Die Erzeugende B und die Tangente cd bilden die beiden Haupttangenten der windschiefen Fl√§che im Punkte b. Die Gesamtheit aller durch eine Erzeugende B gehenden Tangentialebenen der windschiefen Fl√§che bildet ein Ebenenb√ľschel projektiv zu der Punktreihe ihrer Ber√ľhrungspunkte l√§ngs der Erzeugenden. Die s√§mtlichen zweiten Haupttangenten l√§ngs den Punkten einer Erzeugenden einer windschiefen Fl√§che liegen auf einem windschiefen Hyperboloide, das sich l√§ngs der Erzeugenden an die windschiefe Fl√§che anschmiegt. Im √ľbrigen gibt es l√§ngs einer Erzeugenden einer windschiefen Fl√§che unz√§hlig viele die windschiefe Fl√§che ber√ľhrende windschiefe Hyperboloide bezw. windschiefe Paraboloide. Zu jeder Tangentialebene l√§ngs den Punkten einer windschiefen Fl√§che geht durch ihren Ber√ľhrungspunkt mit der Fl√§che eine Normale zu letzterer, und diese Normalen bilden ein windschiefes Paraboloid, das zur Erzeugenden geh√∂rige Normalenparaboloid. Eine Tangentialebene einer windschiefen Fl√§che schneidet aus letzterer im allgemeinen eine Kurve nter Ordnung heraus, die in die gerade Erzeugende und in eine Kurve von der Ordnung n – 1 zerf√§llt. Letztere trifft die Erzeugende einerseits in dem Ber√ľhrungspunkt der Tangentialebene mit der Fl√§che und au√üerdem in n – 2 Punkten, in denen die Erzeugende noch von andern Erzeugenden der Fl√§che getroffen wird, welche Punkte also einer Doppellinie der Fl√§che angeh√∂ren. In den Punkten dieser Doppellinie besitzt die windschiefe Fl√§che zwei voneinander verschiedene Tangentialebenen, die aber unter besonderen Umst√§nden zusammenfallen k√∂nnen. Solche Punkte, in denen dies stattfindet, hei√üen Kuspidalpunkte der Fl√§che. Es kann endlich bei der Bewegung einer Geraden auch vorkommen, da√ü dieselbe zwei- oder mehreremal dieselbe Lage im Raum einnimmt; eine solche Erzeugende ist dann eine Doppel- oder mehrfache Erzeugende der windschiefen Fl√§che. Liegt der Ber√ľhrungspunkt einer Tangentialebene mit einer windschiefen Fl√§che in unendlicher Ferne, so hei√üt die Ebene eine asymptotische Ebene der Fl√§che; eine durch die Erzeugende senkrecht zur asymptotischen Ebene gef√ľhrte Tangentialebene hat als Ber√ľhrungspunkt jenen Punkt, der der Nachbarerzeugenden am n√§chsten liegt; er hei√üt der Mittel- oder Zentralpunkt der Erzeugenden. Die s√§mtlichen Mittelpunkte der Erzeugenden liegen auf der Striktionslinie der windschiefen Fl√§che.

Ebener Schnitt einer windschiefen Fläche. Eine beliebige Ebene durchschneidet eine windschiefe Fläche n ten Grades nach einer Linie nter Ordnung, die eine Anzahl Doppel- oder vielfacher Punkte enthalten kann, je nachdem die Schnittebene die auf der windschiefen Fläche vorhandenen Doppel- oder mehrfachen Erzeugenden trifft. Enthält die Schnittebene eine Erzeugende, ist also eine Tangentialebene der windschiefen Fläche, so zerfällt der ebene Schnitt in eine Gerade und eine Linie n Р1ter Ordnung. Geht die Schnittebene durch zwei nicht benachbarte Erzeugende hindurch, so besteht die Schnittkurve aus zwei Geraden und aus einer Linie von der n Р2ten Ordnung.

Tangentenkegel an einer windschiefen Fl√§che. Soll von einem nicht auf der Oberfl√§che einer windschiefen Fl√§che liegenden Punkte ein Tangentenkegel an die Fl√§che gelegt werden, so f√ľhrt man durch den Punkt und jede Erzeugende je eine Ebene und bestimmt deren Ber√ľhrungspunkt mit der Fl√§che. Die Verbindungslinie dieser Ber√ľhrungspunkte ist die Ber√ľhrungslinie des Tangentenkegels; sie stellt, im Falle die Spitze des Tangentenkegels eine Lichtquelle ist, die Selbstschattengrenze der windschiefen Fl√§che dar. Der Schlagschatten der windschiefen Fl√§che auf eine bestimmte Ebene ist dann durch den Durchschnitt des Tangentenkegels mit der genannten Ebene festgelegt. Die windschiefen Fl√§chen finden mannigfache Anwendung in der Technik, so als Fugenfl√§chen bei Steinkonstruktionen, wie z.B. beim schiefen Tonnengew√∂lbe (s. Gew√∂lbe), ferner als Laibungsfl√§chen f√ľr Gew√∂lbe (windschiefe W√∂lbfl√§che), dann als Schraubenfl√§chen im Maschinenbau.

Erzeugung einer Umh√ľllungsfl√§che. Eine solche Fl√§che entsteht durch Bewegung irgend einer Fl√§che nach einem bestimmten Gesetze, etwa derart, da√ü irgend ein in fester Verbindung mit der beweglichen Fl√§che befindlicher Punkt eine gegebene Leitlinie durchl√§uft. Hierbei kann die bewegliche Fl√§che ihre Gestalt unver√§ndert beibehalten oder diese ebenfalls nach einem gegebenen Gesetze √§ndern. In beiden F√§llen schneiden sich je zwei aufeinander folgende Lagen der beweglichen Fl√§che nach einer Linie, der Charakteristik der Umh√ľllungsfl√§che. Ist z.B. die bewegliche Fl√§che eine Kugel, so bestehen die Charakteristiken aus Kreisen, deren Ebenen senkrecht stehen auf der jeweiligen Bewegungsrichtung. So ist z.B. in Fig. 2 eine Umh√ľllungsfl√§che dargestellt, die zugleich eine Umdrehungsfl√§che ist. Ihre Leitlinie ist eine Kreislinie, die Charakteristiken sind gleichfalls Kreislinien und stehen senkrecht zur Leitlinie. Ist die Leitlinie eine Schraubenlinie und die bewegliche Fl√§che eine Kugel, deren Mittelpunkt auf der Schraubenlinie fortr√ľckt, so entsteht als Umh√ľllungsfl√§che die schraubenf√∂rmige R√∂hrenfl√§che, s. Schraubenfl√§chen. Auch der senkrechte Kreiszylinder bezw. Kreiskegel, desgleichen alle Umdrehungsfl√§chen sind gleichzeitig Umh√ľllungsfl√§chen von Kugeln, bei denen der Mittelpunkt auf der Achse der Umdrehungsfl√§che[66] sich bewegt, w√§hrend der Halbmesser entweder unver√§ndert bleibt oder sich nach einem bestimmten, durch die Meridianlinie ausgedr√ľckten Gesetze ver√§ndert. Tangentialebene, Tangentenkegel bezw. -zylinder, desgleichen ebene Schnitte k√∂nnen mit Zuhilfenahme der beweglichen Fl√§che und der zugeh√∂rigen Charakteristiken konstruktiv ermittelt werden. Vgl. a. die besonderen Artikel: Fl√§chentheorie, Fl√§chen zweiten Grades, Ebene, Enveloppen, Fu√üpunktfl√§chen, Kegelfl√§chen, Konoidfl√§chen, Schraubenfl√§chen, Zylinderfl√§chen, Cylindroid u.s.w. in analytischer Behandlung.


Literatur: [1] Fiedler, Die darstellende Geometrie der krummen Linien und Fl√§chen,. Leipzig 1885. – [2] Peschka, Darstellende und projektive Geometrie, Bd. 2, Wien 1884. – [3] Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Bd. 2, Leipzig 1887. – [4] De la Gournerie, Trait√© de g√©om√©trie descriptive, Paris 1880, Bd. 2. – [5] Gugler, Lehrbuch der deskriptiven Geometrie, Stuttgart 1874. – [6] Rohn und Papperitz, Darst. Geometrie, 1893–96.

Vonderlinn.

Fig. 1.
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Fig. 2.
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Fig. 3., Fig. 4., Fig. 5.
Fig. 3., Fig. 4., Fig. 5.
Fig. 6., Fig. 7.
Fig. 6., Fig. 7.
Fig. 8., Fig. 9.
Fig. 8., Fig. 9.
Fig. 10., Fig. 11., Fig. 12.
Fig. 10., Fig. 11., Fig. 12.
Fig. 13., Fig. 14., Fig. 15.
Fig. 13., Fig. 14., Fig. 15.
Fig. 16., Fig. 17., Fig. 18.
Fig. 16., Fig. 17., Fig. 18.

Fig. 19.
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Fig. 20.
Fig. 20.
Fig. 21., Fig. 22., Fig. 23.
Fig. 21., Fig. 22., Fig. 23.

http://www.zeno.org/Lueger-1904.

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  • Kummersche Fl√§chen ‚ÄĒ Die kummerschen Fl√§chen sind eine Menge von algebraische Fl√§chen der Ordnung 4, die erstmals von Ernst Eduard Kummer (1810‚Äď1896) untersucht wurden. Die meisten der kummerschen Fl√§chen besitzen 16 singul√§re Punkte und ebenso viele singul√§re… ‚Ķ   Deutsch Wikipedia

  • Konfokale Fl√§chen ‚ÄĒ Konfokale Fl√§chen, eine Schar von Fl√§chen zweiter Ordnung von der Gleichung x2/(a + λ) + y2/(b + λ) + z2/(c + λ) = 1, wo λ ein Parameter. Zwei Fl√§chen der Schar schneiden sich, wo sie sich treffen, rechtwinklig. Durch… ‚Ķ   Lexikon der gesamten Technik


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